数值计算方法PDF电子书下载

第一章　绪论 1

1　误差 1

1.1　误差的来源 1

1.2　误差分析的基本概念 2

1.3　数值算法与算法的数值稳定性 3

2　误差分析的方法与原则 6

3　算法的软件实现与计算机的数系结构 9

习题一 10

数值实验 11

第二章　非线性方程（组）的数值解法 14

1　二分法 14

2　迭代法的理论 16

2.1　不动点迭代法 16

2.2　不动点迭代法的一般理论 18

2.3　局部收敛性与收敛阶 20

3　迭代收敛的加速方法 23

3.1　使用两个迭代值的组合方法 23

3.2　Steffensen加速迭代法 24

4　牛顿迭代法 27

5　弦割法 30

6　非线性方程组的解法 32

6.1　一般概念 32

6.2　Newton迭代法 34

6.3　Newton格式的变形 37

6.4 拟牛顿法 39

习题二 41

数值实验 42

第三章　数值逼近 46

1　插值问题 46

2　代数插值多项式的构造方法 48

2.1　拉格朗日插值法 48

2.2　牛顿插值法 50

2.3　等距节点插值公式 54

3　Hermite插值问题 59

3.1　埃尔米特插值多项式的构造 59

3.2　埃尔米特插值多项式的存在惟一性以及误差估计 60

3.3　带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例 61

4　分段插值 62

4.1 高次插值的评述 62

4.2　分段插值 64

5　三次样条插值 67

5.1 三次样条函数的力学背景 67

5.2　三次样条函数 68

5.3　三次样条函数的性质 71

6　函数逼近 73

6.1　函数逼近问题 73

6.2　最佳平方逼近 74

6.3　最佳一致逼近 80

6.4　最佳一致逼近多项式求法的讨论 84

6.5 离散的最佳逼近问题 86

习题三 86

数值实验 89

第四章　数值积分与数值微分 92

1 引言 92

1.1　数值求积的基本思想 92

1.2　求积公式的代数精度 93

1.3　收敛性与稳定性 94

2　牛顿-柯特斯公式 94

2.1　插值型求积公式 94

2.2　牛顿-柯特斯公式 96

2.3　几种低阶求积公式的余项 98

3　复化求积公式 99

3.1　复化梯形求积公式 99

3.2　复化辛普森求积公式 100

3.3 自动选取积分步长 102

4　龙贝格（Romberg）积分法 103

4.1　龙贝格求积公式 103

5　高斯（Gauss）求积公式 105

5.1 高斯积分问题的提出 105

5.2　高斯求积公式 106

5.3 高斯-切比雪夫求积公式 110

5.4　高斯-拉盖尔求积公式 110

6　数值微分 111

6.1　插值型的求导公式 111

6.2　利用三次样条插值函数来求数值导数 113

习题四 114

数值实验 116

第五章　线性代数方程组的直接解法 119

1　线性代数的基础知识 119

1.1　向量范数 119

1.2　矩阵范数 120

1.3　初等矩阵 125

2　Gauss消去法 127

2.1　基本Gauss消去法 127

2.2　主元素Gauss消去法 129

2.3　Gauss-Jordan消去法 131

2.4　矩阵方程的解法 132

3　直接三角分解解法 132

3.1　Doolittle分解法 132

3.2　列主元三角分解法 135

3.3　Cholesky分解法（平方根法） 137

3.4　改进的平方根法 139

4　用直接法解大型带状方程组 140

4.1 大型等带宽方程组的分解解法 140

4.2　三对角线性方程组的三对角算法（追赶法） 142

4.3 大型变带宽对称正定方程组的改进平方根解法 144

5　直接法的误差分析 148

5.1　扰动方程组的误差界 148

5.2　病态方程组的解法 150

习题五 152

数值实验 154

第六章　线性代数方程组的迭代解法 157

1　迭代法的基本概念 157

1.1 向量序列和矩阵序列的极限 157

1.2　迭代公式的构造 159

1.3　迭代法的收敛性 159

1.4　迭代法的收敛速度 161

2　Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 162

2.1 Jacobi迭代法 162

2.2 Gauss-Seidel迭代法 163

2.3 J法和GS法的收敛性 164

3 超松弛（SOR）迭代法 168

3.1 超松弛迭代法 168

3.2 SOR迭代法的收敛性 169

3.3 最佳松弛因子与迭代法的比较 171

3.4 块松弛迭代法 173

4 共轭梯度法 173

4.1 与方程组等价的变分问题 173

4.2 最速下降法 174

4.3 共轭梯度法 175

4.4＊ 预处理方法简介 179

习题六 180

数值实验 181

第七章 线性最小二乘问题 184

1 线性最小二乘问题 184

1.1 问题的引入 184

1.2 解的存在性、惟一性 185

2 广义逆矩阵 188

2.1 定义与表示 188

2.2 基本性质 190

3 正交化方法 191

3.1 Gram-Schmidt正交化方法 192

3.2 正交分解与线性方程组的最小二乘解 195

3.3 Householder变换与Givens变换 199

4 奇异值分解 204

习题七 206

数值实验 207

第八章 特征值问题的计算方法 209

1 基本概念与性质 209

2 幂法 211

3 反幂法 214

4 QR方法 216

4.1 基本迭代与收敛性 216

4.2 实Schur标准形 218

4.3 上Hessenberg化 219

4.4 三对角化 221

4.5 隐式对称QR迭代 222

4.6 隐式对称QR算法 223

5 Jacobi方法 224

5.1 经典Jacobi方法 224

5.2 循环Jacobi方法及其变形 228

6 二分法 229

习题八 233

数值实验 235

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 237

1 基本概念与Euler方法 237

1.1 初值问题及其数值解 237

1.2 欧拉（Euler）法与改进的欧拉法 238

1.3 预报—校正方法 240

1.4 单步法的误差分析——截断误差与阶 241

2 龙格-库塔（Runge-Kuta）法 243

2.1 用Taylor展开构造高阶方法 243

2.2 Runge-Kutta方法 244

2.3 高阶和隐式Runge-Kutta方法 248

2.4 变步长方法 249

3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性 249

3.1 收敛性 249

3.2 相容性 251

3.3 绝对稳定性 251

4 线性多步方法 254

4.1 Adams方法 254

4.2 一般形式的线性多步方法 256

4.3 一般的数值积分法 259

4.4 预估—校正算法 260

5 线性差分方程 262

5.1 线性差分方程的的基本性质 262

5.2 齐次差分方程的解 264

6 线性多步法的收敛性与稳定性 264

6.1 相容性与收敛性 264

6.2 稳定性 269

6.3 绝对稳定性 270

7 一阶方程组与高阶方程 272

7.1 一阶方程组 272

7.2 高阶微分方程初值问题的数值解法 275

8 刚性方程组 276

习题九 279

数值实验 281

第十章　常微分方程边值问题的数值解法 286

1　差分方法 286

1.1 解线性微分方程第一边值问题的差分格式 286

1.2　其他边界条件的讨论 289

2　非线性方程边值问题 290

3　边值问题的打靶法 292

3.1　线性打靶法 292

3.2　非线性打靶法 293

习题十 295

数值实验 296

参考文献 298