第一章 函数 1
第一节 函数 1
一、常量与变量 1
二、函数的定义 1
三、单值与多值函数 2
四、函数的表示 3
五、反函数 3
习题1-1（A） 4
习题1-1（B） 4
第二节 函数的性质 5
一、有界性 5
二、周期性 5
三、单调性 6
四、奇偶性 7
习题1-2（A） 7
习题1-2（B） 8
第三节 初等函数 8
一、基本初等函数 8
二、复合函数 11
三、初等函数 12
四、双曲函数与反双曲函数 12
习题1-3（A） 14
习题1-3（B） 14
复习题一 15
典型例题解析 16
第二章 极限与连续 20
第一节 数列的极限 20
一、数列的概念 20
二、数列极限 21
三、数列极限的几何意义 22
习题2-1（A） 23
习题2-1（B） 24
第二节 函数的极限 24
一、自变量x趋于无穷大时，函数的极限 24
二、自变量趋于有限值的函数极限 25
三、单侧极限 26
四、函数极限的性质 27
五、函数极限的运算法则 27
习题2-2（A） 28
习题2-2（B） 29
第三节 两个重要极限 30
重要极限lim/x→∞（1+1/x）x=e 31
习题2-3（A） 33
习题2-3（B） 34
第四节 无穷大量与无穷小量 34
一、无穷小量 34
二、无穷小量的比较 35
三、无穷大量 36
习题2-4（A） 37
习题2-4（B） 38
第五节 函数的连续性和间断点 38
一、函数的连续性 38
二、函数的间断点 40
习题2-5（A） 42
习题2-5（B） 42
第六节 连续函数的运算与初等函数的连续性 43
一、连续函数的和、差、积、商的连续性 43
二、反函数与复合函数运算的连续性 43
三、初等函数的连续性 45
习题2-6（A） 46
习题2-6（B） 46
第七节 闭区间上连续函数的性质 46
一、最大值与最小值 46
二、介值定理 47
习题2-7（A） 48
习题2-7（B） 48
复习题二 49
第三章 导数和微分 51
第一节 导数的概念 51
一、概念的引入 51
二、导数的定义 52
三、导数的几何意义 55
四、可导与连续的关系 56
习题3-1（A） 56
习题3-1（B） 57
第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 58
习题3-2（A） 60
习题3-2（B） 61
第三节 复合函数与反函数的求导法则 61
一、复合函数的求导法则 61
二、反函数求导法则 63
习题3-3（A） 64
习题3-3（B） 64
第四节 隐函数与参数方程所确定的函数的求导法则及对数求导法 65
一、隐函数的求导法 65
二、取对数求导法 66
三、参数方程求导法 67
习题3-4（A） 68
习题3-4（B） 68
第五节 初等函数、双曲函数与反双曲函数的求导法则 69
一、基本求导法则 69
二、基本初等函数的导数公式 69
三、双曲函数与反双曲函数的导数 70
习题3-5（A） 70
习题3-5（B） 70
第六节 高阶导数 71
习题3-6（A） 73
习题3-6（B） 74
第七节 微分 75
一、微分的概念 75
二、微分的几何意义 76
三、微分的运算法则与公式 77
习题3-7（A） 78
习题3-7（B） 78
第八节 微分在近似计算中的应用 78
一、函数增量的近似值 78
二、函数的近似值 79
三、误差分析 80
习题3-8（A） 81
习题3-8（B） 82
复习题三 82
第四章 中值定理与导数的应用 84
第一节 微分中值定理洛必达法则 84
一、微分中值定理 84
二、洛必达法则 85
习题4-1（A） 89
习题4-1（B） 89
第二节 函数的单调性及其极值 90
一、函数单调性的充分条件 90
二、函数的极值及其求法 92
习题4-2（A） 94
第三节 函数的最大值和最小值 94
一、闭区间上连续函数的最大值与最小值 95
二、应用问题中的最大值与最小值 95
习题4-3（A） 97
第四节 曲线的凹凸性与拐点 97
凹凸及拐点的定义 97
习题4-4（A） 99
第五节 函数图形的描绘 100
一、渐近线的概念 100
二、几个常用的记号，列表如下 100
三、函数作图的主要步骤 100
习题4-5（A） 104
第六节 曲率 104
一、概念 104
二、曲率的计算公式 105
三、曲率半径、曲率中心、曲率圆的概念 107
习题4-6（A） 107
第五章 不定积分 108
第一节 不定积分的概念及性质 108
一、原函数与不定积分的概念 108
二、基本积分表 110
三、不定积分的性质 111
习题5-1（A） 112
习题5-1（B） 113
第二节 换元积分法 113
一、第一类换元法 114
二、第二类换元积分法 118
习题5-2（A） 122
习题5-2（B） 123
第三节 分部积分法 123
习题5-3（A） 126
习题5-3（B） 127
第四节 几种特殊类型函数的积分 127
一、有理函数的积分 127
二、三角函数有理式的积分 131
