第一篇 微积分 1
第一章 函数 极限 连续 1
1 函数 1
Ⅰ 考点精讲 1
一、定义 1
二、重要性质、定理、公式 4
Ⅱ 例题精讲 4
一、求分段函数的复合函数 4
二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数 6
三、求反函数的表达式 7
四、关于函数有界（无界）的讨论 7
2 极限 9
Ⅰ 考点精讲 9
一、定义 9
二、重要性质、定理、公式 10
三、计算极限的一些有关方法 11
Ⅱ 例题精讲 14
一、求函数的极限 14
二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 20
三、含有｜x｜,e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 22
四、无穷小的比较 22
五、求以极限定义的函数的表达式 23
六、极限运算定理的正确运用 25
3 函数的连续与间断 28
Ⅰ 考点精讲 28
一、定义 28
二、重要性质、定理、公式 29
Ⅱ 例题精讲 29
一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断 29
二、在连续条件下求参数 31
三、连续函数的零点问题 32
模考题训练 33
模考题训练答案与提示 35
第二章 一元函数微分学 36
1 导数与微分，导数的计算 36
Ⅰ 考点精讲 36
一、定义 36
二、重要性质、定理、公式 37
Ⅱ 例题精讲 40
一、按定义求一点处的导数 40
二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 42
三、绝对值函数的导数 45
四、由极限式表示的函数的可导性 47
五、导数与微分、增量的关系 47
六、求导数的计算题 48
2 导数的应用 50
Ⅰ 考点精讲 50
一、定义 50
二、重要性质、定理、公式与方法 51
Ⅱ 例题精讲 53
一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 53
二、渐近线 56
三、最大值、最小值问题 57
3 中值定理、不等式与零点问题 58
Ⅰ 考点精讲 58
一、重要定理 58
二、重要方法 60
Ⅱ 例题精讲 61
一、不等式的证明 61
二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 65
三、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x））的零点 68
四、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x）,f″（x））的零点 69
五、“双中值”问题 69
六、零点的个数问题 70
七、证明存在某ξ满足某不等式 71
八、lim x→x0 f′（x）与f′（x0）的关系 72
九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 73
模考题训练 74
模考题训练答案与提示 77
第三章 一元函数积分学 79
1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 79
Ⅰ 考点精讲 79
一、定义 79
二、重要性质、定理、公式 80
Ⅱ 例题精讲 82
一、分段函数的不定积分与定积分 82
二、定积分与原函数的存在性 85
三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 86
2 不定积分与定积分的计算 89
Ⅰ 考点精讲 89
一、基本积分公式 89
二、基本积分方法 90
Ⅱ 例题精讲 92
一、简单有理分式的积分 92
二、三角函数的有理分式的积分 94
三、简单无理式的积分 94
四、两种不同类型的函数相乘的积分 96
五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 98
六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 99
七、含参变量带绝对值号的定积分 101
3 反常积分及其计算 102
Ⅰ 考点精讲 102
一、定义 102
二、重要性质、定理、公式 103
Ⅱ 例题精讲 105
一、反常积分的计算 105
二、关于奇、偶函数的反常积分 106
三、关于反常积分敛散性的判定 108
4 一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 109
Ⅰ 考点精讲 109
一、定义 109
二、重要性质、定理、公式与方法 111
Ⅱ 例题精讲 113
一、几何应用 113
二、经济上的应用 115
5 定积分的证明题 119
Ⅰ 考点精讲 119
Ⅱ 例题精讲 119
一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 119
二、由积分定义的函数求极限 121
三、积分不等式的证明 122
四、零点问题 126
模考题训练 127
模考题训练答案与提示 131
第四章 多元函数微积分学 133
1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 133
Ⅰ 考点精讲 133
一、定义 133
二、重要性质、定理、公式 136
Ⅱ 例题精讲 137
一、讨论二重极限 137
二、讨论偏导数存在性，函数的连续性 138
三、讨论函数的可微性 139
四、求初等函数的偏导数 140
五、外层为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点） 140
六、求隐函数的偏导数 143
七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数 145
2 极值与最值 146
Ⅰ 考点精讲 146
一、定义 146
二、重要性质、定理、公式 147
Ⅱ 例题精讲 148
一、关于抽象函数的极值问题 148
二、极值与最值的计算题 149
三、最值的应用问题 151
3 二重积分 151
Ⅰ 考点精讲 151
一、定义 151
二、重要性质、定理、公式 152
Ⅱ 例题精讲 153
一、二重积分在直角坐标中的计算 153
