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第一章　函数 1

第一节　函数 1

一、常量与变量 1

二、函数的定义 1

三、单值与多值函数 2

四、函数的表示 3

五、反函数 3

习题1-1（A） 4

习题1-1（B） 4

第二节　函数的性质 5

一、有界性 5

二、周期性 5

三、单调性 6

四、奇偶性 7

习题1-2（A） 7

习题1-2（B） 8

第三节　初等函数 8

一、基本初等函数 8

二、复合函数 11

三、初等函数 12

四、双曲函数与反双曲函数 12

习题1-3（A） 14

习题1-3（B） 14

复习题一 15

典型例题解析 16

第二章　极限与连续 20

第一节　数列的极限 20

一、数列的概念 20

二、数列极限 21

三、数列极限的几何意义 22

习题2-1（A） 23

习题2-1（B） 24

第二节　函数的极限 24

一、自变量x趋于无穷大时，函数的极限 24

二、自变量趋于有限值的函数极限 25

三、单侧极限 26

四、函数极限的性质 27

五、函数极限的运算法则 27

习题2-2（A） 28

习题2-2（B） 29

第三节　两个重要极限 30

重要极限lim/x→∞（1+1/x）x=e 31

习题2-3（A） 33

习题2-3（B） 34

第四节　无穷大量与无穷小量 34

一、无穷小量 34

二、无穷小量的比较 35

三、无穷大量 36

习题2-4（A） 37

习题2-4（B） 38

第五节　函数的连续性和间断点 38

一、函数的连续性 38

二、函数的间断点 40

习题2-5（A） 42

习题2-5（B） 42

第六节　连续函数的运算与初等函数的连续性 43

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 43

二、反函数与复合函数运算的连续性 43

三、初等函数的连续性 45

习题2-6（A） 46

习题2-6（B） 46

第七节　闭区间上连续函数的性质 46

一、最大值与最小值 46

二、介值定理 47

习题2-7（A） 48

习题2-7（B） 48

复习题二 49

第三章　导数和微分 51

第一节　导数的概念 51

一、概念的引入 51

二、导数的定义 52

三、导数的几何意义 55

四、可导与连续的关系 56

习题3-1（A） 56

习题3-1（B） 57

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 58

习题3-2（A） 60

习题3-2（B） 61

第三节　复合函数与反函数的求导法则 61

一、复合函数的求导法则 61

二、反函数求导法则 63

习题3-3（A） 64

习题3-3（B） 64

第四节　隐函数与参数方程所确定的函数的求导法则及对数求导法 65

一、隐函数的求导法 65

二、取对数求导法 66

三、参数方程求导法 67

习题3-4（A） 68

习题3-4（B） 68

第五节　初等函数、双曲函数与反双曲函数的求导法则 69

一、基本求导法则 69

二、基本初等函数的导数公式 69

三、双曲函数与反双曲函数的导数 70

习题3-5（A） 70

习题3-5（B） 70

第六节　高阶导数 71

习题3-6（A） 73

习题3-6（B） 74

第七节　微分 75

一、微分的概念 75

二、微分的几何意义 76

三、微分的运算法则与公式 77

习题3-7（A） 78

习题3-7（B） 78

第八节　微分在近似计算中的应用 78

一、函数增量的近似值 78

二、函数的近似值 79

三、误差分析 80

习题3-8（A） 81

习题3-8（B） 82

复习题三 82

第四章 中值定理与导数的应用 84

第一节　微分中值定理洛必达法则 84

一、微分中值定理 84

二、洛必达法则 85

习题4-1（A） 89

习题4-1（B） 89

第二节　函数的单调性及其极值 90

一、函数单调性的充分条件 90

二、函数的极值及其求法 92

习题4-2（A） 94

第三节　函数的最大值和最小值 94

一、闭区间上连续函数的最大值与最小值 95

二、应用问题中的最大值与最小值 95

习题4-3（A） 97

第四节 曲线的凹凸性与拐点 97

凹凸及拐点的定义 97

习题4-4（A） 99

第五节　函数图形的描绘 100

一、渐近线的概念 100

二、几个常用的记号，列表如下 100

三、函数作图的主要步骤 100

习题4-5（A） 104

第六节　曲率 104

一、概念 104

二、曲率的计算公式 105

三、曲率半径、曲率中心、曲率圆的概念 107

习题4-6（A） 107

第五章　不定积分 108

第一节　不定积分的概念及性质 108

一、原函数与不定积分的概念 108

二、基本积分表 110

三、不定积分的性质 111

习题5-1（A） 112

习题5-1（B） 113

第二节　换元积分法 113

一、第一类换元法 114

二、第二类换元积分法 118

习题5-2（A） 122

