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目录 1

第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二 一元函数的定义 2

三、函数的几种特性 6

四 反函数 8

习题1-1 9

一、基本初等函数 10

第二节 初等函数 10

二 复合函数 14

三、初等函数 14

四、双曲函数 14

习题1-2 16

第三节 数列的极限 17

一 数列 18

二、数列极限的定义 18

三 收敛数列的性质 22

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 24

习题1-3 24

第四节 函数的极限 24

二、自变量趋向有限值时函数的极限 26

三 函数极限的性质 29

习题1-4 31

第五节 无穷小与无穷大 31

一、无穷小 31

二 无穷大 33

习题1-5 34

第六节 极限运算法则 35

习题1-6 39

第七节 极限存在准则两个重要极限 40

一 极限存在的两个准则 40

二 几个重要不等式 41

三 两个重要极限 43

四、杂例及应用 45

习题1-7 47

第八节 无穷小的比较 48

一、函数连续的定义 50

习题1-8 50

第九节 函数的连续性 50

二 函数的间断点 52

习题1-9 54

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 54

一、连续函数的和、积及商的连续性 54

二、反函数与复合函数的连续性 55

三 初等函数的连续性 56

第十一节 闭区间上连续函数的性质 57

习题1-10 57

一、最大值和最小值定理 58

二、介值定理 58

习题1-11 60

第二章 导数与微分 61

第一节 导数的概念 61

一、引例 61

二、导数的定义 63

三、求导数举例 64

四、导数的几何意义 66

五、函数的可导性与连续性之间的关系 67

习题2-1 68

第二节 函数的求导法则 69

一 函数的和、差、积、商的求导法则 69

二、反函数的导数 72

三、复合函数的导数 74

习题2-2 76

第三节 高阶导数 77

习题2-3 81

一、隐函数的导数 82

第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 82

二、对数求导法 84

三、由参数方程所确定的函数的导数 85

四、相关变化率 87

习题2-4 88

第五节 函数的微分 89

一、微分的概念 89

二微分的运算公式 92

三、微分的应用 94

习题2-5 96

第三章 中值定理与导数的应用 98

第一节 中值定理 98

一 罗尔定理 98

二、拉格朗日中值定理 99

三 柯西中值定理 101

习题3-1 102

第二节 洛必达法则 104

习题3-2 109

第三节 泰勒中值定理 110

习题3-3 114

第四节 函数单调性判别法 114

习题3-4 116

第五节 函数的极值与最值 117

一 函数的极值及其求法 117

二、函数的最值及其求法 121

习题3-5 124

第六节 曲线的凹凸性与拐点 125

一 斜渐近线 128

第七节 函数作图 128

习题3-6 128

二、函数作图 129

习题3-7 132

第八节 曲线的曲率 132

一、曲率的概念 132

二 曲率的计算公式 134

三 曲率圆与曲率半径 135

习题3-8 136

一、原函数与不定积分的概念 137

第四章 不定积分 137

第一节 不定积分的概念与性质 137

二、基本积分表 140

三、不定积分的性质 141

习题4-1 142

第二节 换元积分法 143

一、第一类换元法 143

二 第二类换元法 147

习题4-2 152

第三节 分部积分法 153

习题4-3 157

第四节 几种特殊类型函数的积分 158

一、有理函数的积分 158

二、三角函数有理式的积分 161

二、简单无理函数的积分举例 162

习题4-4 163

第一节 定积分的概念 164

一、引例 164

第五章 定积分 164

二、定积分的定义 167

习题5-1 170

第二节 定积分的性质 170

习题5-2 173

第三节 微积分基本公式 174

习题5-3 179

第四节 定积分的换元法与分部积分法 180

一、定积分的换元法 180

二、定积分的分部积分法 185

习题5-4 187

一、积分区间为无穷的反常积分 189

第五节 反常积分初步 189

二、无界函数的反常积分 192

习题5-5 194

第六章 定积分的应用 195

第一节 定积分的元素法 195

第二节 平面图形的面积 196

一、直角坐标情形 196

二、极坐标情形 198

一、旋转体的体积 201

习题6-2 201

第三节 体积 201

二、平行截面面积为已知的立体的体积 204

习题6-3 205

第四节 平面曲线的弧长 205

一、直角坐标情形 205

二、参数方程情形 206

三、极坐标方程情形 208

第五节 定积分的其他应用 209

一、功 209

习题6-4 209

二、液体压力 211

三、引力 212

四、工程上的应用 213

习题6-5 216

第七章 常微分方程 218

第一节 常微分方程的基本概念 218

习题7-1 221

第二节 可分离变量的微分方程 222

第三节 齐次方程 224

习题7-2 224

习题7-3 228