二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容） 154
三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化 155
四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点） 157
五、关于轮换对称的二重积分 159
六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算 160
七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明） 163
模考题训练 165
模考题训练答案与提示 168
第五章 无穷级数 169
1 数项级数 169
Ⅰ 考点精讲 169
一、定义 169
二、重要性质、定理与公式 170
Ⅱ 例题精讲 173
一、正项级数敛散性的判别 173
二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛 177
三、敛散性判别法的选择题 178
2 幂级数 183
Ⅰ 考点精讲 183
一、定义 183
二、重要性质、定理与公式 185
Ⅱ 例题精讲 189
一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题 189
二、函数展开成幂级数 192
三、简单幂级数∞∑n=0 anxn求和 195
四、幂级数与微分方程有关的题 197
模考题训练 200
模考题训练答案与提示 202
第六章 微分方程，差分及一阶差分方程 204
1 微分方程的概念，三种一阶方程的解法 204
Ⅰ 考点精讲 204
一、定义 204
二、三种特殊类型的一阶微分方程及其解法 205
Ⅱ 例题精讲 206
一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 206
二、积分方程化为微分方程求解 208
三、偏微分方程化为常微分方程求解 211
四、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 212
2 二阶线性微分方程 213
Ⅰ 考点精讲 213
一、定义 213
二、重要性质、定理、公式 213
Ⅱ 例题精讲 215
一、识别类型，对号入座，按类型求解 215
二、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 218
三、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 218
四、已知方程的解求方程 219
五、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 220
3 微分方程的应用 221
Ⅰ 考点精讲 221
一、几何问题 221
二、微元法建立微分方程 223
三、微分方程在经济方面的应用 224
4 差分及一阶差分方程 225
Ⅰ 考点精讲 225
一、定义 225
二、重要性质、定理、公式 225
Ⅱ 例题精讲 227
一、差分的计算 227
二、求一阶差分方程的解 227
三、差分方程在经济上的应用 228
模考题训练 229
模考题训练答案与提示 231
第二篇 线性代数 233
第一章 行列式 233
1 n阶行列式的定义 233
Ⅰ 考点精讲 233
一、定义 233
Ⅱ 例题精讲 234
2 行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算 236
Ⅰ 考点精讲 236
一、定义 236
二、重要定理 236
三、行列式的性质 236
四、本章与后续章节有关的重要公式与结论 237
Ⅱ 例题精讲 238
一、低阶行列式的计算 238
二、行列式计算技巧介绍 240
三、行列式表示的函数、方程 246
四、关于余子式和代数余子式 248
五、抽象矩阵的行列式 249
六、行列式的证明题 250
3 克莱姆法则 251
Ⅰ 考点精讲 251
Ⅱ 例题精讲 251
模考题训练 253
模考题训练答案与提示 255
第二章 矩 阵 256
1 矩阵的概念及基本运算 256
Ⅰ 考点精讲 256
一、定义 256
二、矩阵的运算规则 257
三、特殊矩阵 258
Ⅱ 例题精讲 258
一、方阵的幂 258
二、矩阵乘法的可交换性 262
三、对称阵和反对称阵 263
2 矩阵的逆 265
Ⅰ 考点精讲 265
一、定义 265
二、重要定理 265
三、运算性质 266
四、求逆矩阵的方法 266
Ⅱ 例题精讲 267
一、证明A可逆及求A-1的方法 267
二、伴随矩阵 271
三、矩阵方程 273
3 初等变换与初等矩阵 276
Ⅰ 考点精讲 276
一、定义 276
二、初等矩阵与初等变换的性质 276
Ⅱ 例题精讲 277
一、初等变换、初等矩阵 277
二、矩阵的秩和等价矩阵 279
4 分块矩阵 281
Ⅰ 考点精讲 281
一、定义 281
二、分块矩阵的运算 281
Ⅱ 例题精讲 283
一、分块矩阵的乘积 283
二、分块矩阵的逆 285
三、分块矩阵的行列式 286
模考题训练 286
模考题训练答案与提示 288
第三章 向量 290
1 向量组的线性相关性 290
Ⅰ 考点精讲 290
一、定义 290
二、重要定理 291
三、向量的基本运算 292
Ⅱ 例题精讲 292
一、线性相关性的判别 292
二、向量的线性表示 295
三、向量组线性无关的证明 296
2 秩 299
Ⅰ 考点精讲 299
一、定义 299
二、重要定理 299
三、有关秩的等式和不等式 301
Ⅱ 例题精讲 301
3 向量的内积与向量组的正交规范化方法 305
Ⅰ 考点精讲 305
一、定义 305
二、运算性质 306
三、施密特（Schmidt）标准正交化方法 306
Ⅱ 例题精讲 307
模考题训练 309
模考题训练答案与提示 310
第四章 线性方程组 312
1 齐次线性方程组 312
Ⅰ 考点精讲 312
一、定义 312
二、重要定理 313
三、基础解系和通解的求法 313
Ⅱ 例题精讲 314
一、线性方程组的求解 314
二、方程组解向量的判别，解的性质 319
三、基础解系 320
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 321
2 非齐次线性方程组 323
