目录 1
第1章 函数与极限 1
1.1 函数的概念 1
1.1.1 邻域 1
1.1.2 函数的定义 1
1.1.3 函数的性质 3
1.1.4 函数的四则运算 4
1.1.5 复合函数与反函数 6
习题1-1 7
1.2 数列的极限 8
1.2.1 数列的极限 8
1.2.2 数列极限的性质 11
习题1-2 12
1.3 函数的极限 13
1.3.1 自变量趋于有限值时函数的极限 13
1.3.2 自变量趋向无穷大时函数的极限 16
1.3.3 无穷小量与无穷大量 17
1.3.4 海涅(Heine)定理 19
习题1-3 20
1.4 函数极限的性质与运算 21
1.4.1 极限与函数值的关系 21
1.4.2 函数极限与无穷小的关系 22
1.4.3 无穷小的性质 22
1.4.4 极限的四则运算定理 23
习题1-4 26
1.5 极限存在准则及两个重要极限 27
1.5.1 夹逼准则 27
1.5.2 单调有界准则 29
习题1-5 31
1.6 无穷小量的比较 32
习题1-6 34
1.7 连续函数 35
1.7.1 函数的连续性 35
1.7.2 函数的间断点 36
1.7.3 初等函数的连续性 38
1.7.4 闭区间上连续函数的性质 41
1.7.5 一致连续概念 43
习题1-7 44
1.8 应用 45
习题1-8 49
复习题1 50
1.9 数学实验:函数,极限,连续 51
第2章 导数与微分 61
2.1 导数概念 61
2.1.1 引例 61
2.1.2 导数的定义 62
2.1.3 导数的几何意义 63
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 64
2.1.5 基本初等函数的导数 65
2.2 函数的求导法则 67
习题2-1 67
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 68
2.2.2 反函数的求导法则 69
2.2.3 复合函数的求导法则 71
习题2-2 74
2.3 高阶导数 75
2.3.1 高阶导数的定义 75
2.3.2 二函数乘积求导的莱布尼兹(Leibniz)公式 77
习题2-3 78
2.4 隐函数及参量函数的导数 79
2.4.1 隐函数的导数 79
2.4.2 参量函数的导数 81
2.4.3 极坐标系下曲线切线的斜率 83
2.4.4 相关变化率 84
习题2-4 85
2.5 函数的微分 86
2.5.1 微分的概念 86
2.5.2 微分的几何意义 88
2.5.3 微分公式 88
2.5.4 复合函数的微分法则 89
习题2-5 91
2.6 应用 92
习题2-6 96
复习题2 96
2.7 数学实验:导数,微分 98
3.1.1 罗尔定理 103
第3章 导数的应用 103
3.1 微分中值定理 103
3.1.2 拉格朗日中值定理 104
3.1.3 柯西中值定理 105
习题3-1 106
3.2 罗必塔(L’Hospital)法则 106
3.2.1 ?型未定式 107
3.2.2 ?型未定式 108
3.2.3 其它类型的未定式 109
习题3-2 111
3.3 函数的单调性与极值 112
3.3.1 函数单调性的判定法 112
3.3.2 函数的极值及其求法 114
习题3-3 117
3.4 函数的最大值、最小值 118
习题3-4 120
3.5 曲线的凹凸性与拐点 121
习题3-5 124
3.6 函数图形的描绘 124
3.6.1 曲线的渐近线 125
3.6.2 函数图形的描绘 126
习题3-6 128
3.7 曲率 129
3.7.1 弧微分 129
3.7.2 曲率及其计算公式 130
3.7.3 曲率圆与曲率半径 134
3.7.4 渐屈线与渐伸线 135
习题3-7 137
3.8 泰勒(Taylor)公式 138
习题3-8 142
3.9 应用 143
习题3-9 146
复习题3 147
3.10 数学实验:微分中值定理,导数应用 148
第4章 不定积分 154
4.1 不定积分的概念 154
4.1.1 原函数与不定积分 154
4.1.3 基本积分表 156
4.1.2 不定积分的性质 156
习题4-1 158
4.2 换元积分法 158
4.2.1 第一类换元积分法 158
4.2.2 第二类换元积分法 162
习题4-2 165
4.3 分部积分法 166
习题4-3 169
4.4 几类函数的积分法 170
4.4.1 有理函数的积分 170
4.4.2 三角函数有理式的积分 174
4.4.3 两种无理函数的积分 176
复习题4 179
习题4-4 179
4.5 数学实验:不定积分 181
第5章 定积分 185
5.1 定积分的概念 185
5.1.1 定积分问题的两个引例 185
5.1.2 定积分的定义 187
5.1.3 定积分的几何意义 189
习题5-1 191
5.2 定积分的性质 192
5.2.1 定积分的性质 192
5.2.2 定积分的中值定理 194
习题5-2 195
5.3.1 变上限的定积分 196
5.3 定积分与原函数的关系 196
5.3.2 牛顿-莱布尼兹公式 198
习题5-3 199
5.4 定积分的计算方法 201
5.4.1 定积分的换元公式 201
5.4.2 定积分的分部积分公式 204
习题5-4 206
5.5 广义积分与Г函数 207
5.5.1 积分区间为无穷的广义积分 208
5.5.2 无界函数的广义积分 210
5.5.3 Г函数 212
习题5-5 213
5.6.1 求平面图形的面积S 215
5.6 定积分在几何上的应用 215
5.6.2 求立体的体积V 219
5.6.3 求平面曲线的弧长s 222
5.6.4 求旋转体的侧面积 224
习题5-6 226
5.7 定积分在物理上的应用 227
5.7.1 求变力所作的功 227
5.7.2 求引力的问题 229
5.7.3 求液体的侧压力 230
5.7.4 求函数的平均值 231
习题5-7 231
5.8.1 最大利润 232
5.8 定积分在经济上的应用 232
5.8.2 供需平衡 233
习题5-8 235
复习题5 235
5.9 数学实验:定积分 239
第6章 空间解析几何与向量代数 246
6.1 空间直角坐标系 246
习题6-1 248
6.2 向量代数 249
6.2.1 向量概念 249
6.2.2 向量的加法与数乘运算 249
6.2.3 向量的坐标表达式 250
6.2.4 两向量的数量积、向量积 253
习题6-2 256
6.3 平面方程和空间直线方程 257
6.3.1 平面方程 257
6.3.2 直线方程 260
6.3.3 平面束的方程 263
习题6-3 264
6.4 曲面及其方程 265
6.4.1 柱面 265
6.4.2 旋转面 266
6.4.3 二次曲面 267
习题6-4 270
6.5 向量值函数和空间曲线 271
6.5.1 向量值函数和空间曲线 271
6.5.2 空间曲线的一般方程 272
6.5.3 空间曲线在坐标面上的投影曲线 273
习题6-5 274
6.6 空间运动的速度和加速度 274
6.6.1 加速度的切线分量与法线分量 276
6.6.2 行星运动的开普勒定律 277
习题6-6 278
复习题6 279
6.7 数学实验:空间解析几何与向量代数 280
附录1 Mathematica入门 289
附录2 几种常用的曲线 295
附录3 积分表 298
附录4 习题参考答案 307