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第九章 常微分方程初值问题的数值解法 1

1 引言 1

1.1 基本知识复习 1

1.2 其它常微分方程 2

2 Euler方法 3

2.1 Euler方法的导出 3

2.2 误差分析 6

2.3 改进的Euler方法 7

3 高阶单步方法 10

3.1 Taylor方法 10

3.2 怎样构造容易计算的高阶单步方法 10

3.3 显式Runge-Kutta方法 12

3.4 隐式与半隐式Runge-Kutta方法 14

3.5 外推方法 14

4 单步方法的收敛性与稳定性 16

4.1 稳定性 18

4.2 绝对稳定性 19

5 线性多步方法 22

5.1 数值积分方法：显式方法 22

5.2 数值积分方法：隐式方法 24

5.3 待定系数方法 25

5.4 线性多步方法的应用 27

5.5 多步方法的收敛性与稳定性 31

6 一阶微分方程组初值问题的数值解法 32

6.1 几个常用的算法 33

6.2 刚性方程组 35

7 把常微分方程的边值问题化为初值问题的数值解法 37

习题 38

第十章 有限差分方法 43

1 抛物型方程的有限差分法 43

1.1 定解条件及其分类 43

1.2 建立差分方程的基本方法 44

1.3 几种常见的差分方程 48

1.4 多维抛物型方程的数值解法 50

1.5 几个例子 53

1.6 边界条件的处理 54

2 稳定性和收敛性 55

2.1 判断稳定性的代数方法 57

2.2 Fourier方法 60

3 双曲型方程的有限差分方法 64

3.1 一阶线性双曲型方程的有限差分方法 69

3.2 二阶线性双曲型方程的有限差分方法 73

3.3 守恒型方程的有限差分方法 76

4 椭圆型方程的有限差分方法 79

4.1 差分方程的建立 80

4.2 定解条件的处理 83

4.3 极值定理 85

4.4 五点差分格式解的存在性和收敛性 88

5 常微分方程边值问题的有限差分方法 90

习题 94

第十一章 有限元方法 101

1 变分原理 101

1.1 极小位能原理 102

1.2 本质边界条件 105

1.3 虚功原理 107

1.4 椭圆型方程的变分原理 108

2 Ritz-галеркин方法 110

2.1 Ritz方法 111

2.2 Галеркин方法 111

2.3 投影定理 112

3 常微分方程的有限元方法 115

3.1 用Ritz方法建立有限元方程组 116

3.2 从Галеркин方法出发 120

3.3 线性元的误差估计 121

4 椭圆型方程的有限元方法 122

4.1 二维矩形元的分片插值多项式的构造 122

4.2 三角形元 125

4.3 有限元方程组的形成 128

5 抛物型方程的有限元方法 134

习题 136

第十二章 例题选讲 139

第十三章 程序设计方法 195

1 引言 195

2 几个常用的标准子程序 195

2.1 子程序的概念 195

2.2 常见的子程序 196

3 模块化技术 202

4 流程图的基本概念及应用 204

4.1 流程图的基本概念 204

4.2 流程图在程序设计中的应用 205

5 编写程序的一般步骤 208

6 如何写出好的程序 211

6.1 结构简单的程序的特点 211

6.2 优化程序 211

6.3 其它注意事项 213

7 如何把BASIC源程序转化成FORTRAN源程序 213

第十四章 数值方法的程序设计示范 216

1 引言 216

2 线性方程组数值方法的程序设计示范 216

2.1 Gauss列主元消去法 216

2.2 Jacobi迭代法 220

2.3 追赶法 223

3 非线性方程组数值方法的程序设计示范 223

3.1 一般迭代法 224

3.2 Newton迭代法 226

4 常微分方程初值问题数值方法的程序设计示范 229

5 抛物型偏微分方程的数值方法的程序设计示范 235

第十五章 习题解答 244

1 第二章非线性方程求根 244

2 第三章解线性方程组的直接方法 247

3 第四章解线性方程组的迭代法 263

4 第五章矩阵特征值问题的数值解法 268

5 第六章函数的插值方法 277

6 第七章曲线拟合与函数逼近 289

7 第八章数值微分与积分 292

8 第九章常微分方程初值问题的数值解法 296

9 第十章有限差分方法 305

10 第十一章有限元方法 322

参考资料 326