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第一篇　微积分 1

第一章 函数　极限　连续 1

1 函数 1

Ⅰ　考点精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

Ⅱ　例题精讲 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数 6

三、求反函数的表达式 7

四、关于函数有界（无界）的讨论 7

2 极限 9

Ⅰ　考点精讲 9

一、定义 9

二、重要性质、定理、公式 10

三、计算极限的一些有关方法 11

Ⅱ　例题精讲 14

一、求函数的极限 14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 20

三、含有｜x｜,e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 22

四、无穷小的比较 22

五、求以极限定义的函数的表达式 23

六、极限运算定理的正确运用 25

3 函数的连续与间断 28

Ⅰ　考点精讲 28

一、定义 28

二、重要性质、定理、公式 29

Ⅱ　例题精讲 29

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断 29

二、在连续条件下求参数 31

三、连续函数的零点问题 32

模考题训练 33

模考题训练答案与提示 35

第二章　一元函数微分学 36

1 导数与微分，导数的计算 36

Ⅰ　考点精讲 36

一、定义 36

二、重要性质、定理、公式 37

Ⅱ　例题精讲 40

一、按定义求一点处的导数 40

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 42

三、绝对值函数的导数 45

四、由极限式表示的函数的可导性 47

五、导数与微分、增量的关系 47

六、求导数的计算题 48

2　导数的应用 50

Ⅰ　考点精讲 50

一、定义 50

二、重要性质、定理、公式与方法 51

Ⅱ　例题精讲 53

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 53

二、渐近线 56

三、最大值、最小值问题 57

3 中值定理、不等式与零点问题 58

Ⅰ　考点精讲 58

一、重要定理 58

二、重要方法 60

Ⅱ　例题精讲 61

一、不等式的证明 61

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 65

三、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x））的零点 68

四、复合函数ψ（x,f（x）,f′（x）,f″（x））的零点 69

五、“双中值”问题 69

六、零点的个数问题 70

七、证明存在某ξ满足某不等式 71

八、lim x→x0 f′（x）与f′（x0）的关系 72

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 73

模考题训练 74

模考题训练答案与提示 77

第三章　一元函数积分学 79

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 79

Ⅰ　考点精讲 79

一、定义 79

二、重要性质、定理、公式 80

Ⅱ　例题精讲 82

一、分段函数的不定积分与定积分 82

二、定积分与原函数的存在性 85

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 86

2 不定积分与定积分的计算 89

Ⅰ　考点精讲 89

一、基本积分公式 89

二、基本积分方法 90

Ⅱ　例题精讲 92

一、简单有理分式的积分 92

二、三角函数的有理分式的积分 94

三、简单无理式的积分 94

四、两种不同类型的函数相乘的积分 96

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 98

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 99

七、含参变量带绝对值号的定积分 101

3　反常积分及其计算 102

Ⅰ　考点精讲 102

一、定义 102

二、重要性质、定理、公式 103

Ⅱ　例题精讲 105

一、反常积分的计算 105

二、关于奇、偶函数的反常积分 106

三、关于反常积分敛散性的判定 108

4　一元微积分在经济中的应用，定积分在几何上的应用 109

Ⅰ　考点精讲 109

一、定义 109

二、重要性质、定理、公式与方法 111

Ⅱ　例题精讲 113

一、几何应用 113

二、经济上的应用 115

5 定积分的证明题 119

Ⅰ　考点精讲 119

Ⅱ　例题精讲 119

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 119

二、由积分定义的函数求极限 121

三、积分不等式的证明 122

四、零点问题 126

模考题训练 127

模考题训练答案与提示 131

第四章 多元函数微积分学 133

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 133

Ⅰ　考点精讲 133

一、定义 133

二、重要性质、定理、公式 136

Ⅱ　例题精讲 137

一、讨论二重极限 137

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性 138

三、讨论函数的可微性 139

四、求初等函数的偏导数 140

五、外层为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点） 140

六、求隐函数的偏导数 143

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数 145

2　极值与最值 146

Ⅰ　考点精讲 146

一、定义 146

二、重要性质、定理、公式 147

Ⅱ　例题精讲 148

一、关于抽象函数的极值问题 148

二、极值与最值的计算题 149

三、最值的应用问题 151

3　二重积分 151

Ⅰ　考点精讲 151

一、定义 151

二、重要性质、定理、公式 152

Ⅱ　例题精讲 153

一、二重积分在直角坐标中的计算 153

