第一章 经典解法 1
1 二阶线性偏微分方程及其定解问题 1
1.1 典型的二阶线性偏微分方程 1
1.2 定解问题 3
1.3 解的空间与定解问题的适定性 5
2 分离变量法 6
2.1 第一初边值问题 6
2.2 第二初边值问题 17
2.3 第三初边值问题 21
2.4 Poisson方程的边值问题 26
3 行波法 30
3.1 齐次波动方程Cauchy问题 30
3.2 非齐次波动方程Cauchy问题 34
4 其他解法 39
4.1 幂级数解法 39
4.2 相似解解法 43
习题 46
第二章 Fourier变换方法与广义函数初步 51
1 基本空间 51
1.1 连续函数空间 51
1.2 E（R），D（R）和y（R）空间 56
2 速降函数空间上的Fourier变换方法 58
2.1 y（R）上Fourier变换的定义与性质 58
2.2 在速降函数空间中求解热传导方程 64
2.3 在缓增函数空间中求解热传导方程 65
3 Lp空间与磨光算子 68
3.1 Lp空间 68
3.2 磨光算子及其基本性质 70
3.3 Lp函数的光滑逼近 73
3.4 变分学基本引理 75
4 广义函数 77
4.1 广义函数的定义 77
4.2 广义函数的判定 78
4.3 广义函数的运算 80
4.4 广义函数的极限 81
4.5 广义函数的磨光 81
4.6 局部可积函数的广义导数及其基本性质 83
4.7 广义函数的广义导数 88
5 广义函数空间上的Fourier变换方法 91
5.1 y′（R）上Fourier变换的定义与性质 91
5.2 y′（R）上的Fourier变换方法 95
6 y（RN）与y′（RN）上的Fourier变换 104
6.1 y（RN）上Fourier变换的定义与性质 104
6.2 y′（RN）上Fourier变换的定义与性质 106
6.3 求解高维偏微分方程定解问题的Fourier变换方法 107
习题 110
第三章 L2理论 112
1 H？lder空间和H1空间 112
1.1 H？lder空间 112
1.2 H1空间 115
1.3 一维H1空间的性质 117
2 Poisson方程的L2理论 121
2.1 弱解的定义 121
2.2 与弱解相应的泛函的极值元 123
2.3 泛函极值元的存在性 124
2.4 弱解的存在唯一性 126
2.5 弱解的正则性 127
3 Laplace方程的基本解和Green函数及其应用 133
3.1 Laplace方程的基本解 134
3.2 Green函数及其基本性质 137
3.3 Green函数的存在性 139
3.4 Green函数法 140
4 热传导方程的L2理论和基本解理论 144
4.1 热传导方程的L2理论 144
4.2 热传导方程的基本解 153
习题 160
第四章 古典解的性质 162
1 Poisson方程 162
1.1 弱极值原理 162
1.2 强极值原理 167
1.3 能量估计 170
2 热传导方程 172
2.1 极值原理 172
2.2 能量估计 178
3 弦振动方程 179
3.1 有界区间上的初边值问题 180
3.2 实数轴上的初值问题 183
3.3 半实数轴上的初边值问题 186
习题 187
参考文献 192