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9　微分方程 1

9.1　微分方程的基本概念 1

9.1.1　定义 1

目录 1

9.1.2　建立微分方程举例 5

9.2　一阶微分方程 11

9.2.1　可分离变量的方程 12

9.2.2　一阶线性方程 18

9.2.3　齐次型方程 23

9.2.4　伯努里方程 27

9.3.1　形如y（n）＝f（x）的微分方程 34

9.3　可降阶的高阶微分方程 34

9.3.2　形如y″＝f（x，y′）的微分方程 35

9.3.3　形如y″＝f（y，y′）的微分方程 40

9.4　线性微分方程 44

9.4.1　二阶线性微分方程和解的存在性 44

9.4.2　二阶线性微分方程解的结构 46

9.4.3　二阶线性常系数微分方程的解法 54

9.4.4　高阶线性常系数方程及线性方程组 68

9.4.5 欧拉（Euler）方程 72

9.5　微分方程近似解法简介 77

9.5.1　欧拉法 77

9.5.2　梯形法和改进欧拉法 80

9.5.3　四阶龙格-库塔法 81

9.6　微分方程应用举例 83

9.6.1　弹性横梁的振动 83

9.6.2　死亡时间的推测 84

9.6.3　放射性废物的处理 86

9.6.4 桥墩形状问题 87

9.6.5　中间贮槽的容积 88

9.7　差分方程 90

9.7.1　差分与差分方程 90

9.7.2　线性差分方程及其解的结构 91

9.7.3　一阶常系数线性差分方程解法之一：迭代法 92

9.7.4 一阶常系数线性差分方程解法之二：特征根与待定系数 93

9.7.5　二阶常系数线性齐次差分方程 96

9.7.6　一个应用实例 98

9.8　数学模型与数学实验 100

第9章　总习题 105

10 向量与空间解析几何 108

10.1　向量及其运算 108

10.1.1　向量的概念 108

10.1.2　向量的线性运算 109

10.1.3　内积 114

10.1.4　向量的外积与混合积 117

10.2.1　空间直角坐标系 121

10.2　空间直角坐标系与向量代数 121

10.2.2　向量沿坐标轴的分解 122

10.2.3　向量代数 124

10.3　平面与直线 132

10.3.1　平面 133

10.3.2　直线 140

10.3.3　几个有关问题 143

10.4　空间曲面 152

10.4.1　三种特殊曲面 153

10.4.2　二次曲面 157

10.5.2　空间曲线 165

10.5.1 向量函数 165

10.5 向量函数　空间曲线 165

10.5.3　向量函数的导数 169

10.5.4　向量函数的积分　空间曲线的弧长 171

10.6　数学模型与数学实验举例 174

10.6.1　向量及其运算 174

10.6.2　空间图形的绘制 175

第10章　总习题 178

11 多元函数微分学 182

11.1　多元函数 182

11.1.1　多元函数的概念 182

11.1.2　点集的基本知识 185

11.1.3　二元函数的几何表示 187

11.1.4　多元函数的极限 190

11.1.5　多元函数的连续性 193

11.2　偏导数 198

11.2.1　偏导数的概念 198

11.2.2　全微分的概念 203

11.2.3　全微分在近似计算中的应用 208

11.2.4　方向导数及梯度 211

11.3　复合函数微分法 219

11.3.1　链式法则 220

11.3.2　全微分的形式不变性 226

11.4.1 由一个方程确定的隐函数 230

11.4　隐函数微分法 230

11.4.2 由方程组确定的隐函数 233

11.4.3　隐函数存在定理 237

11.5　多元函数微分学在几何学上的应用 240

11.5.1 空间曲线的切线与法平面 240

11.5.2　空间曲面的切平面与法线 243

11.6　泰勒公式 247

11.6.1　高阶偏导数 247

11.6.2　泰勒公式 254

11.7　多元函数的极值与最值 259

11.7.1　多元函数的极值 259

11.7.2　多元函数的最大值与最小值 264

11.7.3　条件极值与拉格朗日乘数法 267

11.7.4　最小二乘法 272

11.7.5　多元函数微分学在经济中的应用 276

11.8　数学模型与数学实验举例 282

11.8.1　等值线与等值面的绘制 283

