目录 1
第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 知识要点 1
1.1.2 典型例题 7
1.2 极限概念极限运算 10
1.2.1 知识要点 10
1.2.2 典型例题 13
1.3 无穷小的比较 函数的连续性 17
1.3.1 知识要点 18
1.3.2 典型例题 20
自测题1 25
数学史话 26
1．极限思想——重要性及其发展阶段 26
2．刘徽与“割圆术” 28
第2章 导数与微分 29
2.1 导数的概念与运算 29
2.1.1 知识要点 29
2.1.2 典型例题 30
2.2 高阶导数与微分 38
2.2.1 知识要点 39
2.2.2 典型例题 40
自测题2 46
数学应用范例 47
1．相关变化率问题 47
2．微分在近似计算中的应用 47
3．导数在经济学上的应用 47
第3章 微分中值定理与导数的应用 50
3.1 微分中值定理 洛必达法则 50
3.1.1 知识要点 50
3.1.2 典型例题 52
3.2 导数的应用 58
3.2.1 知识要点 58
3.2.2 典型例题 60
自测题3 67
数学家简介 68
1．罗尔 68
2．拉格朗日 69
3．柯西 70
4．泰勒 70
5．洛必达 71
第4章 不定积分 73
4.1 不定积分的概念与性质 73
4.1.1 知识要点 73
4.1.2 典型例题 74
4.2.1 知识要点 78
4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法 78
4.2.2 典型例题 80
自测题4 89
第5章 定积分 91
5.1 定积分的概念、性质和微积分基本公式 91
5.1.1 知识要点 91
5.1.2 典型例题 94
5.2 定积分的换元法、分部积分法和反常积分 100
5.2.1 知识要点 100
5.2.2 典型例题 102
自测题5 108
2．在经济学中的应用 111
数学应用范例 111
1．已知变化率求变化量 111
3．润滑油的存储量（反常积分的应用实例） 112
数学家简介 112
1．牛顿 112
2．莱布尼茨 114
数学史话 牛顿和莱布尼茨创立了微积分 115
第6章 定积分应用 117
6.1 知识要点 117
6.2 典型例题 121
自测题6 132
数学应用范例连续变量作用和问题 133
数学史话 穷竭法求面积 134
第7章 向量代数与空间解析几何 137
7.1 向量代数 137
7.1.1 知识要点 137
7.1.2 典型例题 138
7.2 曲线与曲面 140
7.2.1 知识要点 140
7.2.2 典型例题 143
7.3 平面与直线 146
7.3.1 知识要点 146
7.3.2 典型例题 147
自测题7 152
数学家简介笛卡儿 153
第8章 多元函数微分法及其应用 155
8.1 多元函数微分法的概念及偏导数、全微分 155
8.1.1 知识要点 155
8.1.2 典型例题 157
8.2 多元复合函数及隐函数的微分 161
8.2.1 知识要点 161
8.2.2 典型例题 162
8.3 多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值 167
8.3.1 知识要点 167
8.3.2 典型例题 169
自测题8 175
数学应用范例如何测定太湖的最深处 176
第9章 重积分 178
9.1 二重积分 178
9.1.1 知识要点 178
9.1.2 典型例题 181
9.2 三重积分 188
9.2.1 知识要点 188
9.2.2 典型例题 189
9.3 重积分的应用 195
9.3.1 知识要点 195
9.3.2 典型例题 196
自测题9 198
第10章 曲线积分与曲面积分 201
10.1 曲线积分 201
10.1.1 知识要点 201
10.1.2 典型例题 203
10.2 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 208
10.2.1 知识要点 208
10.2.2 典型例题 209
10.3 曲面积分 213
10.3.1 知识要点 213
10.3.2 典型例题 215
自测题10 221
1．小岛在涨潮与落潮之间的面积变化 223
2．通信卫星的覆盖面积 223
数学应用范例 223
数学家简介 高斯 225
第11章 无穷级数 227
11.1 常数项级数 227
11.1.1 知识要点 227
11.1.2 典型例题 229
11.2 幂级数 234
11.2.1 知识要点 234
11.2.2 典型例题 235
11.3.1 知识要点 239
11.3 函数展开成幂级数 239
11.3.2 典型例题 240
自测题11 244
数学应用范例 245
1．阿基里斯问题 245
2．利用级数估计π的值 246
3．微分方程的级数解 246
4．表示特殊函数 247
第12章 常微分方程 249
12.1 一阶微分方程 249
12.1.1 知识要点 249
12.1.2 典型例题 251
12.2 高阶微分方程 二阶线性微分方程 258
12.2.1 知识要点 258
12.2.2 典型例题 261
自测题12 270
数学应用范例 微分方程模型初步 271
数学史话 钟摆、悬链线和伯努利兄弟 277
第13章 用Mathematica研究高等数学问题 281
13.1 入门 281
13.1.1 启动和退出 281
13.1.2 Mathematica 5.1的工作界面 282
13.1.3 Mathematica 5.1的输入、输出和运行 282
13.1.4 数值类型和系统中的数学常数 283
13.1.5 内建函数（built-in function） 285
13.1.6 变量 287
13.1.7 表达式 288
13.1.8 调用软件包 290
13.1.9 Mathematica的联机帮助系统 291
13.1.10 给初学者的提示 292
13.2 函数二维图形极限 293
13.2.1 自定义函数 293
13.2.2 二维图形 295
13.2.3 极限 299
13.3.1 求导数 300
13.3 一元函数微分学 300
13.3.2 求函数的极小值 302
13.4 一元函数积分学 304
13.4.1 积分的计算 304
13.4.2 反常积分的计算 305
13.4.3 数值积分 305
13.5 三维图形 306
13.5.1 三维图形命令 306
13.5.2 三维图形范例 309
13.6 多元函数微积分运算 312
13.6.1 求偏导数 312
13.6.2 求全微分 313
13.6.3 重积分 314
13.7 无穷级数 314
13.7.1 求无穷和 314
13.7.2 把函数展开为幂级数 315
13.7.3 去掉余项 315
13.8 常微分方程 316
13.8.1 求解微分方程通解 316
13.8.2 求解微分方程初值问题 316
13.8.3 求解微分方程组 316
自测题答案与提示 318
参考文献 331