第九章 常微分方程初值问题的数值解法 1
1 引言 1
1.1 基本知识复习 1
1.2 其它常微分方程 2
2 Euler方法 3
2.1 Euler方法的导出 3
2.2 误差分析 6
2.3 改进的Euler方法 7
3 高阶单步方法 10
3.1 Taylor方法 10
3.2 怎样构造容易计算的高阶单步方法 10
3.3 显式Runge-Kutta方法 12
3.4 隐式与半隐式Runge-Kutta方法 14
3.5 外推方法 14
4 单步方法的收敛性与稳定性 16
4.1 稳定性 18
4.2 绝对稳定性 19
5 线性多步方法 22
5.1 数值积分方法：显式方法 22
5.2 数值积分方法：隐式方法 24
5.3 待定系数方法 25
5.4 线性多步方法的应用 27
5.5 多步方法的收敛性与稳定性 31
6 一阶微分方程组初值问题的数值解法 32
6.1 几个常用的算法 33
6.2 刚性方程组 35
7 把常微分方程的边值问题化为初值问题的数值解法 37
习题 38
第十章 有限差分方法 43
1 抛物型方程的有限差分法 43
1.1 定解条件及其分类 43
1.2 建立差分方程的基本方法 44
1.3 几种常见的差分方程 48
1.4 多维抛物型方程的数值解法 50
1.5 几个例子 53
1.6 边界条件的处理 54
2 稳定性和收敛性 55
2.1 判断稳定性的代数方法 57
2.2 Fourier方法 60
3 双曲型方程的有限差分方法 64
3.1 一阶线性双曲型方程的有限差分方法 69
3.2 二阶线性双曲型方程的有限差分方法 73
3.3 守恒型方程的有限差分方法 76
4 椭圆型方程的有限差分方法 79
4.1 差分方程的建立 80
4.2 定解条件的处理 83
4.3 极值定理 85
4.4 五点差分格式解的存在性和收敛性 88
5 常微分方程边值问题的有限差分方法 90
习题 94
第十一章 有限元方法 101
1 变分原理 101
1.1 极小位能原理 102
1.2 本质边界条件 105
1.3 虚功原理 107
1.4 椭圆型方程的变分原理 108
2 Ritz-галеркин方法 110
2.1 Ritz方法 111
2.2 Галеркин方法 111
2.3 投影定理 112
3 常微分方程的有限元方法 115
3.1 用Ritz方法建立有限元方程组 116
3.2 从Галеркин方法出发 120
3.3 线性元的误差估计 121
4 椭圆型方程的有限元方法 122
4.1 二维矩形元的分片插值多项式的构造 122
4.2 三角形元 125
4.3 有限元方程组的形成 128
5 抛物型方程的有限元方法 134
习题 136
第十二章 例题选讲 139
第十三章 程序设计方法 195
1 引言 195
2 几个常用的标准子程序 195
2.1 子程序的概念 195
2.2 常见的子程序 196
3 模块化技术 202
4 流程图的基本概念及应用 204
4.1 流程图的基本概念 204
4.2 流程图在程序设计中的应用 205
5 编写程序的一般步骤 208
6 如何写出好的程序 211
6.1 结构简单的程序的特点 211
6.2 优化程序 211
6.3 其它注意事项 213
7 如何把BASIC源程序转化成FORTRAN源程序 213
第十四章 数值方法的程序设计示范 216
1 引言 216
2 线性方程组数值方法的程序设计示范 216
2.1 Gauss列主元消去法 216
2.2 Jacobi迭代法 220
2.3 追赶法 223
3 非线性方程组数值方法的程序设计示范 223
3.1 一般迭代法 224
3.2 Newton迭代法 226
4 常微分方程初值问题数值方法的程序设计示范 229
5 抛物型偏微分方程的数值方法的程序设计示范 235
第十五章 习题解答 244
1 第二章非线性方程求根 244
2 第三章解线性方程组的直接方法 247
3 第四章解线性方程组的迭代法 263
4 第五章矩阵特征值问题的数值解法 268
5 第六章函数的插值方法 277
6 第七章曲线拟合与函数逼近 289
7 第八章数值微分与积分 292
8 第九章常微分方程初值问题的数值解法 296
9 第十章有限差分方法 305
10 第十一章有限元方法 322
参考资料 326