9 微分方程 1
9.1 微分方程的基本概念 1
9.1.1 定义 1
目录 1
9.1.2 建立微分方程举例 5
9.2 一阶微分方程 11
9.2.1 可分离变量的方程 12
9.2.2 一阶线性方程 18
9.2.3 齐次型方程 23
9.2.4 伯努里方程 27
9.3.1 形如y（n）＝f（x）的微分方程 34
9.3 可降阶的高阶微分方程 34
9.3.2 形如y″＝f（x，y′）的微分方程 35
9.3.3 形如y″＝f（y，y′）的微分方程 40
9.4 线性微分方程 44
9.4.1 二阶线性微分方程和解的存在性 44
9.4.2 二阶线性微分方程解的结构 46
9.4.3 二阶线性常系数微分方程的解法 54
9.4.4 高阶线性常系数方程及线性方程组 68
9.4.5 欧拉（Euler）方程 72
9.5 微分方程近似解法简介 77
9.5.1 欧拉法 77
9.5.2 梯形法和改进欧拉法 80
9.5.3 四阶龙格-库塔法 81
9.6 微分方程应用举例 83
9.6.1 弹性横梁的振动 83
9.6.2 死亡时间的推测 84
9.6.3 放射性废物的处理 86
9.6.4 桥墩形状问题 87
9.6.5 中间贮槽的容积 88
9.7 差分方程 90
9.7.1 差分与差分方程 90
9.7.2 线性差分方程及其解的结构 91
9.7.3 一阶常系数线性差分方程解法之一：迭代法 92
9.7.4 一阶常系数线性差分方程解法之二：特征根与待定系数 93
9.7.5 二阶常系数线性齐次差分方程 96
9.7.6 一个应用实例 98
9.8 数学模型与数学实验 100
第9章 总习题 105
10 向量与空间解析几何 108
10.1 向量及其运算 108
10.1.1 向量的概念 108
10.1.2 向量的线性运算 109
10.1.3 内积 114
10.1.4 向量的外积与混合积 117
10.2.1 空间直角坐标系 121
10.2 空间直角坐标系与向量代数 121
10.2.2 向量沿坐标轴的分解 122
10.2.3 向量代数 124
10.3 平面与直线 132
10.3.1 平面 133
10.3.2 直线 140
10.3.3 几个有关问题 143
10.4 空间曲面 152
10.4.1 三种特殊曲面 153
10.4.2 二次曲面 157
10.5.2 空间曲线 165
10.5.1 向量函数 165
10.5 向量函数 空间曲线 165
10.5.3 向量函数的导数 169
10.5.4 向量函数的积分 空间曲线的弧长 171
10.6 数学模型与数学实验举例 174
10.6.1 向量及其运算 174
10.6.2 空间图形的绘制 175
第10章 总习题 178
11 多元函数微分学 182
11.1 多元函数 182
11.1.1 多元函数的概念 182
11.1.2 点集的基本知识 185
11.1.3 二元函数的几何表示 187
11.1.4 多元函数的极限 190
11.1.5 多元函数的连续性 193
11.2 偏导数 198
11.2.1 偏导数的概念 198
11.2.2 全微分的概念 203
11.2.3 全微分在近似计算中的应用 208
11.2.4 方向导数及梯度 211
11.3 复合函数微分法 219
11.3.1 链式法则 220
11.3.2 全微分的形式不变性 226
11.4.1 由一个方程确定的隐函数 230
11.4 隐函数微分法 230
11.4.2 由方程组确定的隐函数 233
11.4.3 隐函数存在定理 237
11.5 多元函数微分学在几何学上的应用 240
11.5.1 空间曲线的切线与法平面 240
11.5.2 空间曲面的切平面与法线 243
11.6 泰勒公式 247
11.6.1 高阶偏导数 247
11.6.2 泰勒公式 254
11.7 多元函数的极值与最值 259
11.7.1 多元函数的极值 259
11.7.2 多元函数的最大值与最小值 264
11.7.3 条件极值与拉格朗日乘数法 267
11.7.4 最小二乘法 272
11.7.5 多元函数微分学在经济中的应用 276
11.8 数学模型与数学实验举例 282
11.8.1 等值线与等值面的绘制 283
11.8.2 壳形舒适座椅图形的绘制 284
11.8.3 最小二乘问题 288
第11章总习题 292