第四节 一阶线性微分方程 228

习题7-4 233

第五节 可降阶的高阶微分方程 234

一 y（n）＝f（x）型的微分方程 234

二、y＝f（x,y）型的微分方程 235

三、y＝f（y,y）型的微分方程 235

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 237

习题7-5 237

习题7-6 242

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 243

习题7-7 247

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 248

一 非齐次项f（x）＝Pm（x）eλr 249

二、非齐次项f（x）＝eλr［Pt（x）cosωx＋P（x）sinωx］ 251

习题7-8 253

第九节 欧拉方程 253

第十节 常微分方程组解法举例 255

习题7-9 255

习题7-10 257

第十一节 微分方程应用举例 257

习题7-11 263

第八章 向量代数与空间解析几何 264

第一节 空间直角坐标系 264

一 空间直角坐标系及点的坐标 264

二 两点间距离公式 265

三、曲面与方程 266

四、空间曲线的一般方程 267

习题8-1 268

第二节 向量及其运算 268

一、向量的概念 268

二、向量的线性运算 269

三、向量的数量积 273

四、向量的向量积 274

习题8-2 276

第三节 平面方程 277

习题8-3 279

第四节 空间直线的方程 280

一、空间直线的一般方程 280

二、空间直线的对称式方程与参数方程 280

三、两直线的夹角 282

四、直线与平面的夹角 282

习题8-4 283

第五节 几种常见的曲面 284

一、母线平行于坐标轴的柱面 284

二、旋转曲面 285

习题8-5 289

第六节 空间曲线的参数方程 投影柱面 289

一、空间曲线的参数方程 289

二、空间曲线在坐标面上的投影 291

习题8-6 292

第九章 多元函数微分法及其应用 293

第一节 多元函数的基本概念 293

一 引例 293

二、二元函数的定义 293

三、二元函数的图形 295

四、二元函数的极限 296

五、二元函数的连续性 297

六、n维空间与n元函数 298

习题9-1 299

第二节 偏导数 299

一、偏导数的定义及计算 299

二 高阶偏导数 302

习题9-2 304

第三节 全微分 304

第四节 多元复合函数的求导法则 308

习题9-3 308

习题9-4 314

第五节 隐函数的求导公式 314

一、一个方程确定的隐函数 314

二 由方程组确定的隐函数 316

习题9-5 317

第六节 多元微分学在几何上的应用 317

一 空间曲线的切线与法平面 318

二 曲面的切平面与法线 320

习题9-6 322

第七节 方向导数与梯度 323

一、方向导数的概念及计算 323

二 梯度 324

习题9-7 325

第八节 多元函数的极值与最值 326

一 多元函数的极值与最值 326

二、条件极值 329

习题9-8 332

一、曲顶柱体的体积与二重积分 333

第十章 重积分 333

第一节 二重积分的概念与性质 333

二、二重积分的性质 335

习题10-1 336

第二节 二重积分的计算法 337

一、利用直角坐标计算二重积分 337

二 利用极坐标计算二重积分 342

习题10-2 346

一 曲面的面积 347

第三节 二重积分的应用 347

二 平面薄片的质心 350

三、平面薄片的转动惯量 351

习题10-3 352

第四节 三重积分 352

一、三重积分的概念 352

二、三重积分的计算 353

三、三重积分的应用 359

习题10-4 361

第一节 曲线积分 362

一 对弧长曲线积分的概念及计算 362

第十一章 曲线积分与曲面积分 362

二、对坐标曲线积分的概念及计算 365

三 两类曲线积分之间的关系 370

习题11-1 371

第二节 格林公式及其应用 371

一、格林公式 371

二 平面上曲线积分与路径无关的条件 375

第三节 曲面积分介绍 379

习题11-2 379

一 第一类曲面积分的概念与计算 380

二 第二类曲面积分的概念与计算 381

三、高斯公式 386

习题11-3 388

第十二章 级数 389

第一节 常数项级数的基本概念和性质 389

一、常数项级数的基本概念 389

级数的基本性质 391

习题12-1 392

一 正项级数及其敛散性判别法 393

第二节 常数项级数敛散性的判别法 393

二 交错级数及其敛散性判别法 397

三 绝对收敛与条件收敛 398

习题12-2 400

第三节 幂级数 401

一、函数项级数的一般概念 401

二 幂级数及其收敛性 402

三、幂级数的运算举例 405

习题12-3 406

第四节 函数展开成幂级数 407

第五节 傅里叶级数 411

习题12-4 411

一、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 412

二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 417

习题12-5 419

附录一 微积分学简史 420

附录二 Mathematica使用初步 426

附录三 二阶和三阶行列式介绍 442

附录四 极坐标介绍 445

习题答案 450

参考文献 478