上编 庞加莱与庞加莱猜想 3
引 言 庞加莱猜想获证 3
1令人头疼的世纪难题 3
2艰难的证明之路 4
3格里戈里·佩雷尔曼 11
4朱熹平 14
5曹怀东 14
6丘成桐 15
7菲尔兹奖 19
第一章 最后一位通才——庞加莱 22
第二章 庞加莱和数学 43
1庞加莱和数学 43
2数学的未来 48
3数学的创造 57
第三章 庞加莱的数学贡献 66
1函数论 67
2 Abelian函数和代数几何（学） 70
3数论 71
4代数学 72
5微分方程和天体力学 72
6天体力学 75
7偏微分方程和数学物理 76
8代数拓扑 78
9数学基础 79
第四章 庞加莱与米塔-列夫勒 81
1接触 82
2创建数学学报 83
3奥斯卡二世奖 87
4诺贝尔物理奖 90
第五章 法国在数学发展中所起的作用 93
1优秀的传统 93
2克莱洛的贡献 97
3拉格朗日与达朗贝尔 98
4法国在数学中的优越性 100
5开创新方向 102
6光辉灿烂的纪念碑 106
7法国数学的光荣 109
第六章 九十九年后的庞加莱猜想 112
1最初的失误 113
2高维情形 114
3 Thurston几何化纲领 116
4微分几何方法和微分方程方法 117
第七章 庞加莱猜想可能已被证明 118
第八章 数学界对庞加莱猜想的疑似证明众说纷纭 121
中编 三维空间与拓扑学 127
第九章 空间为什么有三维？ 127
1“拓扑学”和连续统 127
2连续统和截量 129
3空间和感觉 132
4空间和运动 134
5空间和自然界 138
6“拓扑学”和直觉 140
第十章 三维流形 143
庞加莱猜测 144
第十一章 三维空间里的拓扑等价关系 146
1拓扑等价关系 146
2表面的分类 148
第十二章 什么是拓扑学 152
1克莱因的定义 152
2位置与拓扑 153
3曲面的同胚问题 154
4近百年来发展的两个方向、基本群 155
5贝蒂群 157
6康托尔的集合论 160
7一般拓扑学 161
8 Brouwer 163
9抽象代数学方法 163
10几个显著的成果 164
第十三章 低维拓扑学 168
1什么是低维拓扑学 168
2早期的低维拓扑学 168
3 20世纪60年代和70年代的组合3维拓扑学 170
4瑟斯顿对曲面的研究工作 171
5 3维流形上的几何结构 172
6极小曲面的应用 173
7单连通闭4维流形的分类 174
8 4维光滑流形拓扑 175
9纽结的Jones多项式和Witten的工作 176
第十四章 从网络理论到拓扑学 178
第十五章 基本群和同调群的直观描述 190
1引言 190
2道路的同伦类 192
3基本群 195
4同调群的直观描述 197
5闭链、边缘链和同调群 201
第十六章 佩雷尔曼和俄罗斯拓扑学传统 207
下编 面向大众的拓扑学描述 251
第十七章 面向大众的拓扑学描述 251
1塞吉·兰关于拓扑学的演讲 251
2第二小时演讲 270
3第三小时演讲 278
第十八章 漫谈拓扑学 297
1拓扑学的对象 297
2最简单的拓扑不变量 302
3曲面的拓扑学 306
4抽象几何学 321
5关于曲线概念 330
6维数 338
7基本群 346
8同调群 364
9同调理论的某些应用 375
第十九章 曲线是什么 385
1曲线概念的发展 385
2点集论中的一些知识 396
3康托尔曲线 426
4曲线的一般定义 433
5关于维度的概念 463
第二十章 直觉的讨论 470
1拓扑学的主要问题 470
2闭曲面 474
3同痕，同伦，同调 482
4多维流形 484
第二十一章 希尔伯特谈拓扑 489
1多面体 490
2曲面 494
3单侧曲面 499
4作为闭曲面的投影平面 507
5有限连通度曲面的标准形式 512
6将曲面映成自身的拓扑映射，不动点，映射类，环面的汛覆盖曲面 514
7环面的保角映射 517
第二十二章 神奇的二维国 520
1关于这个国家 520
2一维国和三维国 544
第二十三章 生活空间的维度 574
1维度数学 574
2心理环境的维度 575
3个体维度的问题 579
4生活空间在现实性-非现实性维度上的分化 580
附录 582
附录Ⅰ 几何分析 582
附录Ⅱ The Excerpts from the Ceometric Topology of 3-Manifolds 650
附录Ⅲ How Famous Can a Function Theorist Be 737
附录Ⅳ Manifolds with Density and Perelman’ s Proof of the Poincare Conjectu 770
附录Ⅴ 下个世纪的数学问题 782
附录Ⅵ Poincare猜想和三维流形分类的近期进展 794
附录Ⅶ 丘成桐先生在晨兴数学中心的演讲 814