前言 1
符号说明 1
引子 1
第一章 科学的根源 5
1.1 探寻世界的成因 5
1.2 数学真理 6
1.3 柏拉图的数学世界“真实”吗？ 8
1.4 三个世界与三重奥秘 12
1.5 善、真、美 15
第二章 古代定理和现代问题 17
2.1 毕达哥拉斯定理 17
2.2 欧几里得公设 19
2.3 毕达哥拉斯定理的相似面积证明 21
2.4 双曲几何：共形图像 22
2.5 双曲几何的其他表示 25
2.6 双曲几何的历史渊源 29
2.7 与物理空间的关系 31
第三章 物理世界里数的种类 35
3.1 毕达哥拉斯灾难？ 35
3.2 实数系 37
3.3 物理世界里的实数 41
3.4 自然数需要物理世界吗？ 43
3.5 物理世界里的离散数 44
第四章 奇幻的复数 48
4.1 魔数“i” 48
4.2 用复数解方程 50
4.3 幂级数的收敛 52
4.4 韦塞尔复平面 55
4.5 如何构造曼德布罗特集 56
第五章 对数、幂和根的几何学 58
5.1 复代数几何 58
5.2 复对数概念 61
5.3 多值性，自然对数 62
5.4 复数幂 65
5.5 与现代粒子物理学的某些关联 68
第六章 实数微积分 71
6.1 如何构造实函数？ 71
6.2 函数的斜率 73
6.3 高阶导数；C∞光滑函数 75
6.4 “欧拉的”函数概念 77
6.5 微分法则 79
6.6 积分 81
第七章 复数微积分 85
7.1 复光滑，全纯函数 85
7.2 周线积分 86
7.3 复光滑幂级数 88
7.4 解析延拓 90
第八章 黎曼曲面和复映射 94
8.1 黎曼曲面概念 94
8.2 共形映射 97
8.3 黎曼球面 99
8.4 紧黎曼曲面的亏格 101
8.5 黎曼映射定理 104
第九章 傅里叶分解和超函数 107
9.1 傅里叶级数 107
9.2 圆上的函数 111
9.3 黎曼球面上的频率剖分 113
9.4 傅里叶变换 115
9.5 傅里叶变换的频率剖分 117
9.6 哪种函数是适当的？ 119
9.7 超函数 121
第十章 曲面 127
10.1 复维和实维 127
10.2 光滑，偏导数 128
10.3 矢量场与1形式 131
10.4 分量，标量积 135
10.5 柯西-黎曼方程 137
第十一章 超复数 141
11.1 四元数代数 141
11.2 四元数的物理角色 143
11.3 四元数几何 145
11.4 转动如何叠加 147
11.5 克利福德代数 149
11.6 格拉斯曼代数 151
第十二章 n维流形 155
12.1 为什么要研究高维流形？ 155
12.2 流形与坐标拼块 158
12.3 标量、矢量和余矢量 159
12.4 格拉斯曼积 163
12.5 形式的积分 164
12.6 外导数 165
12.7 体积元，求和规则 169
12.8 张量：抽象指标记法和图示记法 171
12.9 复流形 172
第十三章 对称群 177
13.1 变换群 177
13.2 子群和单群 180
13.3 线性变换和矩阵 183
13.4 行列式和迹 187
13.5 本征值与本征矢量 189
13.6 表示理论与李代数 191
13.7 张量表示空间；可约性 194
13.8 正交群 197
13.9 酉群 202
13.10 辛群 206
第十四章 流形上的微积分 211
14.1 流形上的微分 211
14.2 平行移动 212
14.3 协变导数 215
14.4 曲率和挠率 217
14.5 测地线、平行四边形和曲率 219
14.6 李导数 224
14.7 度规能为你做什么 229
14.8 辛流形 232
第十五章 纤维丛和规范联络 235
15.1 纤维丛的物理背景 235
15.2 丛的数学思想 237
15.3 丛的截面 240
15.4 克利福德丛 242
15.5 复矢量丛、（余）切丛 244
15.6 射影空间 246
15.7 丛联络的非平凡性 250
15.8 丛曲率 253
第十六章 无限的阶梯 258
16.1 有限域 258
16.2 物理上需要的是有限还是无限几何？ 260
16.3 无限的不同大小 263
16.4 康托尔对角线法 265
16.5 数学基础方面的难题 268
16.6 图灵机和哥德尔定理 270
16.7 物理学中无限的大小 273
第十七章 时空 276
17.1 亚里士多德物理学的时空 276
17.2 伽利略原理下的时空相对性 278
17.3 时空的牛顿动力学 279
17.4 等效原理 281
17.5 嘉当的“牛顿时空” 284
