目录 1
第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、集合 1
二 一元函数的定义 2
三、函数的几种特性 6
四 反函数 8
习题1-1 9
一、基本初等函数 10
第二节 初等函数 10
二 复合函数 14
三、初等函数 14
四、双曲函数 14
习题1-2 16
第三节 数列的极限 17
一 数列 18
二、数列极限的定义 18
三 收敛数列的性质 22
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 24
习题1-3 24
第四节 函数的极限 24
二、自变量趋向有限值时函数的极限 26
三 函数极限的性质 29
习题1-4 31
第五节 无穷小与无穷大 31
一、无穷小 31
二 无穷大 33
习题1-5 34
第六节 极限运算法则 35
习题1-6 39
第七节 极限存在准则两个重要极限 40
一 极限存在的两个准则 40
二 几个重要不等式 41
三 两个重要极限 43
四、杂例及应用 45
习题1-7 47
第八节 无穷小的比较 48
一、函数连续的定义 50
习题1-8 50
第九节 函数的连续性 50
二 函数的间断点 52
习题1-9 54
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 54
一、连续函数的和、积及商的连续性 54
二、反函数与复合函数的连续性 55
三 初等函数的连续性 56
第十一节 闭区间上连续函数的性质 57
习题1-10 57
一、最大值和最小值定理 58
二、介值定理 58
习题1-11 60
第二章 导数与微分 61
第一节 导数的概念 61
一、引例 61
二、导数的定义 63
三、求导数举例 64
四、导数的几何意义 66
五、函数的可导性与连续性之间的关系 67
习题2-1 68
第二节 函数的求导法则 69
一 函数的和、差、积、商的求导法则 69
二、反函数的导数 72
三、复合函数的导数 74
习题2-2 76
第三节 高阶导数 77
习题2-3 81
一、隐函数的导数 82
第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 82
二、对数求导法 84
三、由参数方程所确定的函数的导数 85
四、相关变化率 87
习题2-4 88
第五节 函数的微分 89
一、微分的概念 89
二微分的运算公式 92
三、微分的应用 94
习题2-5 96
第三章 中值定理与导数的应用 98
第一节 中值定理 98
一 罗尔定理 98
二、拉格朗日中值定理 99
三 柯西中值定理 101
习题3-1 102
第二节 洛必达法则 104
习题3-2 109
第三节 泰勒中值定理 110
习题3-3 114
第四节 函数单调性判别法 114
习题3-4 116
第五节 函数的极值与最值 117
一 函数的极值及其求法 117
二、函数的最值及其求法 121
习题3-5 124
第六节 曲线的凹凸性与拐点 125
一 斜渐近线 128
第七节 函数作图 128
习题3-6 128
二、函数作图 129
习题3-7 132
第八节 曲线的曲率 132
一、曲率的概念 132
二 曲率的计算公式 134
三 曲率圆与曲率半径 135
习题3-8 136
一、原函数与不定积分的概念 137
第四章 不定积分 137
第一节 不定积分的概念与性质 137
二、基本积分表 140
三、不定积分的性质 141
习题4-1 142
第二节 换元积分法 143
一、第一类换元法 143
二 第二类换元法 147
习题4-2 152
第三节 分部积分法 153
习题4-3 157
第四节 几种特殊类型函数的积分 158
一、有理函数的积分 158
二、三角函数有理式的积分 161
二、简单无理函数的积分举例 162
习题4-4 163
第一节 定积分的概念 164
一、引例 164
第五章 定积分 164
二、定积分的定义 167
习题5-1 170
第二节 定积分的性质 170
习题5-2 173
第三节 微积分基本公式 174
习题5-3 179
第四节 定积分的换元法与分部积分法 180
一、定积分的换元法 180
二、定积分的分部积分法 185
习题5-4 187
一、积分区间为无穷的反常积分 189
第五节 反常积分初步 189
二、无界函数的反常积分 192
习题5-5 194
第六章 定积分的应用 195
第一节 定积分的元素法 195
第二节 平面图形的面积 196
一、直角坐标情形 196
二、极坐标情形 198
一、旋转体的体积 201
习题6-2 201
第三节 体积 201
二、平行截面面积为已知的立体的体积 204
习题6-3 205
第四节 平面曲线的弧长 205
一、直角坐标情形 205
二、参数方程情形 206
三、极坐标方程情形 208
第五节 定积分的其他应用 209
一、功 209
习题6-4 209
二、液体压力 211
三、引力 212
四、工程上的应用 213
习题6-5 216
第七章 常微分方程 218
第一节 常微分方程的基本概念 218
习题7-1 221
第二节 可分离变量的微分方程 222
第三节 齐次方程 224
习题7-2 224
习题7-3 228
第四节 一阶线性微分方程 228
习题7-4 233
第五节 可降阶的高阶微分方程 234
一 y（n）＝f（x）型的微分方程 234
