第一部分 数与运算 1
一、整数 1
（一）基础知识 1
1．整数 1
（1）数与数字 1
数 1
数的分类 2
正整数 2
负整数 2
有理数 2
数字 2
中国数字 2
阿拉伯数字 2
罗马数字 3
罗马数字的记数原则 3
数与数字的区别 3
（2）计数与计数单位 4
计数 4
计数原则 4
计数单位 4
十进制计数法 5
二进制计数法 5
数字转换的一般方法 5
（3）数位与位数 6
数位 6
高位 7
低位 7
整数数位顺序表 7
数级 7
位数 8
多位数 8
（4）整数的读法与写法 8
整数的读法 8
整数的写法 9
整数的改写 10
准确数 10
近似数 11
四舍五入法 11
进一法 11
去尾法 12
2．自然数 13
自然数 13
自然数的起源 14
自然数的单位 14
自然数的性质 14
基数 15
序数 15
自然数的分类 15
自然数列 15
自然数列的性质 16
扩大的自然数列 16
3．零和1 16
零 16
零的意义 16
零的性质 16
零的知识 17
零因数 17
自然数1 17
单位1 17
4．各种符号与整数比的大小 18
等号 18
不等号 18
约等号 18
大于号 18
大于 18
大于号的性质 18
不大于号 18
小于号 18
小于 19
不小于号 19
恒等号 19
整数比大小的原则 19
（二）整数的四则运算 19
1．运算基础知识 19
运算 19
计算 20
式子 20
算式 20
横式 20
算法 20
演算 20
算草 20
竖式 20
等式 20
脱式 20
逆运算 21
笔算 21
速算 21
估算 21
口算 22
视算 22
听算 22
珠算 22
简算 22
验算 22
复算 23
运算符号 23
运算顺序符号 23
小括号 23
中括号 23
大括号 23
2．整数加法 24
（1）基本定义定理 24
加法 24
加法的补充定义 24
加法的运算符号 24
加数 24
和 24
（2）整数加法的计算法则 25
计算法则 25
加法的计算法则 25
进位加法 25
加减法计算法则的依据 25
（3）整数加法的运算定律 26
运算定律 26
加法的运算定律 26
加法交换律 26
加法结合律 26
加法的运算性质 26
和的变化规律 27
加法的验算 27
加法的估算 28
10以内的加法 28
10以内加法表 28
20以内进位加法表 29
凑十加 29
连加法 30
连加法笔算 30
不进位加法 31
不连续进位加法 31
连续进位加法 31
3．整数减法 32
减法 32
被减数和减数 32
差 32
差的性质 33
差的变化规律 33
退位 34
不退位减法 34
退位减法 34
不连续退位减法 34
连减法 34
减法的计算法则 35
减法计算法则的依据 35
减法的运算性质 35
减法的验算 37
减法的估算 37
加、减法各部分之间的关系 38
减法的特殊情况 38
10以内的减法 39
10以内减法表 39
20以内退位减法表 39
用10减 40
用加算减 40
4．整数乘法 41
（1）基本概念 41
乘法 41
因数 41
积 41
乘法的读法 42
乘法的补充定义 42
乘法和加法的关系 42
连乘 43
部分积 43
积的位数 43
积的变化规律 44
乘方 44
平方 45
立方 45
倍 45
倍数 45
几倍数 45
乘法表 46
乘法口诀 46
小九九 46
大九九 46
2～6的乘法口诀 46
7的乘法口诀 47
8的乘法口诀 48
表内乘法 48
（2）乘法的运算法则与运算性质 48
乘法的运算法则 48
乘法的运算定律 49
乘法交换律 49
乘法结合律 49
乘法分配律 50
乘法的运算性质 50
乘法的验算 50
乘法的估算 51
一位数乘两位数口算 51
一位数乘多位数法则 51
0和一位数相乘 51
中间有0的乘法 52
末尾有0的乘法 52
一位数的乘法 52
多位数的乘法 53
5．整数除法 53
（1）基本概念 53
除法 53
被除数 53
除数 54
商 54
除以 54
除 54
除法和乘法的关系 54
除法和减法的关系 54
短除法 55
连除 55
等分除 55
包含除 56
表内除法 56
有余数的除法 56
准确商 57
不完全商 57
商的性质 57
商不变 58
试商 58
试商的方法 58
商的位数 59
商的变化规律 59
（2）除法的计算法则与运算性质 60
除法的计算法则 60
除数是一位数的除法 61
除数是两位数的除法 61
除数是两位数的除法法则 61
商中间或末尾有0的除法 62
除法的运算性质 63
有余数除法的性质 64
除法的特殊情况 64
除法的验算 65
有余数除法的验算 66
除法的估算 66
乘除法的运算性质 67
（三）整数的四则混合运算及简算 68
四则混合运算 68
三级运算 68
第一级运算 68
第二级运算 69
逆运算 69
四则混合运算顺序 69
同级运算的运算顺序 70
加减混合运算性质 71
乘除混合运算性质 71
四则运算的验算方法 72
有关0的四则计算 72
速算 72
加法的速算 73
减法的速算 73
乘法的速算 74
简便计算 75
简便计算的基本思路 75
除法的简算方法 76
（四）数的整除 76
1．基础知识 76
整除 76
除尽 77
整除与除尽的关系 77
除不尽 77
整除的性质 78
2．因数和倍数 78
因数和倍数 78
倍和倍数 79
一个数的倍数 79
公倍数 79
最小公倍数 80
