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上编 庞加莱与庞加莱猜想 3

引 言 庞加莱猜想获证 3

1令人头疼的世纪难题 3

2艰难的证明之路 4

3格里戈里·佩雷尔曼 11

4朱熹平 14

5曹怀东 14

6丘成桐 15

7菲尔兹奖 19

第一章 最后一位通才——庞加莱 22

第二章 庞加莱和数学 43

1庞加莱和数学 43

2数学的未来 48

3数学的创造 57

第三章 庞加莱的数学贡献 66

1函数论 67

2 Abelian函数和代数几何（学） 70

3数论 71

4代数学 72

5微分方程和天体力学 72

6天体力学 75

7偏微分方程和数学物理 76

8代数拓扑 78

9数学基础 79

第四章 庞加莱与米塔-列夫勒 81

1接触 82

2创建数学学报 83

3奥斯卡二世奖 87

4诺贝尔物理奖 90

第五章 法国在数学发展中所起的作用 93

1优秀的传统 93

2克莱洛的贡献 97

3拉格朗日与达朗贝尔 98

4法国在数学中的优越性 100

5开创新方向 102

6光辉灿烂的纪念碑 106

7法国数学的光荣 109

第六章 九十九年后的庞加莱猜想 112

1最初的失误 113

2高维情形 114

3 Thurston几何化纲领 116

4微分几何方法和微分方程方法 117

第七章 庞加莱猜想可能已被证明 118

第八章 数学界对庞加莱猜想的疑似证明众说纷纭 121

中编 三维空间与拓扑学 127

第九章 空间为什么有三维？ 127

1“拓扑学”和连续统 127

2连续统和截量 129

3空间和感觉 132

4空间和运动 134

5空间和自然界 138

6“拓扑学”和直觉 140

第十章 三维流形 143

庞加莱猜测 144

第十一章 三维空间里的拓扑等价关系 146

1拓扑等价关系 146

2表面的分类 148

第十二章 什么是拓扑学 152

1克莱因的定义 152

2位置与拓扑 153

3曲面的同胚问题 154

4近百年来发展的两个方向、基本群 155

5贝蒂群 157

6康托尔的集合论 160

7一般拓扑学 161

8 Brouwer 163

9抽象代数学方法 163

10几个显著的成果 164

第十三章 低维拓扑学 168

1什么是低维拓扑学 168

2早期的低维拓扑学 168

3 20世纪60年代和70年代的组合3维拓扑学 170

4瑟斯顿对曲面的研究工作 171

5 3维流形上的几何结构 172

6极小曲面的应用 173

7单连通闭4维流形的分类 174

8 4维光滑流形拓扑 175

9纽结的Jones多项式和Witten的工作 176

第十四章 从网络理论到拓扑学 178

第十五章 基本群和同调群的直观描述 190

1引言 190

2道路的同伦类 192

3基本群 195

4同调群的直观描述 197

5闭链、边缘链和同调群 201

第十六章 佩雷尔曼和俄罗斯拓扑学传统 207

下编 面向大众的拓扑学描述 251

第十七章 面向大众的拓扑学描述 251

1塞吉·兰关于拓扑学的演讲 251

2第二小时演讲 270

3第三小时演讲 278

第十八章 漫谈拓扑学 297

1拓扑学的对象 297

2最简单的拓扑不变量 302

3曲面的拓扑学 306

4抽象几何学 321

5关于曲线概念 330

6维数 338

7基本群 346

8同调群 364

9同调理论的某些应用 375

第十九章 曲线是什么 385

1曲线概念的发展 385

2点集论中的一些知识 396

3康托尔曲线 426

4曲线的一般定义 433

5关于维度的概念 463

第二十章 直觉的讨论 470

1拓扑学的主要问题 470

2闭曲面 474

3同痕，同伦，同调 482

4多维流形 484

第二十一章 希尔伯特谈拓扑 489

1多面体 490

2曲面 494

3单侧曲面 499

4作为闭曲面的投影平面 507

5有限连通度曲面的标准形式 512

6将曲面映成自身的拓扑映射，不动点，映射类，环面的汛覆盖曲面 514

7环面的保角映射 517

第二十二章 神奇的二维国 520

1关于这个国家 520

2一维国和三维国 544

第二十三章 生活空间的维度 574

1维度数学 574

2心理环境的维度 575

3个体维度的问题 579

4生活空间在现实性-非现实性维度上的分化 580

附录 582

附录Ⅰ 几何分析 582

附录Ⅱ The Excerpts from the Ceometric Topology of 3-Manifolds 650

附录Ⅲ How Famous Can a Function Theorist Be 737

附录Ⅳ Manifolds with Density and Perelman’ s Proof of the Poincare Conjectu 770

附录Ⅴ 下个世纪的数学问题 782

附录Ⅵ Poincare猜想和三维流形分类的近期进展 794

附录Ⅶ 丘成桐先生在晨兴数学中心的演讲 814