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第1章 行列式 1

问题1.1 ai1j1ai2j2…ainjn是n阶行列式｜a？｜n展开式中的一项的条件是什么？若ai1j1ai2j2…ainjn是n阶行列式｜a？｜n展开式中的一项，它前面所带的符号如何确定？ 1

问题1.2 为什么当n≥4时，n阶行列式没有“对角线展开法则”？ 1

问题1.3 计算行列式时，行列式定义所起的作用是什么？ 2

问题1.4 计算n阶行列式的基本思路、策略、常用技巧及方法有哪些？ 3

第2章 矩阵 17

问题2.1 方阵A与其行列式｜A｜有什么关系？ 17

问题2.2 矩阵的子式与其行列式有何区别和联系？ 17

问题2.3 用性质计算行列式与对矩阵施行初等变换有哪些异同？ 17

问题2.4 矩阵的运算性质与方阵的行列式、数的运算性质有何区别？ 18

问题2.5 对于给定的方阵A，如何计算A的高次方幂Am？ 20

问题2.6 与矩阵可逆性相关的判定条件有哪些？ 24

问题2.7 如何利用可逆矩阵的定义和性质解题？ 24

问题2.8 关于n阶方阵A的伴随矩阵A＊有哪些基本结论？ 26

问题2.9 判别“若M＝［？］，A，B，C，D均为n阶方阵，则M＊＝［？］是否正确 27

问题2.10 对于m阶方阵A，n阶方阵B，如何求［？］和［？］的伴随矩阵？ 27

问题2.11 如何计算方阵［？］行列式？ 28

问题2.12 若分块矩阵M＝［？］满足｜M｜≠0，A，B，C，D都是方阵，如何用分块矩阵的形式求M。？ 29

问题2.13 已知方阵A，计算A-1有哪些基本方法？ 31

问题2.14 已知与方阵M有关的等式或表达式，如何判定M是否可逆并求M-1？ 34

问题2.15 如何求解简单的矩阵方程？ 38

问题2.16 矩阵的秩有哪些基本性质？如何解与矩阵秩有关的问题？ 39

问题2.17 如何解与矩阵运算有关的方阵的行列式问题？ 46

问题2.18 矩阵的初等变换、初等矩阵、可逆矩阵及矩阵的（行、列）等价之间有何关系？ 48

问题2.19 为什么对矩阵A施行初等行变换不改变A的列向量组间的线性关系？ 50

问题2.20 判别“设A，B均为n阶可逆矩阵，则A一定可以经过有限次初等行变换变为B”这一结论是否正确 50

第3章 n维向量 52

问题3.1 在n维向量组的线性相关和线性无关的定义中应注意什么？ 52

问题3.2 由向量组的线性相关性定义可直接得出哪些结论？ 52

问题3.3 应用向量组的线性相关性的概念时有哪些常见的错误？ 53

问题3.4 如何应用向量组线性相关性的定义判别已给向量组的线性相关性？ 56

问题3.5 向量组的线性相关性与极大无关组、向量组的秩、方阵A的行列式、两向量组的等价等概念有何关系？如何应用这些概念及理论判别或证明给定向量组的线性相关性？ 58

问题3.6 向量组的秩与矩阵的秩有何关系？它们在研究向量组的线性相关性及向量组的初等变换等问题时，扮演什么角色？ 61

问题3.7 判别向量组线性相关性的方法有哪些？ 64

问题3.8 如何将已知向量表示为给定向量组的线性组合？ 67

问题3.9 如何求已知向量组的秩、极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合？ 69

问题3.10 如何解决与向量组理论有关的证明题？ 72

第4章 线性方程组 78

问题4.1 如何判定齐次线性方程组有唯一解，还是有无穷多解？ 78

问题4.2 如何判定非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？ 79

问题4.3 如何证明线性方程组是否同解？ 83

问题4.4 判别“设矩阵Am×n，Bn×s，r（A）＝r.若AB＝0且r（B）＝n-r，则矩阵B的列向量组一定是AX＝0的基础解系”这一说法是否正确 84

问题4.5 解线性方程组有哪些基本方法？ 85

问题4.6 求解含参数的线性方程组有哪些基本方法？ 89

问题4.7 怎样求两个线性方程组的公共解？ 97

问题4.8 如何判定两个线性方程组同解？ 101

问题4.9 如何判定或证明给定的向量组是某齐次线性方程组的基础解系？ 102

问题4.10 如何利用线性方程组的不同表达形式解题？ 105

问题4.11 非齐次线性方程组AX＝β有解时，其通解能通过AX＝β自己的一组线性无关的解向量表达出来吗？如何表达？ 110

问题4.12 如何应用线性方程组理论解决矩阵问题？ 110

问题4.13 平面上n个点（xi，yi）（i＝1，2，…，n），n≥3，位于一条直线上的充分必要条件是什么？ 112

问题4.14 平面上n条直线aix＋biy＋ci＝0（i＝1，2，…，n）（n≥2）共点的充分必要条件是什么？ 112

第5章 矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵 114

问题5.1 何谓矩阵的特征值、特征向量？它们有哪些性质？ 114

问题5.2 如何计算n阶矩阵A的特征值及其特征向量？A的属于不同特征值的线性无关的特征向量组间有何关系？ 117

问题5.3 何谓二方阵相似？在什么条件下A与对角形矩阵相似？ 119

问题5.4 n阶矩阵A的秩等于A的非零特征值的个数吗？ 122

问题5.5 若λ0是矩阵A的s重特征值，为什么A的属于λ0的线性无关的特征向量组至多含s个向量？ 122

问题5.6 对于n阶矩阵A和多项式f（x），若f（A）＝0，则f（x）＝0的根与A的特征值有何关系？ 123

问题5.7 求给定矩阵的特征值有哪些基本方法？ 124

问题5.8 如何确定n阶矩阵A的属于特征值λ0的特征向量？ 129

问题5.9 给定矩阵A，如何求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵？ 132

问题5.10 给定n阶实对称矩阵A，如何求正交矩阵T，使TTAT为对角形矩阵？ 135

问题5.11 已知矩阵A的某些特征值和特征向量，如何求矩阵A或与A有关的一些矩阵？ 137

问题5.12 如何利用n阶矩阵A的相似对角形矩阵解决与A有关的问题？ 142

第6章 二次型 146

问题6.1 何谓二次型？何谓二次型的矩阵？二次型的秩？ 146

问题6.2 实二次型经不同的可逆线性变换得到的标准形唯一吗？如经正交变换，得到的标准形唯一吗？ 147

问题6.3 什么是实二次型的规范形？其规范形唯一吗？ 148

问题6.4 两矩阵等价、相似、合同之间有何关系？它们与二次型有何联系？ 149

问题6.5 已知实对称矩阵B合同于A，如何求可逆矩阵P，使PTAP＝B？ 150

问题6.6 化实二次型为标准形常用的方法有哪些？ 153

问题6.7 什么是实二次型的等价分类？ 157

问题6.8 如何求正交变换化实二次型为标准形，并求解与此相关的问题？ 158

问题6.9 如何利用实二次型在正交变换下的标准形解决相关问题？ 164

问题6.10 何种二次型（矩阵）为正定二次型（正定矩阵）？正定二次型（矩阵）有哪些判别法？ 166