第一部分 复变函数 1
1 复数和复变函数 1
1.1 预备知识：复数与复数运算 1
1.2 复数序列 3
1.3 复变函数 4
1.4 复变函数的极限和连续 5
1.5 无穷远点 6
1.6 正十七边形问题 6
习题 7
2 解析函数 8
2.1 可导与可微 8
2.2 解析函数 9
2.3 初等函数 11
2.4 多值函数 13
2.5 解析函数的保角性 18
习题 20
3 复变积分 22
3.1 复变积分 22
3.2 单连通区域的柯西定理 23
3.3 复连通区域的柯西定理 26
3.4 两个有用的引理 27
3.5 柯西积分公式 28
3.6 解析函数的高阶导数 30
3.7 柯西型积分及含参量积分的解析性 31
3.8 泊松公式 32
习题 34
4 无穷级数 36
4.1 复数级数 36
4.2 二重级数 38
4.3 函数级数 39
4.4 幂级数 41
4.5 含参量的反常积分的解析性 43
4.6 发散级数与渐近级数 45
习题 48
5 解析函数的局域性展开 50
5.1 解析函数的泰勒展开 50
5.2 泰勒级数求法举例 51
5.3 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 54
5.4 解析函数的洛朗展开 55
5.5 洛朗级数求法举例 57
5.6 单值函数的孤立奇点 60
5.7 解析延拓 62
5.8 伯努利数和欧拉数 64
习题 66
6 二阶线性常微分方程的幂级数解法 68
6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 68
6.2 方程常点邻域内的解 69
6.3 方程正则奇点邻域内的解 73
6.4 贝塞耳方程的解 76
6.5 方程非正则奇点附近的解 80
习题 83
7 留数定理及其应用 84
7.1 留数定理 84
7.2 有理三角函数的积分 87
7.3 无穷积分 88
7.4 含三角函数的无穷积分 90
7.5 实轴上有奇点的情形 91
7.6 多值函数的积分 93
7.7 应用留数定理计算无穷级数的和 96
7.8 留数定理的其他应用 97
习题 98
8 Γ函数 101
8.1 Γ函数的定义 101
8.2 Γ函数的基本性质 102
8.3 ψ函数 104
8.4 B函数 106
8.5 Γ函数的普遍表达式 108
8.6 Γ函数的渐近展开 110
8.7 几个特殊函数公式的订正 111
8.8 黎曼ζ函数和默比乌斯变换 113
习题 115
9 拉普拉斯变换 117
9.1 拉普拉斯变换 117
9.2 拉普拉斯变换的基本性质 118
9.3 拉普拉斯变换的反演 121
9.4 普遍反演公式 124
9.5 利用拉普拉斯变换计算级数和 126
习题 127
10 δ函数 129
10.1 δ函数 129
10.2 利用δ函数计算定积分 133
10.3 常微分方程初值问题的格林函数 134
10.4 常微分方程边值问题的格林函数 138
10.5 求解常微分方程的格林函数方法 140
习题 144
11 Mathematica中的复变函数 146
11.1 Mathematica中的数及其运算 146
11.2 变量和函数 147
11.3 极限和微积分计算 149
11.4 幂级数张开与求和 151
11.5 求解微分方程 153
11.6 拉普拉斯变换和傅里叶变换 154
11.7 δ函数 154
11.8 Mathematica作图 155
第二部分 数学物理方程 159
12 数学物理方程和定解条件 159
12.1 弦的横振动方程 159
12.2 杆的纵振动方程 161
12.3 热传导方程 162
12.4 稳定问题 164
12.5 边界条件与初始条件 165
12.6 内部界面上的连接条件 167
12.7 定解问题的适定性 168
习题 170
13 线性偏微分方程的通解 171
13.1 线性偏微分方程解的叠加性 171
13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 172
13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解 174
13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程 177
13.5 波动方程的行波解 177
13.6 波的耗散和色散 179
13.7 热传导方程的定性讨论 181
13.8 拉普拉斯方程的定性讨论 183
习题 184
14 分离变量法 185
14.1 两端固定弦的自由振动 185
14.2 分离变量法的物理诠释 190
14.3 矩形区域内的稳定问题 192
14.4 多于两个自变量的定解问题 194
14.5 两端固定弦的受迫振动 196
14.6 非齐次边界条件的齐次化 202
习题 207
15 正交曲面坐标系 209
15.1 正交曲面坐标系 209
15.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符 210
15.3 拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性 213
15.4 圆形区域 214
15.5 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 219
15.6 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 220
15.7 矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程 221
习题 224
16 球函数 225
16.1 勒让德方程的解 225
16.2 勒让德多项式 227
16.3 勒让德多项式的微分表示 229
16.4 勒让德多项式的正交完备性 231
16.5 勒让德多项式的生成函数 233
16.6 勒让德多项式的递推关系 234
16.7 勒让德多项式应用举例 235
16.8 连带勒让德函数 239
16.9 球面调和函数 242
16.10 连带勒让德函数的加法公式 244
16.11 超几何函数 248
习题 250
17 柱函数 252
17.1 贝塞耳函数和诺伊曼函数 252
17.2 贝塞耳函数的递推关系 255
17.3 贝塞耳函数的渐近展开 256
17.4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示 257
17.5 贝塞耳方程的本征值问题 259
17.6 汉克尔函数 264
17.7 虚宗量贝塞耳函数 264
17.8 半奇数阶贝塞耳函数 267
17.9 球贝塞耳函数 268
17.10 合流超几何函数 270
附录 涉及贝塞耳函数的常微分方程 272
习题 274
18 分离变量法总结 276
18.1 内积空间 276
18.2 函数空间 278
18.3 自伴算符的本征值问题 281
18.4 斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题 284
18.5 斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象 287
18.6 从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法 288
习题 291
19 积分变换的应用 293
19.1 拉普拉斯变换 293
19.2 傅里叶变换 296
19.3 半无界空间的情形 299
19.4 关于积分变换的一般讨论 300
19.5 小波变换简介 302
习题 306
20 格林函数方法 307
20.1 格林函数的概念 307
20.2 稳定问题格林函数的一般性质 309
20.3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数 311
20.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 315
20.5 波动方程的格林函数 320
20.6 热传导方程的格林函数 324
习题 326
21 变分法初步 327
21.1 泛函的概念 327
21.2 泛函的极值 328
21.3 泛函的条件极值 332
21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 334
21.5 变边值问题 336
21.6 瑞利-里兹方法 338
习题 341
22 数学物理方程综述 342
22.1 二阶线性偏微分方程的分类 342
22.2 线性偏微分方程解法述评 345
22.3 非线性偏微分方程问题 347
22.4 结束语 351
习题 351
参考书目 353
外国人名译名中英对照表 354
习题答案 355