第十四章 无穷级数 1
1 数项级数的概念和性质 1
1.1 基本概念 1
1.2 级数的简单性质 5
1.3 收敛的必要条件 7
1.4 柯西收敛原理(柯西准则) 8
习题14.1 10
2 正项级数的收敛判别法 11
习题14.2 24
3 任意项级数的收敛判别法 25
3.1 交错级数 25
3.2 绝对收敛与条件收敛 27
3.3 狄里克雷判别法和阿贝尔(Abel)判别法 31
习题14.3 39
4 绝对收敛级数的性质 40
4.1 可交换性 40
4.2 级数的乘法 43
习题14.4 47
5 函数项级数 47
5.1 函数序列 47
5.2 函数项级数 55
5.3 一致收敛的函数项级数的性质 67
习题14.5 75
6 幂级数 76
6.1 幂级数的收敛域和收敛半径 77
6.2 收敛半径的求法 80
6.3 幂级数的性质 84
习题14.6 94
7 泰勒级数 95
7.1 泰勒级数 96
7.2 初等函数的泰勒展开式 99
7.3 幂级数的简单应用 108
8 欧拉(Euler)公式 111
习题14.7 113
第十五章 含参变量的积分 114
1 含参变量的常义积分 115
1.1 积分限固定的情形 115
1.2 积分限变动的情形 121
习题15.1 124
2 含参变量的广义积分 125
2.1 含参变量的无穷积分 125
2.2 含参变量的瑕积分 144
习题15.2 147
第十六章 傅里叶级数与傅里叶积分 149
1 傅里叶级数 149
1.1 三角函数系的正交性 150
1.2 周期为2π的函数的傅氏系数与傅氏级数 151
1.3 傅氏级数的收敛性 154
1.4 奇、偶函数的傅氏级数 155
1.5 函数的傅里叶展开式举例 156
1.6 周期为2l的函数的傅氏展开式 165
1.7 函数在半区间［0，l］上的傅氏展开式 170
习题16.1 177
2 复数形式的傅氏级数 178
2.1 频谱分析——傅氏级数的应用之一 178
2.2 复数形式的傅氏级数 180
2.3 两种形式的傅氏级数的比较 183
2.4 利用复数形式的傅氏级数作频谱分析 184
习题16.2 187
3 广义傅氏级数简介 187
3.1 标准正交系 187
3.2 广义傅氏系数与广义傅氏级数 188
3.3 平均平方误差与平均平方逼近 190
3.4 贝塞尔(Bessel)不等式 191
3.5 傅氏级数的平均平方收敛 195
3.6 帕斯瓦尔(Parseval)等式 195
4 傅里叶积分 196
4.1 傅里叶积分与傅里叶变换 196
4.2 傅氏积分收敛定理 201
4.3 非周期函数的频谱分析 204
4.4 傅氏积分的三角形式(或实数形式) 207
4.5 奇、偶函数的傅氏积分与傅氏变换 207
4.6 函数在半区间［0，+∞)上的傅氏积分 208
习题16.3 211
5 傅氏变换的基本性质 212
习题16.4 218
第十七章 常微分方程 220
1 微分方程的基本概念 220
1.1 微分方程 220
1.2 微分方程的解 222
习题17.1 224
2 一阶微分方程 225
2.1 可分离变量的方程 225
习题17.2(1) 230
2.2 可化为分离变量方程的几类一阶方程 231
习题17.2(2) 236
2.3 一阶线性方程 236
习题17.2(3) 243
2.4 全微分方程与积分因子 244
习题17.2(4) 254
2.5 可降阶的二阶微分方程 255
习题17.2(5) 258
3 一阶微分方程解的存在惟一性定理 258
3.1 比卡逐次逼近法 258
3.2 比卡存在惟一性定理 261
习题17.3 269
4 二阶线性微分方程通解的结构 269
4.1 几个实例 269
4.2 线性微分方程解的存在惟一性定理 273
4.3 二阶线性齐次微分方程通解的结构 274
4.4 二阶线性非齐次微分方程通解的结构 278
习题17.4 280
5 常系数二阶线性齐次微分方程的解法 280
习题17.5 286
6 常系数二阶线性非齐次微分方程的求解 287
6.1 三类常见的特殊右端 287
6.2 其他几类特殊右端 291
6.3 两个常用定理 293
习题17.6 296
7 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程 296
7.1 常数变易法 296
7.2 欧拉方程 300
习题17.7 301
8 应用举例 302
8.1 几种常见的列方程方法 302
8.2 关于二阶微分方程的几个实例 307
习题17.8 313
9 常系数线性微分方程组 315
9.1 实例 315
9.2 一阶线性微分方程组 316
9.3 用消元法求解常系数线性微分方程组 317
习题17.9 323
附录 微分方程的幂级数解法简介 325
习题 334
习题答案 335