预备知识 1
一、充分条件、必要条件及充要条件 1
二、实数及其绝对值 2
三、集合及其表示法 4
四、区间 5
第一章 函数 6
1 函数的概念 6
1.1 常量与变量 6
1.2 变量之间确定的依赖关系——函数关系 7
2 几类常见的函数 15
2.1 单调函数 15
2.2 奇函数与偶函数 16
2.3 周期函数 17
2.4 有界函数 18
习题1.1 20
3 复合函数与反函数 23
3.1 复合函数 23
3.2 反函数 25
4 基本初等函数的性质及图形 28
4.1 常数函数 28
4.2 幂函数 28
4.3 指数函数 29
4.4 对数函数 30
4.5 三角函数 31
4.6 反三角函数 33
5.2 函数作图的几种常用的初等方法 35
5 初等函数 35
5.1 初等函数 35
5.3 双曲函数 41
习题1.2 43
第二章 极限与连续性 46
1 极限的概念 46
1.1 数列的极限 46
1.2 函数的极限 56
1.3 单侧极限 62
1.4 数列极限与函数极限的关系 66
习题2.1 68
2 极限的基本性质 70
3.1 四则运算法则 76
3 极限的运算法则 76
3.2 复合函数求极限 80
习题2.2 81
4 数列极限存在的一个定理 82
4.1 有上界或有下界的数列 82
4.2 单调数列 82
4.3 单调有界数列的极限存在定理 83
5 两个重要极限 85
5.1 证明？=1 85
5.2 证明？(1+？)x=e 89
习题2.3 93
6.1 无穷小量的概念 94
6.2 无穷小量阶的比较 94
6 无穷小量与无穷大量 94
6.3 无穷小量的性质 96
6.4 无穷大量 98
6.5 无穷大量与无穷小量的关系 99
6.6 无穷大量阶的比较 100
习题2.4 100
7 函数连续性的概念 102
7.1 函数连续性的定义 102
7.2 间断点的分类 107
8 连续函数的运算法则 108
8.1 连续函数的四则运算 108
8.2 复合函数的连续性 109
8.3 反函数的连续性 110
9 初等函数的连续性 111
10 闭区间上连续函数的性质 115
10.1 中间值定理(介值定理) 116
10.2 最大值、最小值定理 117
10.3 一致连续性 120
习题2.5 122
第三章 导数与微分 125
1 导数的概念 125
1.1 导数的概念 125
1.2 利用定义求导数的例子 135
2 导数的计算法则 138
2.1 导数的四则运算法则 138
2.2 复合函数求导法则 141
2.3 隐函数求导法则 145
2.4 反函数求导法则 148
2.5 由参数方程所表示的函数的求导公式 152
2.6 导数计算法则小结 154
习题3.1 155
3 导数的简单应用 158
3.1 切线与法线问题 158
3.2 相关变化率问题 162
4 高阶导数 165
4.1 定义 165
4.2 例子 166
4.3 运算法则 168
习题3.2 174
5.1 函数的微小改变量问题 176
5 微分的概念 176
5.2 微分的定义和几何意义 177
6 微分的基本公式及运算法则 180
6.1 微分基本公式表 180
6.2 微分的运算法则 181
7 微分的简单应用 185
7.1 近似计算 185
7.2 估计误差 188
8 高阶微分 191
8.1 定义 191
8.2 计算公式 191
习题3.3 193
1.1 费马(Fermat)定理 195
第四章 微分学中值定理 195
1 微分学中值定理 195
1.2 罗尔(Rolle)定理 197
1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 199
1.4 柯西(Cauchy)定理 204
习题4.1 205
2 洛必达法则 207
2.1 “？”型未定式 208
2.2 “？”型未定式 212
2.3 其他类型的未定式 215
3 泰勒(Taylor)公式 217
3.1 局部的泰勒公式 218
3.2 利用局部泰勒公式求未定式的值和确定无穷小量的阶 227
3.3 带拉格朗日余项的泰勒公式 229
习题4.2 235
第五章 微分学的应用 238
1 利用导数作函数的图形 238
1.1 函数单调性的判别法 238
1.2 函数极值的判别法 242
1.3 函数的凸性与扭转点 248
1.4 曲线的渐近线 252
1.5 利用导数作函数的图形 255
2 最大值、最小值问题 257
3 曲率 266
3.1 曲率的定义 266
3.2 曲率的计算公式 269
3.3 曲率半径、曲率圆、曲率中心 272
习题5.1 277
第六章 不定积分 280
1 原函数与不定积分的概念 280
1.1 原函数 280
1.2 不定积分 281
2 不定积分的线性运算 283
2.1 基本积分公式表(Ⅰ) 284
2.2 两个简单法则(不定积分的线性性质) 285
3 换元积分法 286
3.1 第一换元法(即凑微分法) 287
3.2 第二换元法 290
习题6.1 300
4.1 分部积分法 302
4 分部积分法 302
4.2 基本积分公式表(Ⅱ) 310
5 几类可以表为有限形式的不定积分 312
5.1 有理函数的积分 312
5.2 三角函数的有理式的积分 320
5.3 某些根式的有理式的积分 323
习题6.2 328
第七章 定积分 331
1 定积分的概念 331
1.1 两个实例 331
1.2 定积分的定义 335
1.3 定积分的几何意义 336
1.4 关于定积分的两点说明 337
1.5 关于函数的可积性 338
2 定积分的基本性质 340
3 微积分基本公式 348
4 微积分基本定理 351
4.1 变上限的定积分 352
4.2 微积分基本定理 352
习题7.1 356
5 定积分的换元积分法和分部积分法 359
5.1 定积分的换元积分法 359
5.2 定积分的分部积分法 366
6 定积分的近似计算 370
6.1 梯形公式 371
6.2 抛物线公式 372
习题7.2 376
7 广义积分 378
7.1 无穷积分 378
7.2 瑕积分 393
7.3 Γ-函数与B-函数 404
习题7.3 407
第八章 定积分的应用 410
1 微元法的基本思想 410
2 定积分的几何应用 413
2.1 平面图形的面积 413
2.2 已知平行截面面积，求立体的体积 419
2.3 旋转体的体积 420
2.4 平面曲线的弧长 422
2.5 旋转体的侧面积 429
习题8.1 431
3 定积分的物理应用 433
3.1 平面曲线弧的质心 433
3.2 转动惯量 436
3.3 引力 440
3.4 变力所做的功 442
3.5 交流电的平均功率，电流和电压的有效值 445
习题8.2 449
附录一 实数的几个基本定理及其应用 452
1 实数的几个基本定理 452
1.1 完备性定理 452
1.2 确界存在定理 454
1.3 单调有界数列必有极限 456
1.4 区间套定理 456
1.5 外尔斯特拉斯定理 457
2 连续函数性质的证明 459
习题 461
附录二 函数可积性的讨论 463
1 大和与小和 463
2 函数可积的判别准则 465
3 函数可积性的讨论 467
附表 简单积分表 471
一、简单不定积分表 471
二、简单定积分表(m，n为自然数) 472
习题答案与提示 473