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第一章 函数 极限 连续 1

1 函数 1

一、内容提要 1

二、关于函数概念中的一些问题 2

三、求函数的定义域 3

四、函数的符号运算 5

五、求反函数 6

六、判断函数的奇偶性 求周期函数的周期 8

七、极坐标中的作图法 10

2 极限 11

一、内容提要 11

二、关于极限概念中的一些问题 13

三、运用极限的四则运算时应注意的问题 14

四、使用两个重要极限时要注意的问题 15

五、当x→∞时，有理分式？(其中P(x)，Q(x)均为x的多项式)的极限应怎样处理 15

六、求？未定型极限有些什么方法 16

七、求1∞型极限有些什么方法 18

八、如何利用等价无穷小的代换定理 19

3 函数的连续性 21

一、内容提要 21

二、关于函数连续概念中的一些问题 22

三、分段函数在其分段点处是否一定间断 23

四、分段函数在分段点处如何讨论其连续性 24

五、如何找函数的间断点及判定其类型 25

六、定理五及定理六中不是闭区间行吗 26

七、求极限的方法小结 27

4 综合杂题 28

5 教材中第一章习题内某些题的分析与提示 31

6 自我检查题及其解答 35

一、自我检查题 35

二、自我检查题的解答 37

1 导数的概念 39

一、内容提要 39

第二章 导数与微分 39

二、用导数定义求函数的导数与导函数 40

三、分段函数在分段点处如何求导数 41

四、极限、连续、可导之间的关系 42

五、切线及其有关的问题 42

六、导数的物理意义 44

一、内容提要 45

二、求导数时，易发生的繁琐与错误 45

2 函数的微分法 45

三、导数的四则运算 47

四、求导中常用的简捷方法介绍 47

五、复合函数求导的方法和步骤 48

六、初等函数的表达式中有复合运算又有四则运算时，如何求导 50

3 函数的微分及其在近似计算中的应用 51

一、内容提要 51

二、求函数的微分 52

三、微分在近似计算中的应用 53

一、求由方程F(x，y)=0所确定的函数的导数 55

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法 55

二、求由参数方程？，所确定的函数的导数 56

5 对数微分法 幂指函数求导 57

一、对数微分法 57

二、幂指函数求导 58

6 高阶导数求法 59

一、内容提要 59

二、显函数y=f(x)的高阶导数的求法 59

三、如何求隐函数的二阶导数 60

四、如何求由参数方程所确定的函数的二阶导数 61

7 综合杂题 61

一、讨论分段函数在分段点处的二阶可导性 61

二、显函数的n阶导数求法 63

三、几何应用 65

8 教材中第二章习题内某些题的分析与提示 67

9 自我检查题及其解答 75

一、自我检查题 75

二、自我检查题的解答 76

1 微分中值定理 洛必达法则 81

一、内容提要 81

二、有关微分中值定理的说明 81

第三章 导数的应用 81

三、用洛必达法则求极限时应注意的问题 83

四、用洛必达法则求极限 84

2 函数的增减性 极值 最大值与最小值 87

一、内容提要 87

二、确定函数的单调性的一般步骤 87

三、求函数的极值的方法和步骤 88

四、利用函数的增减性与极值证明不等式 89

五、求最大值最小值 91

六、驻点、极值点、最值点的关系 94

一、内容提要 95

二、凹凸区间及拐点的求法 95

3 曲线的凹凸性与拐点 渐近线作函数的图形 95

三、渐近线的求法 96

四、作函数y=f(x)的图形 97

4 综合杂题 98

一、求极限的杂题 98

二、求导的杂题 101

三、讨论方程f(x)=0的根 103

5 教材中第三章习题内某些题的分析与提示 105

一、自我检查题 116

6 自我检查题及其解答 116

二、自我检查题的解答 117

第四章 不定积分 121

1 不定积分概念 性质 基本积分表 121

一、内容提要 121

二、原函数与不定积分概念 122

三、利用基本积分表及基本性质计算不定积分 123

一、内容提要 124

二、凑微分法(简称凑法)的一些说明 124

2 第一换元法(或称凑微分法) 124

三、怎样使用凑微分法 125

四、使用三角恒等式与代数恒等式，将被积函数化为可用凑微分或分项的积分法 127

五、关于不定积分？dx的积分方法，其中A，B，a，b，c为常数，其中a≠0 128

3 第二换元法(简称换元法) 130

一、内容提要 130

二、被积函数中含有？，？或？的积分法 130

三、被积函数中含有？，？，？或、？的积分法 132

二、分部积分法的要点与计算格式 134

4 分部积分法 134

一、内容提要 134

5 综合杂题 137

6 教材中第四章习题内某些题的分析与提示 139

7 自我检查题及其解答 143

一、自我检查题 143

二、自我检查题的解答 143

一、内容提要 147

1 定积分概念与性质 147

第五章 定积分 147

二、定积分与面积 148

三、定积分性质的应用 149

2 微积分的基本公式 151

一、内容提要 151

二、有关变上限定积分的一些问题及其应用 151

三、正确使用牛顿—莱布尼茨公式 153

一、内容提要 154

3 定积分的换元积分法与分部积分法 154

二、定积分的换元法与分部积分法 155

4 反常积分(或称广义积分) 158

一、内容提要 158

二、计算反常积分 159

5 综合杂题 161

6 教材中第五章习题内某些题的分析与提示 164

7 自我检查题及其解答 167

一、微元法 168

二、直角坐标系中平面图形面积的计算 168

1 定积分的几何应用与物理应用 168

