第一章 函数 极限 连续 1
1 函数 1
一、内容提要 1
二、关于函数概念中的一些问题 2
三、求函数的定义域 3
四、函数的符号运算 5
五、求反函数 6
六、判断函数的奇偶性 求周期函数的周期 8
七、极坐标中的作图法 10
2 极限 11
一、内容提要 11
二、关于极限概念中的一些问题 13
三、运用极限的四则运算时应注意的问题 14
四、使用两个重要极限时要注意的问题 15
五、当x→∞时，有理分式？(其中P(x)，Q(x)均为x的多项式)的极限应怎样处理 15
六、求？未定型极限有些什么方法 16
七、求1∞型极限有些什么方法 18
八、如何利用等价无穷小的代换定理 19
3 函数的连续性 21
一、内容提要 21
二、关于函数连续概念中的一些问题 22
三、分段函数在其分段点处是否一定间断 23
四、分段函数在分段点处如何讨论其连续性 24
五、如何找函数的间断点及判定其类型 25
六、定理五及定理六中不是闭区间行吗 26
七、求极限的方法小结 27
4 综合杂题 28
5 教材中第一章习题内某些题的分析与提示 31
6 自我检查题及其解答 35
一、自我检查题 35
二、自我检查题的解答 37
1 导数的概念 39
一、内容提要 39
第二章 导数与微分 39
二、用导数定义求函数的导数与导函数 40
三、分段函数在分段点处如何求导数 41
四、极限、连续、可导之间的关系 42
五、切线及其有关的问题 42
六、导数的物理意义 44
一、内容提要 45
二、求导数时，易发生的繁琐与错误 45
2 函数的微分法 45
三、导数的四则运算 47
四、求导中常用的简捷方法介绍 47
五、复合函数求导的方法和步骤 48
六、初等函数的表达式中有复合运算又有四则运算时，如何求导 50
3 函数的微分及其在近似计算中的应用 51
一、内容提要 51
二、求函数的微分 52
三、微分在近似计算中的应用 53
一、求由方程F(x，y)=0所确定的函数的导数 55
4 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法 55
二、求由参数方程？，所确定的函数的导数 56
5 对数微分法 幂指函数求导 57
一、对数微分法 57
二、幂指函数求导 58
6 高阶导数求法 59
一、内容提要 59
二、显函数y=f(x)的高阶导数的求法 59
三、如何求隐函数的二阶导数 60
四、如何求由参数方程所确定的函数的二阶导数 61
7 综合杂题 61
一、讨论分段函数在分段点处的二阶可导性 61
二、显函数的n阶导数求法 63
三、几何应用 65
8 教材中第二章习题内某些题的分析与提示 67
9 自我检查题及其解答 75
一、自我检查题 75
二、自我检查题的解答 76
1 微分中值定理 洛必达法则 81
一、内容提要 81
二、有关微分中值定理的说明 81
第三章 导数的应用 81
三、用洛必达法则求极限时应注意的问题 83
四、用洛必达法则求极限 84
2 函数的增减性 极值 最大值与最小值 87
一、内容提要 87
二、确定函数的单调性的一般步骤 87
三、求函数的极值的方法和步骤 88
四、利用函数的增减性与极值证明不等式 89
五、求最大值最小值 91
六、驻点、极值点、最值点的关系 94
一、内容提要 95
二、凹凸区间及拐点的求法 95
3 曲线的凹凸性与拐点 渐近线作函数的图形 95
三、渐近线的求法 96
四、作函数y=f(x)的图形 97
4 综合杂题 98
一、求极限的杂题 98
二、求导的杂题 101
三、讨论方程f(x)=0的根 103
5 教材中第三章习题内某些题的分析与提示 105
一、自我检查题 116
6 自我检查题及其解答 116
二、自我检查题的解答 117
第四章 不定积分 121
1 不定积分概念 性质 基本积分表 121
一、内容提要 121
二、原函数与不定积分概念 122
三、利用基本积分表及基本性质计算不定积分 123
一、内容提要 124
二、凑微分法(简称凑法)的一些说明 124
2 第一换元法(或称凑微分法) 124
三、怎样使用凑微分法 125
四、使用三角恒等式与代数恒等式，将被积函数化为可用凑微分或分项的积分法 127
五、关于不定积分？dx的积分方法，其中A，B，a，b，c为常数，其中a≠0 128
3 第二换元法(简称换元法) 130
一、内容提要 130
二、被积函数中含有？，？或？的积分法 130
三、被积函数中含有？，？，？或、？的积分法 132
二、分部积分法的要点与计算格式 134
4 分部积分法 134
一、内容提要 134
5 综合杂题 137
6 教材中第四章习题内某些题的分析与提示 139
7 自我检查题及其解答 143
一、自我检查题 143
二、自我检查题的解答 143
一、内容提要 147
1 定积分概念与性质 147
第五章 定积分 147
二、定积分与面积 148
三、定积分性质的应用 149
2 微积分的基本公式 151
一、内容提要 151
二、有关变上限定积分的一些问题及其应用 151
三、正确使用牛顿—莱布尼茨公式 153
一、内容提要 154
3 定积分的换元积分法与分部积分法 154
二、定积分的换元法与分部积分法 155
4 反常积分(或称广义积分) 158
一、内容提要 158
二、计算反常积分 159
5 综合杂题 161
6 教材中第五章习题内某些题的分析与提示 164
7 自我检查题及其解答 167
一、微元法 168
二、直角坐标系中平面图形面积的计算 168
1 定积分的几何应用与物理应用 168
第六章 定积分的应用 168
三、极坐标系中平面图形面积的计算 170