三、简单无理函数的积分举例 132
习题5-4（A） 133
习题5-4（B） 134
第五节 积分表的使用 134
复习题五 136
第六章 定积分及其应用 138
第一节 定积分的概念与性质 138
一、引例 138
二、定积分的定义 140
三、定积分的几何意义 141
四、定积分的性质 142
习题6-1（A） 144
习题6-1（B） 144
第二节 微积分学的基本定理 144
一、积分上限的函数 144
二、牛顿—莱布尼兹公式 146
习题6-2（A） 147
习题6-2（B） 148
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 148
一、定积分的换元积分法 149
二、定积分的分部积分法 150
习题6-3（A） 151
习题6-3（B） 152
第四节 广义积分 152
一、无穷区间上的广义积分 152
二、无界函数的广义积分（瑕积分） 153
习题6-4（A） 154
习题6-4（B） 155
第五节 定积分的应用 155
一、定积分的元素法 155
二、平面图形的面积 156
三、体积 158
四、平面曲线的弧长 159
五、定积分在物理上的应用 161
习题6-5（A） 161
习题6-5（B） 163
复习题六 163
第七章 微分方程 165
第一节 微分方程的基本概念 165
习题7-1（A） 166
习题7-1（B） 166
第二节 可分离变量的微分方程 166
习题7-2（A） 168
习题7-2（B） 168
第三节 齐次方程 168
习题7-3（A） 170
习题7-3（B） 171
第四节 一阶线性微分方程 171
习题7-4（A） 174
习题7-4（B） 175
第五节 可降阶的高阶微分方程 175
一、y(n)=f（x）（n阶微分方程） 175
二、y″=f（x,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“y” 176
三、y″=f（y,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“x” 176
四、其他微分方程 177
习题7-5（A） 178
习题7-5（B） 178
第六节 高阶线性微分方程 178
一、二阶线性齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=0（*）的解的结构 178
二、二阶线性非齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（**）解的结构 179
习题7-6（A） 180
习题7-6（B） 180
第七节 二阶常系数线性微分方程 181
一、二阶常系数线性齐次微分方程的求解 181
二、二阶常系数线性非齐次微分方程的求解 183
三、自由项f（x）=pm（x）eλx,pm（x）是一个m次的多项式 183
四、自由项f（x）=pm（x）eλxcosωx，或f（x）=pm（x）eλxsinωx 185
习题7-7（A） 186
习题7-7（B） 187
第八节 常微分方程的应用 187
习题7-8（A） 189
习题7-8（B） 189
复习题七 190
第八章 空间解析几何与向量代数 193
第一节 空间直角坐标系 193
一、空间直角坐标系 193
二、空间点的距离 194
习题8-1（A） 194
习题8-1（B） 195
第二节 向量（矢量） 195
一、向量的概念 195
二、向量的线性运算 195
三、向量的投影与投影向量 196
四、向量的坐标表示与分向量 197
五、向量的模、方向余弦的计算 198
习题8-2（A） 200
习题8-2（B） 200
第三节 向量的乘法 200
一、向量的数量积（点积、内积） 200
二、向量的向量积（叉乘积，外积） 202
习题8-3（A） 205
习题8-3（B） 206
第四节 空间的曲面以及方程 206
一、球面 206
二、旋转面 206
三、柱面（母线平行于坐标轴的柱面） 208
习题8-4（A） 209
习题8-4（B） 209
第五节 空间曲线的方程 209
一、空间曲线的一般方程 209
二、空间曲线的参数方程 211
三、空间曲线在坐标平面上的投影曲线 211
四、空间区域Ω或空间曲面∑在坐标平面上的投影区域D 212
习题8-5（A） 213
习题8-5（B） 214
第六节 平面及其方程 214
一、平面方程 214
习题8-6（A） 218
习题8-6（B） 218
第七节 空间直线的方程 219
一、直线的点向式方程（对称式） 219
二、直线的参数式方程 220
三、直线的一般方程（两平面的交线交面式） 220
四、两条直线的夹角θ（0≤θ≤π/2） 221
五、直线与平面的位置关系 222
六、平面束方程 222
习题8-7（A） 223
习题8-7（B） 224
第八节 二次曲面 225
一、椭球面：x2/a2+y2/b2+z2/c2=1 225
二、抛物面 225