12 重积分 295
12.1 二重积分的概念与性质 295
12.1.1 二重积分问题的产生 295
12.1.2 二重积分的定义 297
12.1.3 二重积分的性质 300
12.2 二重积分的计算 304
12.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 305
12.2.2 二重积分在极坐标系下的计算方法 314
12.2.3 二重积分的换元法则 319
12.3 三重积分的概念与性质 330
12.3.1 三重积分问题的产生 330
12.3.2 三重积分的定义和性质 331
12.4 三重积分的计算 333
12.4.1 直角坐标系下三重积分的计算 334
12.4.2 柱面坐标系下三重积分的计算 339
12.4.3 球面坐标系下三重积分的计算 344
12.4.4 三重积分的换元法则 351
12.5 重积分的应用 357
12.5.1 曲面的面积 358
12.5.2 质心 一阶矩 361
12.5.3 转动惯量 二阶矩 368
12.5.4 引力 372
12.5.5 广义重积分 374
12.6 数学模型与数学实验举例 380
第12章总习题 382
13 第一型曲线积分与曲面积分 386
13.1 第一型曲线积分 386
13.1.1 第一型曲线积分问题的产生 386
13.1.2 第一型曲线积分的定义 387
13.1.3 第一型曲线积分的性质 390
13.1.4 第一型曲线积分的计算方法 391
13.2 第一型曲面积分 399
13.2.1 第一型曲面积分问题的产生 400
13.2.2 第一型曲面积分的定义和性质 401
13.2.3 第一型曲面积分的计算方法 403
13.3 数学模型与数学实验举例 410
第13章总习题 412
14 第二型曲线积分与曲面积分 414
14.1 第二型曲线积分 414
14.1.1 向量场 414
14.1.2 第二型曲线积分问题的产生 417
14.1.3 第二型曲线积分的定义和性质 419
14.1.4 第二型曲线积分的计算方法 423
14.1.5 两类曲线积分之间的联系 427
14.2 格林公式 431
14.2.1 格林公式 432
14.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件 440
14.2.3 全微分与全微分求积全微分方程 445
14.3 第二型曲面积分 457
14.3.1 第二型曲面积分问题的产生 457
14.3.2 第二型曲面积分的定义和性质 459
14.3.3 第二型曲面积分的计算方法 465
14.3.4 两类曲面积分之间的联系 470
14.4 高斯公式 472
14.4.1 通量和散度 473
14.4.2 高斯公式 474
14.4.3 无散度场的曲面积分 483
14.5 斯托克斯公式 488
14.5.1 斯托克斯公式 489
14.5.2 环量和旋度 492
14.5.3 无旋场的曲线积分 496
14.6 数学模型与数学实验举例 503
14.6.1 散度及旋度的计算 503
14.6.2 小课题研讨（五）：飓风模型 504
第14章总习题 506
15 傅里叶级数 510
15.1 引言 510
15.1.1 周期函数 510
15.1.2 三角函数系的正交性 512
15.2 周期函数的傅里叶级数展开 514
15.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开 514
15.2.2 傅里叶级数的性质 521
15.2.3 周期为2l的函数的傅里叶级数展开 522
15.3 有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开 525
15.3.1 周期延拓 525
15.3.2 奇延拓和偶延拓 528
15.4 数学模型与数学实验举例 531
第15章总习题 532
附录Ⅰ 行列式与线性方程组 534
Ⅰ.1 行列式 534
Ⅰ.1.1 行列式的概念 534
Ⅰ.1.2 二阶行列式 534
Ⅰ.1.3 三阶行列式与四阶行列式 534
Ⅰ.1.4 行列式的主要性质 536
Ⅰ.2 线性方程组 538
Ⅰ.2.1 克莱姆法则 538
Ⅰ.2.2 齐次线性方程组 538
附录Ⅱ 习题参考答案 541