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目录 1

第1章　函数与极限 1

1.1　函数的概念 1

1.1.1　邻域 1

1.1.2　函数的定义 1

1.1.3　函数的性质 3

1.1.4　函数的四则运算 4

1.1.5　复合函数与反函数 6

习题1-1 7

1.2　数列的极限 8

1.2.1　数列的极限 8

1.2.2　数列极限的性质 11

习题1-2 12

1.3　函数的极限 13

1.3.1 自变量趋于有限值时函数的极限 13

1.3.2　自变量趋向无穷大时函数的极限 16

1.3.3　无穷小量与无穷大量 17

1.3.4　海涅（Heine）定理 19

习题1-3 20

1.4　函数极限的性质与运算 21

1.4.1　极限与函数值的关系 21

1.4.2　函数极限与无穷小的关系 22

1.4.3　无穷小的性质 22

1.4.4　极限的四则运算定理 23

习题1-4 26

1.5　极限存在准则及两个重要极限 27

1.5.1　夹逼准则 27

1.5.2　单调有界准则 29

习题1-5 31

1.6　无穷小量的比较 32

习题1-6 34

1.7　连续函数 35

1.7.1　函数的连续性 35

1.7.2　函数的间断点 36

1.7.3　初等函数的连续性 38

1.7.4　闭区间上连续函数的性质 41

1.7.5　一致连续概念 43

习题1-7 44

1.8　应用 45

习题1-8 49

复习题1 50

1.9　数学实验：函数，极限，连续 51

第2章　导数与微分 61

2.1　导数概念 61

2.1.1　引例 61

2.1.2　导数的定义 62

2.1.3　导数的几何意义 63

2.1.4　函数的可导性与连续性的关系 64

2.1.5　基本初等函数的导数 65

2.2　函数的求导法则 67

习题2-1 67

2.2.1　函数的和、差、积、商的求导法则 68

2.2.2　反函数的求导法则 69

2.2.3　复合函数的求导法则 71

习题2-2 74

2.3　高阶导数 75

2.3.1　高阶导数的定义 75

2.3.2　二函数乘积求导的莱布尼兹（Leibniz）公式 77

习题2-3 78

2.4　隐函数及参量函数的导数 79

2.4.1　隐函数的导数 79

2.4.2　参量函数的导数 81

2.4.3　极坐标系下曲线切线的斜率 83

2.4.4　相关变化率 84

习题2-4 85

2.5　函数的微分 86

2.5.1　微分的概念 86

2.5.2　微分的几何意义 88

2.5.3　微分公式 88

2.5.4　复合函数的微分法则 89

习题2-5 91

2.6　应用 92

习题2-6 96

复习题2 96

2.7　数学实验：导数，微分 98

3.1.1　罗尔定理 103

第3章　导数的应用 103

3.1　微分中值定理 103

3.1.2　拉格朗日中值定理 104

3.1.3　柯西中值定理 105

习题3-1 106

3.2　罗必塔（L’Hospital）法则 106

3.2.1　？型未定式 107

3.2.2　？型未定式 108

3.2.3　其它类型的未定式 109

习题3-2 111

3.3　函数的单调性与极值 112

3.3.1　函数单调性的判定法 112

3.3.2　函数的极值及其求法 114

习题3-3 117

3.4　函数的最大值、最小值 118

习题3-4 120

3.5　曲线的凹凸性与拐点 121

习题3-5 124

3.6　函数图形的描绘 124

3.6.1　曲线的渐近线 125

3.6.2　函数图形的描绘 126

习题3-6 128

3.7　曲率 129

3.7.1　弧微分 129

3.7.2　曲率及其计算公式 130

3.7.3　曲率圆与曲率半径 134

3.7.4 渐屈线与渐伸线 135

习题3-7 137

3.8　泰勒（Taylor）公式 138

习题3-8 142

3.9　应用 143

习题3-9 146

复习题3 147

3.10　数学实验：微分中值定理，导数应用 148

第4章　不定积分 154

4.1　不定积分的概念 154

4.1.1　原函数与不定积分 154

4.1.3　基本积分表 156

4.1.2　不定积分的性质 156

习题4-1 158

4.2　换元积分法 158

4.2.1　第一类换元积分法 158

4.2.2　第二类换元积分法 162

习题4-2 165

4.3　分部积分法 166

习题4-3 169

4.4　几类函数的积分法 170

4.4.1　有理函数的积分 170

4.4.2　三角函数有理式的积分 174

4.4.3　两种无理函数的积分 176

复习题4 179

习题4-4 179

4.5　数学实验：不定积分 181

第5章　定积分 185

5.1　定积分的概念 185

5.1.1　定积分问题的两个引例 185

5.1.2　定积分的定义 187

5.1.3　定积分的几何意义 189

习题5-1 191

5.2　定积分的性质 192

5.2.1　定积分的性质 192

5.2.2　定积分的中值定理 194

习题5-2 195

5.3.1　变上限的定积分 196

5.3　定积分与原函数的关系 196

5.3.2　牛顿-莱布尼兹公式 198

习题5-3 199

5.4　定积分的计算方法 201

5.4.1　定积分的换元公式 201

5.4.2　定积分的分部积分公式 204

习题5-4 206

5.5　广义积分与Г函数 207

5.5.1　积分区间为无穷的广义积分 208

5.5.2　无界函数的广义积分 210

5.5.3　Г函数 212

习题5-5 213

5.6.1　求平面图形的面积S 215

5.6　定积分在几何上的应用 215

5.6.2　求立体的体积V 219

5.6.3　求平面曲线的弧长s 222

5.6.4　求旋转体的侧面积 224

习题5-6 226

5.7　定积分在物理上的应用 227

5.7.1　求变力所作的功 227

5.7.2　求引力的问题 229

5.7.3　求液体的侧压力 230

5.7.4　求函数的平均值 231

习题5-7 231

5.8.1　最大利润 232

5.8　定积分在经济上的应用 232

5.8.2　供需平衡 233

习题5-8 235

复习题5 235

5.9　数学实验：定积分 239

第6章　空间解析几何与向量代数 246

6.1　空间直角坐标系 246

习题6-1 248

6.2　向量代数 249

6.2.1　向量概念 249

6.2.2　向量的加法与数乘运算 249

6.2.3　向量的坐标表达式 250

6.2.4　两向量的数量积、向量积 253

习题6-2 256

6.3　平面方程和空间直线方程 257

6.3.1　平面方程 257

6.3.2　直线方程 260

6.3.3　平面束的方程 263

习题6-3 264

6.4　曲面及其方程 265

6.4.1　柱面 265

6.4.2　旋转面 266

6.4.3　二次曲面 267

习题6-4 270

6.5　向量值函数和空间曲线 271

6.5.1　向量值函数和空间曲线 271

6.5.2　空间曲线的一般方程 272

6.5.3　空间曲线在坐标面上的投影曲线 273

习题6-5 274

6.6　空间运动的速度和加速度 274

6.6.1　加速度的切线分量与法线分量 276

6.6.2　行星运动的开普勒定律 277

习题6-6 278

复习题6 279

6.7　数学实验：空间解析几何与向量代数 280

附录1　Mathematica入门 289

附录2　几种常用的曲线 295

附录3　积分表 298

附录4　习题参考答案 307