习题5-2（B） 123

第三节　分部积分法 123

习题5-3（A） 126

习题5-3（B） 127

第四节　几种特殊类型函数的积分 127

一、有理函数的积分 127

二、三角函数有理式的积分 131

三、简单无理函数的积分举例 132

习题5-4（A） 133

习题5-4（B） 134

第五节　积分表的使用 134

复习题五 136

第六章　定积分及其应用 138

第一节　定积分的概念与性质 138

一、引例 138

二、定积分的定义 140

三、定积分的几何意义 141

四、定积分的性质 142

习题6-1（A） 144

习题6-1（B） 144

第二节　微积分学的基本定理 144

一、积分上限的函数 144

二、牛顿—莱布尼兹公式 146

习题6-2（A） 147

习题6-2（B） 148

第三节　定积分的换元积分法与分部积分法 148

一、定积分的换元积分法 149

二、定积分的分部积分法 150

习题6-3（A） 151

习题6-3（B） 152

第四节　广义积分 152

一、无穷区间上的广义积分 152

二、无界函数的广义积分（瑕积分） 153

习题6-4（A） 154

习题6-4（B） 155

第五节　定积分的应用 155

一、定积分的元素法 155

二、平面图形的面积 156

三、体积 158

四、平面曲线的弧长 159

五、定积分在物理上的应用 161

习题6-5（A） 161

习题6-5（B） 163

复习题六 163

第七章　微分方程 165

第一节　微分方程的基本概念 165

习题7-1（A） 166

习题7-1（B） 166

第二节　可分离变量的微分方程 166

习题7-2（A） 168

习题7-2（B） 168

第三节　齐次方程 168

习题7-3（A） 170

习题7-3（B） 171

第四节　一阶线性微分方程 171

习题7-4（A） 174

习题7-4（B） 175

第五节　可降阶的高阶微分方程 175

一、y(n)=f（x）（n阶微分方程） 175

二、y″=f（x,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“y” 176

三、y″=f（y,y′）（二阶微分方程）特点：方程中不显含“x” 176

四、其他微分方程 177

习题7-5（A） 178

习题7-5（B） 178

第六节　高阶线性微分方程 178

一、二阶线性齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=0（*）的解的结构 178

二、二阶线性非齐次微分方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（**）解的结构 179

习题7-6（A） 180

习题7-6（B） 180

第七节　二阶常系数线性微分方程 181

一、二阶常系数线性齐次微分方程的求解 181

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的求解 183

三、自由项f（x）=pm（x）eλx,pm（x）是一个m次的多项式 183

四、自由项f（x）=pm（x）eλxcosωx，或f（x）=pm（x）eλxsinωx 185

习题7-7（A） 186

习题7-7（B） 187

第八节　常微分方程的应用 187

习题7-8（A） 189

习题7-8（B） 189

复习题七 190

第八章　空间解析几何与向量代数 193

第一节　空间直角坐标系 193

一、空间直角坐标系 193

二、空间点的距离 194

习题8-1（A） 194

习题8-1（B） 195

第二节　向量（矢量） 195

一、向量的概念 195

二、向量的线性运算 195

三、向量的投影与投影向量 196

四、向量的坐标表示与分向量 197

五、向量的模、方向余弦的计算 198

习题8-2（A） 200

习题8-2（B） 200

第三节　向量的乘法 200

一、向量的数量积（点积、内积） 200

二、向量的向量积（叉乘积，外积） 202

习题8-3（A） 205

习题8-3（B） 206

第四节　空间的曲面以及方程 206

一、球面 206

二、旋转面 206

三、柱面（母线平行于坐标轴的柱面） 208

习题8-4（A） 209

习题8-4（B） 209

第五节　空间曲线的方程 209

一、空间曲线的一般方程 209

二、空间曲线的参数方程 211

三、空间曲线在坐标平面上的投影曲线 211

四、空间区域Ω或空间曲面∑在坐标平面上的投影区域D 212

习题8-5（A） 213

习题8-5（B） 214

第六节　平面及其方程 214

一、平面方程 214

习题8-6（A） 218

习题8-6（B） 218

第七节　空间直线的方程 219

一、直线的点向式方程（对称式） 219

二、直线的参数式方程 220

三、直线的一般方程（两平面的交线交面式） 220

四、两条直线的夹角θ（0≤θ≤π/2） 221

五、直线与平面的位置关系 222

六、平面束方程 222

习题8-7（A） 223