17.6 确定不变的有限光速 288
17.7 光锥 289
17.8 放弃绝对时间 291
17.9 爱因斯坦广义相对论的时空 294
第十八章 闵可夫斯基几何 297
18.1 欧几里得型与闵可夫斯基型四维空间 297
18.2 闵可夫斯基空间的对称群 300
18.3 洛伦兹正交性；“时钟悖论” 301
18.4 闵可夫斯基空间的双曲几何 304
18.5 作为黎曼球面的天球 309
18.6 牛顿能量和（角）动量 312
18.7 相对论性能量和（角）动量 313
第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场 318
19.1 背离牛顿动力学的演化 318
19.2 麦克斯韦电磁场理论 319
19.3 麦克斯韦理论中的守恒律和通量定律 323
19.4 作为规范曲率的麦克斯韦场 325
19.5 能量动量张量 329
19.6 爱因斯坦场方程 332
19.7 进一步的问题：宇宙学常数；外尔张量 334
19.8 引力场能量 336
第二十章 拉格朗日量和哈密顿量 341
20.1 神奇的拉格朗日形式体系 341
20.2 更为对称的哈密顿图像 344
20.3 小振动 346
20.4 辛几何的哈密顿动力学 350
20.5 场的拉格朗日处理 352
20.6 如何从拉格朗日量导出现代理论 354
第二十一章 量子粒子 357
21.1 非对易变量 357
21.2 量子哈密顿量 359
21.3 薛定谔方程 360
21.4 量子理论的实验背景 362
21.5 理解波粒二象性 365
21.6 什么是量子“实在”？ 367
21.7 波函数的“整体”性质 369
21.8 奇怪的“量子跳变” 372
21.9 波函数的概率分布 373
21.10 位置态 374
21.11 动量空间描述 376
第二十二章 量子代数、几何和自旋 380
22.1 量子步骤U和R 380
22.2 U的线性性以及它给R带来的问题 382
22.3 幺正结构、希尔伯特空间和狄拉克算符 384
22.4 幺正演化：薛定谔绘景和海森伯绘景 385
22.5 量子“可观察量” 388
22.6 YES/NO测量；投影算符 390
22.7 类光测量；螺旋性 392
22.8 自旋和旋量 395
22.9 二态系统的黎曼球面 398
22.10 高自旋：马约拉纳绘景 402
22.11 球谐函数 404
22.12 相对论性量子角动量 407
22.13 一般的孤立量子客体 409
第二十三章 纠缠的量子世界 415
23.1 多粒子系统的量子力学 415
23.2 巨大的多粒子系统态空间 416
23.3 量子纠缠：贝尔不等式 418
23.4 玻姆型EPR实验 420
23.5 哈迪的EPR事例：几乎与概率无关 423
23.6 量子纠缠的两个谜团 424
23.7 玻色子和费米子 426
23.8 玻色子和费米子的量子态 428
23.9 量子隐形传态 429
23.10 量子纠缠 432
第二十四章 狄拉克电子和反粒子 437
24.1 量子理论与相对论之间的张力 437
24.2 为什么反粒子意味着量子场？ 438
24.3 量子力学里能量的正定性 439
24.4 相对论能量公式的困难 441
24.5 ？/？t的非不变性 442
24.6 波算符的克利福德-狄拉克平方根 443
24.7 狄拉克方程 445
24.8 正电子的狄拉克途径 446
第二十五章 粒子物理学的标准模型 450
25.1 现代粒子物理学的起源 450
25.2 电子的zigzag图像 451
25.3 电弱相互作用；反射不对称性 454
25.4 正反共轭、宇称和时间反演 458
25.5 电弱对称群 460
25.6 强相互作用粒子 462
25.7 “色夸克” 465
25.8 超越标准模型？ 467
第二十六章 量子场论 471
26.1 量子场论在现代物理中的基础地位 471
26.2 产生算符和湮没算符 472
26.3 无穷维代数 474
26.4 量子场论中的反粒子 476
26.5 备择真空 477
26.6 相互作用：拉格朗日量和路径积分 478
26.7 发散的路径积分：费恩曼响应 481
26.8 构建费恩曼图；S矩阵 483
26.9 重正化 485
26.10 拉格朗日量的费恩曼图 488
26.11 费恩曼图和真空选择 489
第二十七章 大爆炸及其热力学传奇 493
27.1 动力学演化的时间对称性 493
27.2 亚微观成分 494
27.3 熵 495
27.4 熵概念的鲁棒性 497
27.5 第二定律的导出 499