Ⅰ 考点精讲 323
一、定义 323
二、重要定理 323
三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法 324
Ⅱ 例题精讲 324
一、非齐次线性方程组的求解 324
二、非齐次线性方程组解的判别 327
三、非齐次线性方程组有解的条件 327
四、AX=b的通解结构 328
五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 330
六、两个方程组的公共解 332
七、同解方程组 334
模考题训练 337
模考题训练答案与提示 339
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 341
1 特征值、特征向量 341
Ⅰ 考点精讲 341
一、定义 341
二、特征值的性质 341
三、求特征值、特征向量的方法 342
Ⅱ 例题精讲 342
2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 350
Ⅰ 考点精讲 350
一、定义 350
二、重要定理 350
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 351
Ⅱ 例题精讲 351
3 实对称矩阵的相似对角化 357
Ⅰ 考点精讲 357
一、定义 357
二、重要定理 357
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 357
Ⅱ 例题精讲 358
模考题训练 366
模考题训练答案与提示 368
第六章 二次型 370
1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 370
Ⅰ 考点精讲 370
一、定义 370
二、二次型的矩阵表示 371
Ⅱ 例题精讲 372
2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型 374
Ⅰ 考点精讲 374
一、定义 374
二、重要定理 374
三、二次型化标准形、规范形的方法 375
Ⅱ 例题精讲 375
3 正定二次型、正定矩阵 385
Ⅰ 考点精讲 385
一、定义 385
二、重要定理 385
Ⅱ 例题精讲 386
模考题训练 395
模考题训练答案与提示 397
第三篇 概率统计 398
第一章 随机事件和概率 398
1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 398
Ⅰ 考点精讲 398
一、定义 398
二、事件间运算规律 401
Ⅱ 例题精讲 401
2 概率、条件概率、独立性和五大公式 402
Ⅰ 考点精讲 402
一、定义 402
二、重要性质、定理、公式 403
Ⅱ 例题精讲 405
3 古典型概率与伯努利概率 410
Ⅰ 考点精讲 410
一、定义 410
二、概率计算 411
Ⅱ 例题精讲 411
模考题训练 413
模考题训练答案与提示 415
第二章 随机变量及其概率分布 417
1 随机变量及其分布函数 417
Ⅰ 考点精讲 417
一、定义 417
二、分布函数性质 417
Ⅱ 例题精讲 418
2 离散型随机变量和连续型随机变量 419
Ⅰ 考点精讲 419
一、定义 419
二、分布律和概率密度的性质 419
Ⅱ 例题精讲 421
3 常用分布 422
Ⅰ 考点精讲 422
一、定义 422
二、重要性质 425
Ⅱ 例题精讲 425
4 随机变量函数的分布 427
Ⅰ 考点精讲 427
一、离散型随机变量的函数分布 427
二、连续型随机变量的函数分布 427
Ⅱ 例题精讲 428
模考题训练 429
模考题训练答案与提示 431
第三章 多维随机变量及其分布 433
1 二维随机变量及其分布 433
Ⅰ 考点精讲 433
一、定义 433
二、重要性质 437
Ⅱ 例题精讲 438
2 随机变量的独立性 440
Ⅰ 考点精讲 440
一、定义（随机变量的独立性） 440
二、充要条件 441
Ⅱ 例题精讲 443
3 二维均匀分布和二维正态分布 445
Ⅰ 考点精讲 445
一、定义 445
二、重要性质 447
Ⅱ 例题精讲 447
4 两个随机变量函数的分布 448
Ⅰ 考点精讲 448
一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似 448
二、二维连续型随机变量函数Z=g（X,Y）的分布的求法，可用公式 448
三、重要性质 449
Ⅱ 例题精讲 450
模考题训练 451
模考题训练答案与提示 453
第四章 随机变量的数字特征 455
1 随机变量的数学期望和方差 455
Ⅰ 考点精讲 455
一、定义 455
二、重要性质，公式 456
Ⅱ 例题精讲 461
2 矩、协方差和相关系数 465
Ⅰ 考点精讲 465
一、定义 465
二、重要性质、公式 466
Ⅱ 例题精讲 467
3 切比雪夫不等式 470
Ⅰ 考点精讲 470
Ⅱ 例题精讲 470
模考题训练 470
模考题训练答案与提示 473
第五章 大数定律和中心极限定理 475
Ⅰ 考点精讲 475
一、依概率收敛 475
二、切比雪夫大数定律 475
三、伯努利大数定律 475
四、辛钦大数定律 475
五、棣莫弗——拉普拉斯定理 476
六、列维——林德伯格定理 476
Ⅱ 例题精讲 476
模考题训练 478
模考题训练答案与提示 479
第六章 数理统计的基本概念 480
1 总体、样本、统计量和样本数字特征 480
Ⅰ 考点精讲 480
一、定义 480
二、样本数字特征性质 482
Ⅱ 例题精讲 482
2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 483
Ⅰ 考点精讲 483
一、定义 483
二、重要性质 484
三、一个正态总体的抽样分布 485
四、两个正态总体的抽样分布 486
Ⅱ 例题精讲 486
模考题训练 489
模考题训练答案与提示 491
第七章 参数估计 492
1 点估计 492
Ⅰ 考点精讲 492
Ⅱ 例题精讲 493
2 估计量的求法 494
Ⅰ 考点精讲 494
一、矩估计法 494
二、矩估计法步骤 494
三、最大似然估计法 495
四、似然方程 495
Ⅱ 例题精讲 496
模考题训练 498
模考题训练答案与提示 499