预备章 代数运算 二元关系 1
1 二元代数运算 1
1.1 定义与例子 1
1.2 半群的概念 3
2 等价关系 6
2.1 二元关系 6
2.2 等价关系 8
2.3 满射的分解 10
3 偏序关系 11
3.1 基本概念 11
3.2 Zorn引理 13
第一章 群 16
1 群的定义 16
1.1 定义与例子 16
1.2 刻画定理 18
2 子群 同态 22
2.1 子群的概念 22
2.2 群的同态 25
3 循环群 31
3.1 元素的阶 31
3.2 循环群的若干结论 32
4 变换群 36
4.1 定义与例子 36
4.2 Cayley定理 38
4.3 置换群 39
5 子群的陪集 43
5.1 陪集的概念 44
5.2 Lagrange定理 46
6 正规子群 49
6.1 正规子群的概念 49
6.2 商群的概念 52
6.3 有限单群 55
7 同态定理 58
7.1 同态基本定理 59
7.2 子群的对应关系 62
7.3 同构定理 63
8 群在集合上的作用 65
8.1 定义与例子 65
8.2 轨道与稳定子群 67
8.3 Burnside引理 70
9 Sylow定理 72
10 有限交换群的结构 76
10.1 群的直积 76
10.2 结构定理 80
11 解题探索 85
11.1 元素的阶 循环群 85
11.2 群子集 86
11.3 正规子群 88
11.4 自同构群 89
11.5 有限群 91
第二章 环 96
1 环的概念 96
1.1 环的定义 96
1.2 环的乘法半群 100
2 无零因子环 102
2.1 无零因子环的概念 103
2.2 除环 域 105
3 理想 商环 109
3.1 子环的概念 110
3.2 理想 111
3.3 商环 115
4 环的同态 117
4.1 同态的概念 117
4.2 同态定理 119
5 挖补定理及其应用 123
5.1 同构嵌入原理 124
5.2 分式域 125
5.3 多项式环 129
6 素理想与极大理想 134
6.1 素理想的概念 134
6.2 极大理想 135
7 唯一分解环 139
7.1 整除的概念 139
7.2 唯一分解环的刻画 142
7.3 最大公因子 145
8 主理想整环与Euclid环 148
8.1 主理想整环 148
8.2 Euclid环 150
9 Gauss整环上的多项式环 152
9.1 本原多项式 152
9.2 因式分解定理 154
9.3 多项式的根 156
10 环的表示与模 160
10.1 EndG与环的表示 160
10.2 模的概念 164
11 解题探索 168
11.1 交换性 零因子 168
11.2 除环 正则环 171
11.3 同态与同构 173
11.4 理想 177
11.5 整除理论 180
第三章 域的扩张 184
1 单扩域 184
1.1 扩域的概念 184
1.2 单扩域 186
2 代数扩域 189
2.1 有限扩域 189
2.2 代数扩域 191
2.3 应用：尺规作图问题 194
3 多项式的分裂域 197
3.1 存在、唯一性定理 197
3.2 可分扩域 203
3.3 分裂域的正规性 206
4 有限域 209
4.1 有限域的基本结论 209
4.2 应用：编码 214
5 Galois理论基本定理 220
5.1 Galois扩域 220
5.2 Galois对应 222
5.3 应用：用根式解代数方程问题 225
6 解题探索 231
6.1 有限扩域 231
6.2 多项式的分裂域 233
6.3 特征p之域 236
参考文献 240