二、y＝f（x,y）型的微分方程 235
三、y＝f（y,y）型的微分方程 235
第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 237
习题7-5 237
习题7-6 242
第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 243
习题7-7 247
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 248
一 非齐次项f（x）＝Pm（x）eλr 249
二、非齐次项f（x）＝eλr［Pt（x）cosωx＋P（x）sinωx］ 251
习题7-8 253
第九节 欧拉方程 253
第十节 常微分方程组解法举例 255
习题7-9 255
习题7-10 257
第十一节 微分方程应用举例 257
习题7-11 263
第八章 向量代数与空间解析几何 264
第一节 空间直角坐标系 264
一 空间直角坐标系及点的坐标 264
二 两点间距离公式 265
三、曲面与方程 266
四、空间曲线的一般方程 267
习题8-1 268
第二节 向量及其运算 268
一、向量的概念 268
二、向量的线性运算 269
三、向量的数量积 273
四、向量的向量积 274
习题8-2 276
第三节 平面方程 277
习题8-3 279
第四节 空间直线的方程 280
一、空间直线的一般方程 280
二、空间直线的对称式方程与参数方程 280
三、两直线的夹角 282
四、直线与平面的夹角 282
习题8-4 283
第五节 几种常见的曲面 284
一、母线平行于坐标轴的柱面 284
二、旋转曲面 285
习题8-5 289
第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 289
一、空间曲线的参数方程 289
二、空间曲线在坐标面上的投影 291
习题8-6 292
第九章 多元函数微分法及其应用 293
第一节 多元函数的基本概念 293
一 引例 293
二、二元函数的定义 293
三、二元函数的图形 295
四、二元函数的极限 296
五、二元函数的连续性 297
六、n维空间与n元函数 298
习题9-1 299
第二节 偏导数 299
一、偏导数的定义及计算 299
二 高阶偏导数 302
习题9-2 304
第三节 全微分 304
第四节 多元复合函数的求导法则 308
习题9-3 308
习题9-4 314
第五节 隐函数的求导公式 314
一、一个方程确定的隐函数 314
二 由方程组确定的隐函数 316
习题9-5 317
第六节 多元微分学在几何上的应用 317
一 空间曲线的切线与法平面 318
二 曲面的切平面与法线 320
习题9-6 322
第七节 方向导数与梯度 323
一、方向导数的概念及计算 323
二 梯度 324
习题9-7 325
第八节 多元函数的极值与最值 326
一 多元函数的极值与最值 326
二、条件极值 329
习题9-8 332
一、曲顶柱体的体积与二重积分 333
第十章 重积分 333
第一节 二重积分的概念与性质 333
二、二重积分的性质 335
习题10-1 336
第二节 二重积分的计算法 337
一、利用直角坐标计算二重积分 337
二 利用极坐标计算二重积分 342
习题10-2 346
一 曲面的面积 347
第三节 二重积分的应用 347
二 平面薄片的质心 350
三、平面薄片的转动惯量 351
习题10-3 352
第四节 三重积分 352
一、三重积分的概念 352
二、三重积分的计算 353
三、三重积分的应用 359
习题10-4 361
第一节 曲线积分 362
一 对弧长曲线积分的概念及计算 362
第十一章 曲线积分与曲面积分 362
二、对坐标曲线积分的概念及计算 365
三 两类曲线积分之间的关系 370
习题11-1 371
第二节 格林公式及其应用 371
一、格林公式 371
二 平面上曲线积分与路径无关的条件 375
第三节 曲面积分介绍 379
习题11-2 379
一 第一类曲面积分的概念与计算 380
二 第二类曲面积分的概念与计算 381
三、高斯公式 386
习题11-3 388
第十二章 级数 389
第一节 常数项级数的基本概念和性质 389
一、常数项级数的基本概念 389
级数的基本性质 391
习题12-1 392
一 正项级数及其敛散性判别法 393
第二节 常数项级数敛散性的判别法 393
二 交错级数及其敛散性判别法 397
三 绝对收敛与条件收敛 398
习题12-2 400
第三节 幂级数 401
一、函数项级数的一般概念 401
二 幂级数及其收敛性 402
三、幂级数的运算举例 405
习题12-3 406
第四节 函数展开成幂级数 407
第五节 傅里叶级数 411
习题12-4 411
一、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 412
二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 417
习题12-5 419
附录一 微积分学简史 420
附录二 Mathematica使用初步 426
附录三 二阶和三阶行列式介绍 442
附录四 极坐标介绍 445
习题答案 450
参考文献 478