第1章 行列式 1
问题1.1 ai1j1ai2j2…ainjn是n阶行列式|a?|n展开式中的一项的条件是什么?若ai1j1ai2j2…ainjn是n阶行列式|a?|n展开式中的一项,它前面所带的符号如何确定? 1
问题1.2 为什么当n≥4时,n阶行列式没有“对角线展开法则”? 1
问题1.3 计算行列式时,行列式定义所起的作用是什么? 2
问题1.4 计算n阶行列式的基本思路、策略、常用技巧及方法有哪些? 3
第2章 矩阵 17
问题2.1 方阵A与其行列式|A|有什么关系? 17
问题2.2 矩阵的子式与其行列式有何区别和联系? 17
问题2.3 用性质计算行列式与对矩阵施行初等变换有哪些异同? 17
问题2.4 矩阵的运算性质与方阵的行列式、数的运算性质有何区别? 18
问题2.5 对于给定的方阵A,如何计算A的高次方幂Am? 20
问题2.6 与矩阵可逆性相关的判定条件有哪些? 24
问题2.7 如何利用可逆矩阵的定义和性质解题? 24
问题2.8 关于n阶方阵A的伴随矩阵A*有哪些基本结论? 26
问题2.9 判别“若M=[?],A,B,C,D均为n阶方阵,则M*=[?]是否正确 27
问题2.10 对于m阶方阵A,n阶方阵B,如何求[?]和[?]的伴随矩阵? 27
问题2.11 如何计算方阵[?]行列式? 28
问题2.12 若分块矩阵M=[?]满足|M|≠0,A,B,C,D都是方阵,如何用分块矩阵的形式求M。? 29
问题2.13 已知方阵A,计算A-1有哪些基本方法? 31
问题2.14 已知与方阵M有关的等式或表达式,如何判定M是否可逆并求M-1? 34
问题2.15 如何求解简单的矩阵方程? 38
问题2.16 矩阵的秩有哪些基本性质?如何解与矩阵秩有关的问题? 39
问题2.17 如何解与矩阵运算有关的方阵的行列式问题? 46
问题2.18 矩阵的初等变换、初等矩阵、可逆矩阵及矩阵的(行、列)等价之间有何关系? 48
问题2.19 为什么对矩阵A施行初等行变换不改变A的列向量组间的线性关系? 50
问题2.20 判别“设A,B均为n阶可逆矩阵,则A一定可以经过有限次初等行变换变为B”这一结论是否正确 50
第3章 n维向量 52
问题3.1 在n维向量组的线性相关和线性无关的定义中应注意什么? 52
问题3.2 由向量组的线性相关性定义可直接得出哪些结论? 52
问题3.3 应用向量组的线性相关性的概念时有哪些常见的错误? 53
问题3.4 如何应用向量组线性相关性的定义判别已给向量组的线性相关性? 56
问题3.5 向量组的线性相关性与极大无关组、向量组的秩、方阵A的行列式、两向量组的等价等概念有何关系?如何应用这些概念及理论判别或证明给定向量组的线性相关性? 58
问题3.6 向量组的秩与矩阵的秩有何关系?它们在研究向量组的线性相关性及向量组的初等变换等问题时,扮演什么角色? 61
问题3.7 判别向量组线性相关性的方法有哪些? 64
问题3.8 如何将已知向量表示为给定向量组的线性组合? 67
问题3.9 如何求已知向量组的秩、极大无关组,并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合? 69
问题3.10 如何解决与向量组理论有关的证明题? 72
第4章 线性方程组 78
问题4.1 如何判定齐次线性方程组有唯一解,还是有无穷多解? 78
问题4.2 如何判定非齐次线性方程组无解,有唯一解,有无穷多解? 79
问题4.3 如何证明线性方程组是否同解? 83
问题4.4 判别“设矩阵Am×n,Bn×s,r(A)=r.若AB=0且r(B)=n-r,则矩阵B的列向量组一定是AX=0的基础解系”这一说法是否正确 84
问题4.5 解线性方程组有哪些基本方法? 85
问题4.6 求解含参数的线性方程组有哪些基本方法? 89
问题4.7 怎样求两个线性方程组的公共解? 97
问题4.8 如何判定两个线性方程组同解? 101
问题4.9 如何判定或证明给定的向量组是某齐次线性方程组的基础解系? 102
问题4.10 如何利用线性方程组的不同表达形式解题? 105
问题4.11 非齐次线性方程组AX=β有解时,其通解能通过AX=β自己的一组线性无关的解向量表达出来吗?如何表达? 110
问题4.12 如何应用线性方程组理论解决矩阵问题? 110
问题4.13 平面上n个点(xi,yi)(i=1,2,…,n),n≥3,位于一条直线上的充分必要条件是什么? 112
问题4.14 平面上n条直线aix+biy+ci=0(i=1,2,…,n)(n≥2)共点的充分必要条件是什么? 112
第5章 矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵 114
问题5.1 何谓矩阵的特征值、特征向量?它们有哪些性质? 114
问题5.2 如何计算n阶矩阵A的特征值及其特征向量?A的属于不同特征值的线性无关的特征向量组间有何关系? 117
问题5.3 何谓二方阵相似?在什么条件下A与对角形矩阵相似? 119
问题5.4 n阶矩阵A的秩等于A的非零特征值的个数吗? 122
问题5.5 若λ0是矩阵A的s重特征值,为什么A的属于λ0的线性无关的特征向量组至多含s个向量? 122
问题5.6 对于n阶矩阵A和多项式f(x),若f(A)=0,则f(x)=0的根与A的特征值有何关系? 123
问题5.7 求给定矩阵的特征值有哪些基本方法? 124
问题5.8 如何确定n阶矩阵A的属于特征值λ0的特征向量? 129
问题5.9 给定矩阵A,如何求可逆矩阵P,使P-1AP为对角形矩阵? 132
问题5.10 给定n阶实对称矩阵A,如何求正交矩阵T,使TTAT为对角形矩阵? 135
问题5.11 已知矩阵A的某些特征值和特征向量,如何求矩阵A或与A有关的一些矩阵? 137
问题5.12 如何利用n阶矩阵A的相似对角形矩阵解决与A有关的问题? 142
第6章 二次型 146
问题6.1 何谓二次型?何谓二次型的矩阵?二次型的秩? 146
问题6.2 实二次型经不同的可逆线性变换得到的标准形唯一吗?如经正交变换,得到的标准形唯一吗? 147
问题6.3 什么是实二次型的规范形?其规范形唯一吗? 148
问题6.4 两矩阵等价、相似、合同之间有何关系?它们与二次型有何联系? 149
问题6.5 已知实对称矩阵B合同于A,如何求可逆矩阵P,使PTAP=B? 150
问题6.6 化实二次型为标准形常用的方法有哪些? 153
问题6.7 什么是实二次型的等价分类? 157
问题6.8 如何求正交变换化实二次型为标准形,并求解与此相关的问题? 158
问题6.9 如何利用实二次型在正交变换下的标准形解决相关问题? 164
问题6.10 何种二次型(矩阵)为正定二次型(正定矩阵)?正定二次型(矩阵)有哪些判别法? 166