目录 1
前言 1
第一章 距离空间 1
§1 线性距离空间 1
1.1 线性空间 1
1.2 距离空间 3
1.3 线性赋范空间 6
2.1 完备性定义及例子 7
§2 距离空间的完备性 7
2.2 完备空间的重要性 9
2.3 空间的完备化 10
§3 内积空间 12
3.1 内积空间的定义 12
3.2 正规直交（正交）基 16
§4 距离空间中的点集 19
4.1 开集与闭集 19
4.2 稠密性与可分空间 20
4.3 列紧集与紧集 22
§5 不动点定理 28
5.1 压缩映射的不动点定理 28
5.2 凸紧集上的不动点定理 32
习题一 32
第二章 Banach空间上的有界线性算子 37
§1 有界线性算子及其范数 37
1.1 有界线性算子 37
1.2 算子空间 39
1.3 算子的可逆性 41
§2 Hahn-Banach定理 43
2.1 Hahn-Banach定理 43
2.2 Hahn-Banach定理的几何形式 49
§3 一致有界原理与闭图像定理 53
3.1 一致有界原理 53
3.2 逆算子定理 55
3.3 闭图像定理 58
§4 对偶空间与弱收敛 59
4.1 对偶空间、二次对偶与自反空间 59
4.2 弱收敛与弱＊收敛 66
§5 Banach共轭算子 69
5.1 共轭算子 69
5.2 算子的值域与零空间 72
§6 有界线性算子的谱 76
6.1 算子的预解式与谱 76
6.2 谱半径公式 79
§7 紧算子 81
7.1 紧算子的定义与性质 81
7.2 Riesz-Schauder理论 87
7.3 关于不变子空间的注 93
习题二 95
第三章 Hilbert空间上的有界线性算子 99
§1 投影定理与Frechet-Riesz表示定理 99
1.1 投影定理 99
1.2 Frechet-Riesz表示定理 100
1.3 Hilbert共轭算子 102
§2 几类特殊算子 105
2.1 定义及例子 105
2.2 双线性形式 107
2.3 算子谱的性质 111
2.4 自伴算子的上下界 113
2.5 谱映射定理 114
§3 紧自伴算子 115
3.1 投影算子 116
3.2 不变子空间和约化子空间 119
3.3 紧自伴算子的谱分解定理 120
4.1 谱系、谱测度与谱积分 122
§4 有界自伴算子的谱分解定理 122
4.2 有界自伴算子的谱分解定理 132
4.3 正算子 138
§5 酉算子的谱分解定理 141
§6 正规算子的谱分解定理 144
6.1 乘积谱测度 145
6.2 正规算子的谱分解定理 149
习题三 151
参考文献 154
索引 155