11.8.2　壳形舒适座椅图形的绘制 284

11.8.3　最小二乘问题 288

第11章总习题 292

12 重积分 295

12.1　二重积分的概念与性质 295

12.1.1　二重积分问题的产生 295

12.1.2　二重积分的定义 297

12.1.3　二重积分的性质 300

12.2　二重积分的计算 304

12.2.1　二重积分在直角坐标系下的计算方法 305

12.2.2　二重积分在极坐标系下的计算方法 314

12.2.3　二重积分的换元法则 319

12.3　三重积分的概念与性质 330

12.3.1　三重积分问题的产生 330

12.3.2　三重积分的定义和性质 331

12.4　三重积分的计算 333

12.4.1　直角坐标系下三重积分的计算 334

12.4.2　柱面坐标系下三重积分的计算 339

12.4.3　球面坐标系下三重积分的计算 344

12.4.4　三重积分的换元法则 351

12.5　重积分的应用 357

12.5.1　曲面的面积 358

12.5.2　质心　一阶矩 361

12.5.3　转动惯量　二阶矩 368

12.5.4 引力 372

12.5.5　广义重积分 374

12.6　数学模型与数学实验举例 380

第12章总习题 382

13 第一型曲线积分与曲面积分 386

13.1　第一型曲线积分 386

13.1.1　第一型曲线积分问题的产生 386

13.1.2　第一型曲线积分的定义 387

13.1.3　第一型曲线积分的性质 390

13.1.4　第一型曲线积分的计算方法 391

13.2　第一型曲面积分 399

13.2.1　第一型曲面积分问题的产生 400

13.2.2　第一型曲面积分的定义和性质 401

13.2.3　第一型曲面积分的计算方法 403

13.3　数学模型与数学实验举例 410

第13章总习题 412

14 第二型曲线积分与曲面积分 414

14.1　第二型曲线积分 414

14.1.1 向量场 414

14.1.2　第二型曲线积分问题的产生 417

14.1.3　第二型曲线积分的定义和性质 419

14.1.4　第二型曲线积分的计算方法 423

14.1.5　两类曲线积分之间的联系 427

14.2　格林公式 431

14.2.1　格林公式 432

14.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件 440

14.2.3　全微分与全微分求积全微分方程 445

14.3　第二型曲面积分 457

14.3.1 第二型曲面积分问题的产生 457

14.3.2　第二型曲面积分的定义和性质 459

14.3.3　第二型曲面积分的计算方法 465

14.3.4　两类曲面积分之间的联系 470

14.4　高斯公式 472

14.4.1　通量和散度 473

14.4.2　高斯公式 474

14.4.3　无散度场的曲面积分 483

14.5　斯托克斯公式 488

14.5.1　斯托克斯公式 489

14.5.2　环量和旋度 492

14.5.3　无旋场的曲线积分 496

14.6　数学模型与数学实验举例 503

14.6.1　散度及旋度的计算 503

14.6.2　小课题研讨（五）：飓风模型 504

第14章总习题 506

15　傅里叶级数 510

15.1 引言 510

15.1.1　周期函数 510

15.1.2　三角函数系的正交性 512

15.2　周期函数的傅里叶级数展开 514

15.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开 514

15.2.2　傅里叶级数的性质 521

15.2.3　周期为2l的函数的傅里叶级数展开 522

15.3　有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开 525

15.3.1　周期延拓 525

15.3.2　奇延拓和偶延拓 528

15.4　数学模型与数学实验举例 531

第15章总习题 532

附录Ⅰ 行列式与线性方程组 534

Ⅰ.1　行列式 534

Ⅰ.1.1　行列式的概念 534

Ⅰ.1.2　二阶行列式 534

Ⅰ.1.3　三阶行列式与四阶行列式 534

Ⅰ.1.4　行列式的主要性质 536

Ⅰ.2　线性方程组 538

Ⅰ.2.1　克莱姆法则 538

Ⅰ.2.2　齐次线性方程组 538

附录Ⅱ 习题参考答案 541