四、曲线由参数方程表示的平面图形的面积的计算 172
五、旋转体的体积 173
六、物理应用(一)——变力作功 175
七、物理应用(二)——引力 177
2 综合杂题 178
3 教材中第六章习题内某些题的分析与提示 182
4 自我检查题及其解答 189
一、自我检查题 189
二、自我检查题的解答 190
第七章 微分方程 195
1 微分方程的一般概念 195
一、内容提要 195
二、有关微分方程概念中的一些问题 195
一、内容提要 197
2 一阶微分方程的解法 197
二、变量可分离的方程有什么特征及其解法 198
三、齐次方程y′=f(？)的解法 200
四、一阶线性方程的解法 202
3 二阶常系数线性微分方程的解法 205
一、内容提要 205
二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法及其有关问题 206
三、二阶常系数线性非齐次方程的解法 208
四、利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解 211
4 微分方程的应用 215
一、微分方程的几何应用 215
二、微分方程的物理应用——运动问题 217
三、微分方程的其他应用(微分法) 219
5 综合杂题 220
一、概念题 220
二、变量代换在解微分方程中的应用 222
三、二阶线性微分方程的杂题 224
6 教材中第七章习题内某些题的分析与提示 226
7 自我检查题及其解答 229
一、自我检查题 229
二、自我检查题的解答 231
第八章 向量代数 空间解析几何 235
1 向量概念及其加、减法和数乘运算 235
一、内容提要 235
二、有关向量概念及其运算的一些问题 236
2 数量积和向量积的计算及其应用 239
一、内容提要 239
二、有关点积、叉积概念和运算中的一些问题 240
三、点积与叉积 242
3 求平面和直线方程的基本思路 244
一、内容提要 244
二、平面方程的一些特殊情况 245
三、求平面方程的基本思路 246
四、直线方程的一些特殊情况 250
五、求直线方程的基本思路 253
一、内容提要 256
4 柱面 旋转面 锥面 256
二、曲面、曲线举例 257
5 综合杂题 259
6 教材中第八章习题内某些题的分析与提示 262
7 自我检查题及其解答 269
一、自我检查题 269
二、自我检查题的解答 270
一、内容提要 274
第九章 多元函数微分学 274
1 函数 极限 连续 偏导数和高阶偏导数 274
二、有关函数、极限、连续和偏导数概念的一些问题 275
三、如何求偏导数和高阶偏导数 279
2 全微分 复合函数的微分法隐函数的微分法 281
一、内容提要 281
二、如何求全微分及复合函数与隐函数的偏导数 282
一、内容提要 288
二、求切线和切平面的方法 288
3 多元函数微分法在几何上的应用 288
4 极值与条件极值 291
一、内容提要 291
二、极值与条件极值的求法 292
5 综合杂题 295
6 教材中第九章习题内某些题的分析与提示 298
7 自我检查题及其解答 305
一、自我检查题 305
二、自我检查题的解答 306
第十章 重积分 312
1 二重积分 312
一、内容提要 312
二、二重积分在直角坐标系下的累次积分法 314
三、二重积分在极坐标系下的累次积分法 317
四、二重积分的几何应用与物理应用 320
2 三重积分 325
一、内容提要 325
二、三重积分的计算法——各种坐标系下的累次积分法 327
3 综合杂题 329
4 教材中第十章习题内某些题的分析与提示 331
5 自我检查题及其解答 335
一、自我检查题 335
二、自我检查题的解答 336
第十一章 曲线积分 曲面积分 341
1 曲线积分的概念、性质和计算 341
一、内容提要 341
二、对弧长的曲线积分的计算方法 343
三、对坐标的曲线积分的计算方法 345
2 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 348
一、内容提要 348
二、怎样利用格林公式计算曲线积分 348
三、曲线积分与路径无关的应用 350
3 曲面积分 高斯公式 351
一、内容提要 351
二、两类曲面积分的计算 354
三、高斯公式 357
4 综合杂题 358
5 教材中第十一章习题内某些题的分析与提示 360
6 自我检查题及其解答 364
一、自我检查题 364
二、自我检查题的解答 365
第十二章 级数 369
1 数项级数概念与性质 369
一、内容提要 369
二、级数概念与性质 370
2 正项级数及其审敛法 374
一、内容提要 374
二、比较判别法 375
三、比值判别法(或称达朗贝尔判别法) 376
四、常出现的一些错误 378
3 任意项级数 379
一、内容提要 379
二、交错级数的判敛 380
三、任意项级数的条件收敛与绝对收敛 381
4 幂级数 383
一、内容提要 383
二、求收敛半径与收敛域 384
三、求幂级数的和函数的一些方法 386
5 函数的幂级数展开 389
一、内容提要 389
二、函数f(x)展开为幂级数的方法 390
一、内容提要 392
6 傅里叶级数 392
二、区间(-∞，+∞)上的傅里叶级数 394
三、［0，π］上的正弦级数和余弦级数 395
7 综合杂题 397
一、利用级数的部分和、级数的性质讨论级数的收敛性 397
二、求幂级数的和函数 399
8 教材中第十二章习题内某些题的分析与提示 401
9 自我检查题及其解答 410
一、自我检查题 410
二、自我检查题的解答 411