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容） 154

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化 155

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点） 157

五、关于轮换对称的二重积分 159

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算 160

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明） 163

模考题训练 165

模考题训练答案与提示 168

第五章　无穷级数 169

1　数项级数 169

Ⅰ　考点精讲 169

一、定义 169

二、重要性质、定理与公式 170

Ⅱ　例题精讲 173

一、正项级数敛散性的判别 173

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛 177

三、敛散性判别法的选择题 178

2　幂级数 183

Ⅰ　考点精讲 183

一、定义 183

二、重要性质、定理与公式 185

Ⅱ　例题精讲 189

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题 189

二、函数展开成幂级数 192

三、简单幂级数∞∑n=0 anxn求和 195

四、幂级数与微分方程有关的题 197

模考题训练 200

模考题训练答案与提示 202

第六章　微分方程，差分及一阶差分方程 204

1　微分方程的概念，三种一阶方程的解法 204

Ⅰ　考点精讲 204

一、定义 204

二、三种特殊类型的一阶微分方程及其解法 205

Ⅱ　例题精讲 206

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 206

二、积分方程化为微分方程求解 208

三、偏微分方程化为常微分方程求解 211

四、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 212

2　二阶线性微分方程 213

Ⅰ　考点精讲 213

一、定义 213

二、重要性质、定理、公式 213

Ⅱ　例题精讲 215

一、识别类型，对号入座，按类型求解 215

二、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 218

三、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 218

四、已知方程的解求方程 219

五、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 220

3　微分方程的应用 221

Ⅰ　考点精讲 221

一、几何问题 221

二、微元法建立微分方程 223

三、微分方程在经济方面的应用 224

4　差分及一阶差分方程 225

Ⅰ　考点精讲 225

一、定义 225

二、重要性质、定理、公式 225

Ⅱ　例题精讲 227

一、差分的计算 227

二、求一阶差分方程的解 227

三、差分方程在经济上的应用 228

模考题训练 229

模考题训练答案与提示 231

第二篇　线性代数 233

第一章　行列式 233

1　n阶行列式的定义 233

Ⅰ　考点精讲 233

一、定义 233

Ⅱ　例题精讲 234

2　行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算 236

Ⅰ　考点精讲 236

一、定义 236

二、重要定理 236

三、行列式的性质 236

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论 237

Ⅱ　例题精讲 238

一、低阶行列式的计算 238

二、行列式计算技巧介绍 240

三、行列式表示的函数、方程 246

四、关于余子式和代数余子式 248

五、抽象矩阵的行列式 249

六、行列式的证明题 250

3 克莱姆法则 251

Ⅰ　考点精讲 251

Ⅱ　例题精讲 251

模考题训练 253

模考题训练答案与提示 255

第二章　矩 阵 256

1 矩阵的概念及基本运算 256

Ⅰ　考点精讲 256

一、定义 256

二、矩阵的运算规则 257

三、特殊矩阵 258

Ⅱ　例题精讲 258

一、方阵的幂 258

二、矩阵乘法的可交换性 262

三、对称阵和反对称阵 263

2 矩阵的逆 265

Ⅰ　考点精讲 265

一、定义 265

二、重要定理 265

三、运算性质 266

四、求逆矩阵的方法 266

Ⅱ　例题精讲 267

一、证明A可逆及求A-1的方法 267

二、伴随矩阵 271

三、矩阵方程 273

3 初等变换与初等矩阵 276

Ⅰ　考点精讲 276

一、定义 276

二、初等矩阵与初等变换的性质 276

Ⅱ　例题精讲 277

一、初等变换、初等矩阵 277

二、矩阵的秩和等价矩阵 279

4　分块矩阵 281

Ⅰ　考点精讲 281

一、定义 281

二、分块矩阵的运算 281

Ⅱ　例题精讲 283

一、分块矩阵的乘积 283

二、分块矩阵的逆 285

三、分块矩阵的行列式 286

模考题训练 286

模考题训练答案与提示 288

第三章　向量 290

1 向量组的线性相关性 290

Ⅰ　考点精讲 290

一、定义 290

二、重要定理 291

三、向量的基本运算 292

Ⅱ　例题精讲 292

一、线性相关性的判别 292

二、向量的线性表示 295

三、向量组线性无关的证明 296

2　秩 299

Ⅰ　考点精讲 299

一、定义 299

二、重要定理 299

三、有关秩的等式和不等式 301

Ⅱ　例题精讲 301

3 向量的内积与向量组的正交规范化方法 305

Ⅰ　考点精讲 305

一、定义 305

二、运算性质 306

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法 306

Ⅱ　例题精讲 307

模考题训练 309

模考题训练答案与提示 310

第四章　线性方程组 312

1 齐次线性方程组 312

Ⅰ　考点精讲 312

一、定义 312

二、重要定理 313

三、基础解系和通解的求法 313

Ⅱ　例题精讲 314

一、线性方程组的求解 314

二、方程组解向量的判别，解的性质 319

三、基础解系 320

