第一章 绪论 1
1 误差 1
1.1 误差的来源 1
1.2 误差分析的基本概念 2
1.3 数值算法与算法的数值稳定性 3
2 误差分析的方法与原则 6
3 算法的软件实现与计算机的数系结构 9
习题一 10
数值实验 11
第二章 非线性方程（组）的数值解法 14
1 二分法 14
2 迭代法的理论 16
2.1 不动点迭代法 16
2.2 不动点迭代法的一般理论 18
2.3 局部收敛性与收敛阶 20
3 迭代收敛的加速方法 23
3.1 使用两个迭代值的组合方法 23
3.2 Steffensen加速迭代法 24
4 牛顿迭代法 27
5 弦割法 30
6 非线性方程组的解法 32
6.1 一般概念 32
6.2 Newton迭代法 34
6.3 Newton格式的变形 37
6.4 拟牛顿法 39
习题二 41
数值实验 42
第三章 数值逼近 46
1 插值问题 46
2 代数插值多项式的构造方法 48
2.1 拉格朗日插值法 48
2.2 牛顿插值法 50
2.3 等距节点插值公式 54
3 Hermite插值问题 59
3.1 埃尔米特插值多项式的构造 59
3.2 埃尔米特插值多项式的存在惟一性以及误差估计 60
3.3 带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例 61
4 分段插值 62
4.1 高次插值的评述 62
4.2 分段插值 64
5 三次样条插值 67
5.1 三次样条函数的力学背景 67
5.2 三次样条函数 68
5.3 三次样条函数的性质 71
6 函数逼近 73
6.1 函数逼近问题 73
6.2 最佳平方逼近 74
6.3 最佳一致逼近 80
6.4 最佳一致逼近多项式求法的讨论 84
6.5 离散的最佳逼近问题 86
习题三 86
数值实验 89
第四章 数值积分与数值微分 92
1 引言 92
1.1 数值求积的基本思想 92
1.2 求积公式的代数精度 93
1.3 收敛性与稳定性 94
2 牛顿-柯特斯公式 94
2.1 插值型求积公式 94
2.2 牛顿-柯特斯公式 96
2.3 几种低阶求积公式的余项 98
3 复化求积公式 99
3.1 复化梯形求积公式 99
3.2 复化辛普森求积公式 100
3.3 自动选取积分步长 102
4 龙贝格（Romberg）积分法 103
4.1 龙贝格求积公式 103
5 高斯（Gauss）求积公式 105
5.1 高斯积分问题的提出 105
5.2 高斯求积公式 106
5.3 高斯-切比雪夫求积公式 110
5.4 高斯-拉盖尔求积公式 110
6 数值微分 111
6.1 插值型的求导公式 111
6.2 利用三次样条插值函数来求数值导数 113
习题四 114
数值实验 116
第五章 线性代数方程组的直接解法 119
1 线性代数的基础知识 119
1.1 向量范数 119
1.2 矩阵范数 120
1.3 初等矩阵 125
2 Gauss消去法 127
2.1 基本Gauss消去法 127
2.2 主元素Gauss消去法 129
2.3 Gauss-Jordan消去法 131
2.4 矩阵方程的解法 132
3 直接三角分解解法 132
3.1 Doolittle分解法 132
3.2 列主元三角分解法 135
3.3 Cholesky分解法（平方根法） 137
3.4 改进的平方根法 139
4 用直接法解大型带状方程组 140
4.1 大型等带宽方程组的分解解法 140
4.2 三对角线性方程组的三对角算法（追赶法） 142
4.3 大型变带宽对称正定方程组的改进平方根解法 144
5 直接法的误差分析 148
5.1 扰动方程组的误差界 148
5.2 病态方程组的解法 150
习题五 152
数值实验 154
第六章 线性代数方程组的迭代解法 157
1 迭代法的基本概念 157
1.1 向量序列和矩阵序列的极限 157
1.2 迭代公式的构造 159
1.3 迭代法的收敛性 159
1.4 迭代法的收敛速度 161
2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 162
2.1 Jacobi迭代法 162
2.2 Gauss-Seidel迭代法 163
2.3 J法和GS法的收敛性 164
3 超松弛（SOR）迭代法 168
3.1 超松弛迭代法 168
3.2 SOR迭代法的收敛性 169
3.3 最佳松弛因子与迭代法的比较 171
3.4 块松弛迭代法 173
4 共轭梯度法 173
4.1 与方程组等价的变分问题 173
4.2 最速下降法 174
4.3 共轭梯度法 175
4.4＊ 预处理方法简介 179
习题六 180
数值实验 181
第七章 线性最小二乘问题 184
1 线性最小二乘问题 184
1.1 问题的引入 184
1.2 解的存在性、惟一性 185
2 广义逆矩阵 188
2.1 定义与表示 188
2.2 基本性质 190
3 正交化方法 191
3.1 Gram-Schmidt正交化方法 192
3.2 正交分解与线性方程组的最小二乘解 195
3.3 Householder变换与Givens变换 199
4 奇异值分解 204
习题七 206
数值实验 207
第八章 特征值问题的计算方法 209
1 基本概念与性质 209
2 幂法 211
3 反幂法 214
4 QR方法 216
4.1 基本迭代与收敛性 216
4.2 实Schur标准形 218
4.3 上Hessenberg化 219
4.4 三对角化 221
4.5 隐式对称QR迭代 222
4.6 隐式对称QR算法 223
5 Jacobi方法 224
5.1 经典Jacobi方法 224
5.2 循环Jacobi方法及其变形 228
6 二分法 229
习题八 233
数值实验 235
第九章 常微分方程初值问题的数值解法 237
1 基本概念与Euler方法 237
1.1 初值问题及其数值解 237
1.2 欧拉（Euler）法与改进的欧拉法 238
1.3 预报—校正方法 240
1.4 单步法的误差分析——截断误差与阶 241
2 龙格-库塔（Runge-Kuta）法 243
2.1 用Taylor展开构造高阶方法 243
2.2 Runge-Kutta方法 244
2.3 高阶和隐式Runge-Kutta方法 248
2.4 变步长方法 249
3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性 249
3.1 收敛性 249
3.2 相容性 251
3.3 绝对稳定性 251
4 线性多步方法 254
4.1 Adams方法 254
4.2 一般形式的线性多步方法 256
4.3 一般的数值积分法 259
4.4 预估—校正算法 260
5 线性差分方程 262
5.1 线性差分方程的的基本性质 262
5.2 齐次差分方程的解 264
6 线性多步法的收敛性与稳定性 264
6.1 相容性与收敛性 264
6.2 稳定性 269
6.3 绝对稳定性 270
7 一阶方程组与高阶方程 272
7.1 一阶方程组 272
7.2 高阶微分方程初值问题的数值解法 275
8 刚性方程组 276
习题九 279
数值实验 281
第十章 常微分方程边值问题的数值解法 286
1 差分方法 286
1.1 解线性微分方程第一边值问题的差分格式 286
1.2 其他边界条件的讨论 289
2 非线性方程边值问题 290
3 边值问题的打靶法 292
3.1 线性打靶法 292
3.2 非线性打靶法 293
习题十 295
数值实验 296
参考文献 298