三、双曲面 226
习题8-8（A） 226
复习题八 227
第九章 多元函数微分法及其应用 228
第一节 多元函数的基本概念 228
一、区域 228
二、多元函数概念 229
三、多元函数的极限 230
四、多元函数的连续性 232
习题9-1（A） 234
习题9-1（B） 234
第二节 偏导数 235
一、偏导数的定义及其计算法 235
二、高阶偏导数 238
习题9-2（A） 239
习题9-2（B） 240
第三节 全微分 240
全微分的定义 240
习题9-3（A） 243
习题9-3（B） 243
第四节 多元复合函数的求导法则 244
习题9-4（A） 248
习题9-4（B） 248
第五节 隐函数的求导公式 249
一、一个方程的情形 249
二、方程组的情形 251
习题9-5（A） 253
习题9-5（B） 253
第六节 微分法在几何上的应用 254
一、空间曲线的切线与法平面 254
二、曲线的切平面与法线 256
习题9-6（A） 259
习题9-6（B） 259
第七节 多元函数的极值及其求法 259
一、多元函数的极值及最大值、最小值 259
二、条件极值，拉格朗日乘数法 262
习题9-7（A） 264
习题9-7（B） 264
复习题九 265
第十章 重积分 267
第一节 二重积分的概念与性质 267
一、二重积分的概念 267
二、二重积分的性质 269
习题10-1（A） 271
习题10-1（B） 271
第二节 二重积分的计算法 272
一、利用直角坐标计算二重积分 272
二、利用极坐标计算二重积分 276
习题10-2（A） 278
习题10-2（B） 280
第三节 二重积分的应用 281
一、曲面的面积 281
二、平面薄片的质心 282
三、平面薄片的转动惯量 284
四、平面薄片对质点的引力 284
习题10-3（A） 285
习题10-3（B） 285
第四节 三重积分的概念及其计算法 286
一、三重积分的定义 286
二、三重积分的存在定理 286
三、三重积分的物理意义 286
四、三重积分在直角坐标系下的计算法 287
五、三重积分在柱面坐标系下的计算法 289
六、三重积分在球面坐标系下的计算法 291
习题10-4（A） 293
习题10-4（B） 294
复习题十 294
第十一章 曲线积分与曲面积分 296
第一节 对弧长的曲线积分 296
一、对弧长曲线积分的概念与性质 296
二、对弧长曲线积分的计算 297
习题11-1（A） 300
习题11-1（B） 300
第二节 对坐标的曲线积分 301
一、对坐标的曲线积分定义和性质 301
二、计算 302
三、两类曲线积分的关系 303
习题11-2（A） 304
习题11-2（B） 304
第三节 格林公式 305
一、格林（Green）公式 305
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 306
习题11-3（A） 310
习题11-3（B） 311
第四节 对面积的曲线积分 312
一、概念和性质 312
二、计算 313
习题11-4（A） 314
习题11-4（B） 315
第五节 对坐标的曲面积分 315
一、定义、性质 315
二、计算 317
三、两类曲面积分间的关系 318
习题11-5（A） 320
习题11-5（B） 320
第六节 高斯公式通量与散度 321
一、高斯（Gauss）公式 321
二、通量与散度 323
习题11-6（A） 323
习题11-6（B） 324
第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 324
一、斯托克斯公式 324
二、环流量、旋度 325
习题11-7（A） 326
习题11-7（B） 326
复习题十一 326
第十二章 无穷级数 328
第一节 常数项级数的概念与性质 328
一、常数项级数的概念 328
二、常数项级数的性质 329
习题12-1（A） 331
习题12-1（B） 331
第二节 常数项级数的收敛法 331
一、正项级数的收敛法 331
二、交错级数的收敛法 333
三、绝对收敛与条件收敛 334
习题12-2（A） 335
习题12-2（B） 335
第三节 幂级数 335
幂级数及其收敛半径 335
习题12-3（A） 338
习题12-3（B） 339
第四节 函数的幂级数展开 339
一、泰勒公式与泰勒级数 339
二、函数展开成幂级数 340
习题12-4（A） 343
习题12-4（B） 343
第五节 傅里叶级数 343
一、三角函数系的正交性 344
二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 345
三、正弦函数与余弦函数 349
四、以2l为周期的函数展成傅里叶级数 351
本章小结 352
习题12-5（A） 353
习题12-5（B） 354
复习题十二 354
附录 积分表 356