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 321

2　非齐次线性方程组 323

Ⅰ　考点精讲 323

一、定义 323

二、重要定理 323

三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法 324

Ⅱ　例题精讲 324

一、非齐次线性方程组的求解 324

二、非齐次线性方程组解的判别 327

三、非齐次线性方程组有解的条件 327

四、AX=b的通解结构 328

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 330

六、两个方程组的公共解 332

七、同解方程组 334

模考题训练 337

模考题训练答案与提示 339

第五章　特征值、特征向量、相似矩阵 341

1　特征值、特征向量 341

Ⅰ　考点精讲 341

一、定义 341

二、特征值的性质 341

三、求特征值、特征向量的方法 342

Ⅱ　例题精讲 342

2　相似矩阵、矩阵的相似对角化 350

Ⅰ　考点精讲 350

一、定义 350

二、重要定理 350

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 351

Ⅱ　例题精讲 351

3 实对称矩阵的相似对角化 357

Ⅰ　考点精讲 357

一、定义 357

二、重要定理 357

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 357

Ⅱ　例题精讲 358

模考题训练 366

模考题训练答案与提示 368

第六章　二次型 370

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 370

Ⅰ　考点精讲 370

一、定义 370

二、二次型的矩阵表示 371

Ⅱ　例题精讲 372

2　化二次型为标准形、规范形、合同二次型 374

Ⅰ　考点精讲 374

一、定义 374

二、重要定理 374

三、二次型化标准形、规范形的方法 375

Ⅱ　例题精讲 375

3　正定二次型、正定矩阵 385

Ⅰ　考点精讲 385

一、定义 385

二、重要定理 385

Ⅱ　例题精讲 386

模考题训练 395

模考题训练答案与提示 397

第三篇　概率统计 398

第一章　随机事件和概率 398

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 398

Ⅰ　考点精讲 398

一、定义 398

二、事件间运算规律 401

Ⅱ　例题精讲 401

2　概率、条件概率、独立性和五大公式 402

Ⅰ　考点精讲 402

一、定义 402

二、重要性质、定理、公式 403

Ⅱ　例题精讲 405

3 古典型概率与伯努利概率 410

Ⅰ　考点精讲 410

一、定义 410

二、概率计算 411

Ⅱ　例题精讲 411

模考题训练 413

模考题训练答案与提示 415

第二章 随机变量及其概率分布 417

1 随机变量及其分布函数 417

Ⅰ　考点精讲 417

一、定义 417

二、分布函数性质 417

Ⅱ　例题精讲 418

2 离散型随机变量和连续型随机变量 419

Ⅰ　考点精讲 419

一、定义 419

二、分布律和概率密度的性质 419

Ⅱ　例题精讲 421

3　常用分布 422

Ⅰ　考点精讲 422

一、定义 422

二、重要性质 425

Ⅱ　例题精讲 425

4 随机变量函数的分布 427

Ⅰ　考点精讲 427

一、离散型随机变量的函数分布 427

二、连续型随机变量的函数分布 427

Ⅱ　例题精讲 428

模考题训练 429

模考题训练答案与提示 431

第三章 多维随机变量及其分布 433

1 二维随机变量及其分布 433

Ⅰ　考点精讲 433

一、定义 433

二、重要性质 437

Ⅱ　例题精讲 438

2　随机变量的独立性 440

Ⅰ　考点精讲 440

一、定义（随机变量的独立性） 440

二、充要条件 441

Ⅱ　例题精讲 443

3 二维均匀分布和二维正态分布 445

Ⅰ　考点精讲 445

一、定义 445

二、重要性质 447

Ⅱ　例题精讲 447

4 两个随机变量函数的分布 448

Ⅰ　考点精讲 448

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似 448

二、二维连续型随机变量函数Z=g（X,Y）的分布的求法，可用公式 448

三、重要性质 449

Ⅱ　例题精讲 450

模考题训练 451

模考题训练答案与提示 453

第四章 随机变量的数字特征 455

1 随机变量的数学期望和方差 455

Ⅰ　考点精讲 455

一、定义 455

二、重要性质，公式 456

Ⅱ　例题精讲 461

2 矩、协方差和相关系数 465

Ⅰ　考点精讲 465

一、定义 465

二、重要性质、公式 466

Ⅱ　例题精讲 467

3　切比雪夫不等式 470

Ⅰ　考点精讲 470

Ⅱ　例题精讲 470

模考题训练 470

模考题训练答案与提示 473

第五章　大数定律和中心极限定理 475

Ⅰ　考点精讲 475

一、依概率收敛 475

二、切比雪夫大数定律 475

三、伯努利大数定律 475

四、辛钦大数定律 475

五、棣莫弗——拉普拉斯定理 476

六、列维——林德伯格定理 476

Ⅱ　例题精讲 476

模考题训练 478

模考题训练答案与提示 479

第六章　数理统计的基本概念 480

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 480

Ⅰ　考点精讲 480

一、定义 480

二、样本数字特征性质 482

Ⅱ　例题精讲 482

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 483

Ⅰ　考点精讲 483

一、定义 483

二、重要性质 484

三、一个正态总体的抽样分布 485

四、两个正态总体的抽样分布 486

Ⅱ　例题精讲 486

模考题训练 489

模考题训练答案与提示 491

第七章　参数估计 492

1 点估计 492

Ⅰ　考点精讲 492

Ⅱ　例题精讲 493

2　估计量的求法 494

Ⅰ　考点精讲 494

一、矩估计法 494

二、矩估计法步骤 494

三、最大似然估计法 495

四、似然方程 495

Ⅱ　例题精讲 496

模考题训练 498

模考题训练答案与提示 499