27.6 整个宇宙可看作一个“孤立系统”吗？ 502
27.7 大爆炸的角色 503
27.8 黑洞 507
27.9 事件视界与时空奇点 510
27.10 黑洞熵 512
27.11 宇宙学 514
27.12 共形图 518
27.13 异乎寻常的特殊大爆炸 521
第二十八章 早期宇宙的推测性理论 527
28.1 早期宇宙的自发对称破缺 527
28.2 宇宙的拓扑缺陷 529
28.3 早期宇宙的对称性破缺问题 532
28.4 暴胀宇宙学 535
28.5 暴胀的动机有效吗？ 539
28.6 人存原理 542
28.7 大爆炸的特殊性质：人存是关键？ 545
28.8 外尔曲率假说 548
28.9 哈特尔-霍金的“无界”假说 550
28.10 宇宙学参数：观察的地位？ 552
第二十九章 测量疑难 560
29.1 量子理论的传统本体论 560
29.2 量子理论的非传统本体论 562
29.3 密度矩阵 566
29.4 自旋1/2的密度矩阵：布洛赫球 568
29.5 EPR状态的密度矩阵 571
29.6 环境退相关的FAPP哲学 575
29.7 “哥本哈根”本体论的薛定谔猫 576
29.8 其他传统本体论能够解决“猫”佯谬吗？ 578
29.9 哪一种非传统本体论有助于解决问题？ 580
第三十章 量子态收缩中的引力角色 584
30.1 当今的量子理论在此适用吗？ 584
30.2 来自宇宙学时间不对称的线索 585
30.3 量子态收缩的时间不对称性 586
30.4 霍金的黑洞温度 589
30.5 源自复周期性的黑洞温度 592
30.6 基灵矢量，能量流——时间旅行！ 596
30.7 来自负能量途径的能量流 598
30.8 霍金爆炸 600
30.9 更激进的观点 603
30.10 薛定谔团块 605
30.11 与爱因斯坦原理的基本冲突 607
30.12 优先的薛定谔-牛顿态？ 610
30.13 FELIX及其相关理论 612
30.14 早期宇宙涨落的起源 615
第三十一章 超对称、超维和弦 621
31.1 令人费解的参数 621
31.2 超对称 624
31.3 超对称代数和几何 626
31.4 高维时空 629
31.5 原初的强子弦论 631
31.6 极品弦论 634
31.7 额外时空维的弦动机 636
31.8 作为量子引力理论的弦论？ 637
31.9 弦动力学 639
31.10 为什么我们看不见额外的空间维？ 640
31.11 我们应当接受量子稳定性论证吗？ 644
31.12 额外维的经典不稳定性 646
31.13 弦量子场论是有限的吗？ 647
31.14 神奇的卡拉比-丘空间；M理论 649
31.15 弦与黑洞熵 653
31.16 “全息原理” 655
31.17 D膜观点 657
31.18 弦论的物理学地位？ 659
第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量 666
32.1 正则量子引力 666
32.2 阿什台卡变量的手征输入 667
32.3 阿什台卡变量的形式 669
32.4 圈变量 671
32.5 结与链的数学 673
32.6 自旋网络 675
32.7 圈量子引力的地位 679
第三十三章 更彻底的观点；扭量理论 683
33.1 几何上具有离散元素的理论 683
33.2 作为光线的扭量 686
33.3 共形群、紧化闵可夫斯基空间 690
33.4 作为高维旋量的扭量 693
33.5 基本扭量几何及其坐标 694
33.6 作为无质量自旋粒子的扭量的几何 697
33.7 扭量量子论 700
33.8 无质量场的扭量描述 702
33.9 扭量层上同调 704
33.10 扭量与正／负频率剖分 708
33.11 非线性引力子 709
33.12 扭量与广义相对论 713
33.13 面向粒子物理的扭量理论 714
33.14 扭量理论的未来 715
第三十四章 实在之路通向何方 720
34.1 20世纪物理学的伟大理论及其超越？ 720
34.2 数学推动下的基础物理学 722
34.3 物理理论中时尚的作用 725
34.4 错误理论能被实验驳倒吗？ 727
34.5 下一次物理学革命会来自何处？ 730
34.6 什么是实在？ 732
34.7 心智在物理理论中的作用 733
34.8 通向实在的漫长的数学之路 736
34.9 美和奇迹 739
34.10 艰深的问题回答了，更深的问题又形成了 742
尾声 746
名词索引 748
致谢 759
文献目录 761
译后记 797