习题8-7（B） 224

第八节　二次曲面 225

一、椭球面：x2/a2+y2/b2+z2/c2=1 225

二、抛物面 225

三、双曲面 226

习题8-8（A） 226

复习题八 227

第九章　多元函数微分法及其应用 228

第一节　多元函数的基本概念 228

一、区域 228

二、多元函数概念 229

三、多元函数的极限 230

四、多元函数的连续性 232

习题9-1（A） 234

习题9-1（B） 234

第二节　偏导数 235

一、偏导数的定义及其计算法 235

二、高阶偏导数 238

习题9-2（A） 239

习题9-2（B） 240

第三节　全微分 240

全微分的定义 240

习题9-3（A） 243

习题9-3（B） 243

第四节　多元复合函数的求导法则 244

习题9-4（A） 248

习题9-4（B） 248

第五节　隐函数的求导公式 249

一、一个方程的情形 249

二、方程组的情形 251

习题9-5（A） 253

习题9-5（B） 253

第六节　微分法在几何上的应用 254

一、空间曲线的切线与法平面 254

二、曲线的切平面与法线 256

习题9-6（A） 259

习题9-6（B） 259

第七节　多元函数的极值及其求法 259

一、多元函数的极值及最大值、最小值 259

二、条件极值，拉格朗日乘数法 262

习题9-7（A） 264

习题9-7（B） 264

复习题九 265

第十章　重积分 267

第一节　二重积分的概念与性质 267

一、二重积分的概念 267

二、二重积分的性质 269

习题10-1（A） 271

习题10-1（B） 271

第二节　二重积分的计算法 272

一、利用直角坐标计算二重积分 272

二、利用极坐标计算二重积分 276

习题10-2（A） 278

习题10-2（B） 280

第三节　二重积分的应用 281

一、曲面的面积 281

二、平面薄片的质心 282

三、平面薄片的转动惯量 284

四、平面薄片对质点的引力 284

习题10-3（A） 285

习题10-3（B） 285

第四节　三重积分的概念及其计算法 286

一、三重积分的定义 286

二、三重积分的存在定理 286

三、三重积分的物理意义 286

四、三重积分在直角坐标系下的计算法 287

五、三重积分在柱面坐标系下的计算法 289

六、三重积分在球面坐标系下的计算法 291

习题10-4（A） 293

习题10-4（B） 294

复习题十 294

第十一章 曲线积分与曲面积分 296

第一节　对弧长的曲线积分 296

一、对弧长曲线积分的概念与性质 296

二、对弧长曲线积分的计算 297

习题11-1（A） 300

习题11-1（B） 300

第二节　对坐标的曲线积分 301

一、对坐标的曲线积分定义和性质 301

二、计算 302

三、两类曲线积分的关系 303

习题11-2（A） 304

习题11-2（B） 304

第三节　格林公式 305

一、格林（Green）公式 305

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 306

习题11-3（A） 310

习题11-3（B） 311

第四节　对面积的曲线积分 312

一、概念和性质 312

二、计算 313

习题11-4（A） 314

习题11-4（B） 315

第五节　对坐标的曲面积分 315

一、定义、性质 315

二、计算 317

三、两类曲面积分间的关系 318

习题11-5（A） 320

习题11-5（B） 320

第六节　高斯公式通量与散度 321

一、高斯（Gauss）公式 321

二、通量与散度 323

习题11-6（A） 323

习题11-6（B） 324

第七节　斯托克斯公式环流量与旋度 324

一、斯托克斯公式 324

二、环流量、旋度 325

习题11-7（A） 326

习题11-7（B） 326

复习题十一 326

第十二章　无穷级数 328

第一节　常数项级数的概念与性质 328

一、常数项级数的概念 328

二、常数项级数的性质 329

习题12-1（A） 331

习题12-1（B） 331

第二节　常数项级数的收敛法 331

一、正项级数的收敛法 331

二、交错级数的收敛法 333

三、绝对收敛与条件收敛 334

习题12-2（A） 335

习题12-2（B） 335

第三节　幂级数 335

幂级数及其收敛半径 335

习题12-3（A） 338

习题12-3（B） 339

第四节　函数的幂级数展开 339

一、泰勒公式与泰勒级数 339

二、函数展开成幂级数 340

习题12-4（A） 343

习题12-4（B） 343

第五节　傅里叶级数 343

一、三角函数系的正交性 344

二、周期为2π的周期函数的傅里叶级数 345

三、正弦函数与余弦函数 349

四、以2l为周期的函数展成傅里叶级数 351

本章小结 352

习题12-5（A） 353

习题12-5（B） 354

复习题十二 354

附录　积分表 356