第六章 定积分的应用 168

三、极坐标系中平面图形面积的计算 170

四、曲线由参数方程表示的平面图形的面积的计算 172

五、旋转体的体积 173

六、物理应用(一)——变力作功 175

七、物理应用(二)——引力 177

2 综合杂题 178

3 教材中第六章习题内某些题的分析与提示 182

4 自我检查题及其解答 189

一、自我检查题 189

二、自我检查题的解答 190

第七章 微分方程 195

1 微分方程的一般概念 195

一、内容提要 195

二、有关微分方程概念中的一些问题 195

一、内容提要 197

2 一阶微分方程的解法 197

二、变量可分离的方程有什么特征及其解法 198

三、齐次方程y′=f(？)的解法 200

四、一阶线性方程的解法 202

3 二阶常系数线性微分方程的解法 205

一、内容提要 205

二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法及其有关问题 206

三、二阶常系数线性非齐次方程的解法 208

四、利用复函数求解二阶常系数线性非齐次方程的一个特解 211

4 微分方程的应用 215

一、微分方程的几何应用 215

二、微分方程的物理应用——运动问题 217

三、微分方程的其他应用(微分法) 219

5 综合杂题 220

一、概念题 220

二、变量代换在解微分方程中的应用 222

三、二阶线性微分方程的杂题 224

6 教材中第七章习题内某些题的分析与提示 226

7 自我检查题及其解答 229

一、自我检查题 229

二、自我检查题的解答 231

第八章 向量代数 空间解析几何 235

1 向量概念及其加、减法和数乘运算 235

一、内容提要 235

二、有关向量概念及其运算的一些问题 236

2 数量积和向量积的计算及其应用 239

一、内容提要 239

二、有关点积、叉积概念和运算中的一些问题 240

三、点积与叉积 242

3 求平面和直线方程的基本思路 244

一、内容提要 244

二、平面方程的一些特殊情况 245

三、求平面方程的基本思路 246

四、直线方程的一些特殊情况 250

五、求直线方程的基本思路 253

一、内容提要 256

4 柱面 旋转面 锥面 256

二、曲面、曲线举例 257

5 综合杂题 259

6 教材中第八章习题内某些题的分析与提示 262

7 自我检查题及其解答 269

一、自我检查题 269

二、自我检查题的解答 270

一、内容提要 274

第九章 多元函数微分学 274

1 函数 极限 连续 偏导数和高阶偏导数 274

二、有关函数、极限、连续和偏导数概念的一些问题 275

三、如何求偏导数和高阶偏导数 279

2 全微分 复合函数的微分法隐函数的微分法 281

一、内容提要 281

二、如何求全微分及复合函数与隐函数的偏导数 282

一、内容提要 288

二、求切线和切平面的方法 288

3 多元函数微分法在几何上的应用 288

4 极值与条件极值 291

一、内容提要 291

二、极值与条件极值的求法 292

5 综合杂题 295

6 教材中第九章习题内某些题的分析与提示 298

7 自我检查题及其解答 305

一、自我检查题 305

二、自我检查题的解答 306

第十章 重积分 312

1 二重积分 312

一、内容提要 312

二、二重积分在直角坐标系下的累次积分法 314

三、二重积分在极坐标系下的累次积分法 317

四、二重积分的几何应用与物理应用 320

2 三重积分 325

一、内容提要 325

二、三重积分的计算法——各种坐标系下的累次积分法 327

3 综合杂题 329

4 教材中第十章习题内某些题的分析与提示 331

5 自我检查题及其解答 335

一、自我检查题 335

二、自我检查题的解答 336

第十一章 曲线积分 曲面积分 341

1 曲线积分的概念、性质和计算 341

一、内容提要 341

二、对弧长的曲线积分的计算方法 343

三、对坐标的曲线积分的计算方法 345

2 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 348

一、内容提要 348

二、怎样利用格林公式计算曲线积分 348

三、曲线积分与路径无关的应用 350

3 曲面积分 高斯公式 351

一、内容提要 351

二、两类曲面积分的计算 354

三、高斯公式 357

4 综合杂题 358

5 教材中第十一章习题内某些题的分析与提示 360

6 自我检查题及其解答 364

一、自我检查题 364

二、自我检查题的解答 365

第十二章 级数 369

1 数项级数概念与性质 369

一、内容提要 369

二、级数概念与性质 370

2 正项级数及其审敛法 374

一、内容提要 374

二、比较判别法 375

三、比值判别法(或称达朗贝尔判别法) 376

四、常出现的一些错误 378

3 任意项级数 379

一、内容提要 379

二、交错级数的判敛 380

三、任意项级数的条件收敛与绝对收敛 381

4 幂级数 383

一、内容提要 383

二、求收敛半径与收敛域 384

三、求幂级数的和函数的一些方法 386

5 函数的幂级数展开 389

一、内容提要 389

二、函数f(x)展开为幂级数的方法 390

一、内容提要 392

6 傅里叶级数 392

二、区间(-∞，+∞)上的傅里叶级数 394

三、［0，π］上的正弦级数和余弦级数 395

7 综合杂题 397

一、利用级数的部分和、级数的性质讨论级数的收敛性 397

二、求幂级数的和函数 399

8 教材中第十二章习题内某些题的分析与提示 401

9 自我检查题及其解答 410

一、自我检查题 410

二、自我检查题的解答 411