求最小公倍数的方法 80
求最大公因数和最小公倍数的两种特殊情况 81
最小公倍数的性质 81
一个数的因数 81
公因数 82
最大公因数 82
求最大公因数的方法 82
辗转相除法 83
最大公因数的性质 83
3．质数和合数 84
质数和合数 84
质数的个数 84
互质数 84
互质 85
两两互质 85
质因数 85
分解质因数 85
奇数和偶数 86
奇数的性质 86
偶数的性质 87
4．数的整除特征 87
能被2或5整除的数的特征 87
能被4或25整除的数的特征 87
能被8或125整除的数的特征 88
能被3或9整除的数的特征 88
能被11整除的数的特征 88
能被7,11,13整除的数具有的共同特征 88
二、小数 89
（一）小数 89
1．小数的认识 89
小数 89
小数各部分名称 89
小数点 90
小数的数位 90
十分位 90
百分位 91
千分位 91
小数的计数单位 91
小数的位数 91
小数的读法 92
小数的写法 92
小数的基本性质 93
小数点位置的移动引起小数大小的变化 93
小数大小的比较 94
小数与单名数 94
小数与复名数 95
单名数和复名数的辨析 95
2．小数的分类 95
纯小数 95
带小数 95
有限小数 96
无限小数 96
循环小数 96
循环节 96
纯循环小数 96
混循环小数 96
循环小数的性质 96
无限不循环小数 97
截取循环小数的近似值 97
小数的近似数 97
精确度 97
有效数字 98
有限小数、无限小数、循环小数、纯循环小数、混循环小数、无限不循环小数之间的关系 98
3．小数与分数的互化 99
有限小数化分数 99
带小数化分数 99
分数化小数 99
分数能否化成有限小数的辨别方法 100
（二）小数四则运算 101
1．小数加法 101
小数加法 101
小数加法的法则 101
2．小数减法 102
小数减法 102
小数减法的法则 102
3．小数乘法 103
小数乘法意义 103
小数乘法的法则 103
小数乘整数 104
整数乘小数 105
小数乘小数 105
小数的连乘 106
整数乘法的运算定律适用于小数乘法 106
4．小数除法 107
小数除法 107
小数除法的法则 108
除数是整数的小数除法 109
除数是小数的除法 110
商的近似值 111
四舍五入法 112
进一法 112
去尾法 113
5．小数四则混合运算 114
小数四则混合运算顺序 114
三、分数与百分数 115
（一）分数 115
1．分数的认识 115
分数的概念 115
分数各部分名称 115
分数的补充定义 116
单位“1” 116
分数的产生 117
分母 117
分子 117
分数线 118
分数的计数单位 118
分数的读法 118
分数的写法 119
零分数 119
分数大小的比较 119
分数的基本性质 120
分数的分子变化引起分数大小的变化 121
分数的分母变化引起分数大小的变化 122
分数与除法的关系 122
约分 123
约分的方法 123
最简分数 124
通分 124
同分母分数 125
异分母分数 125
公分母 125
最小公分母 125
通分的方法 125
通分子 126
2．分数的种类 126
分数的分类 126
真分数 127
假分数 127
带分数 127
3．数的互化 127
假分数化成整数或带分数的方法 127
带分数化成假分数的方法 127
整数化成假分数的方法 128
分数化小数 128
小数化分数 128
判断一个最简分数能否化成有限小数的方法 129
分数和小数大小的比较 129
比较分数大小的特殊方法 130
（二）分数的四则运算 132
1．分数加法 132
分数加法 132
分数加法的法则 132
分数加法的运算定律 133
分数加法的速算 133
2．分数减法 135
分数减法 135
整数减带分数 136
带分数减整数 137
分数减法的速算 137
3．分数、小数加减混合运算 138
分数加减混合运算的顺序 138
分数、小数加减混合运算 139
4．分数乘法 139
分数乘法 139
分数乘法的意义 139
分数乘法的法则 140
分数乘法的运算定律 140
倒数 141
求倒数的方法 142
分数乘法的速算 143
5．分数除法 143
分数除法 143
分数除法的计算法则 143
分数除法的运算性质 144
6．分数四则混合运算 146
分数四则混合运算 146
分数、小数乘法混合运算 146
分数、小数除法混合运算 147
分数、小数四则混合运算的方法 147
（三）百分数 148
1．基础知识 148
百分数 148
百分号 148
百分数的计数单位 148
百分数和分数、小数的联系 148
百分数的读法 149
百分数的写法 149
百分率 149
百分比 149
千分数 149
2．百分数与分数、小数的互化 149
分数化百分数 149
小数化百分数 149
百分数化小数 150
百分数化分数 150
3．常用百分率 150
发芽率 150
出勤率 150
成活率 151
合格率 151
出生率 152
死亡率 152
及格率 152
增长率 153
提高率 153
入学率 153
巩固率 154
出油率 154
出米率 154
出粉率 154
出糖率 154
命中率 154
成数 155
定价 155
折扣 155
本金 155
利息 155
利率 155
利息的计算 155
税率 155
税款 156
利润 156
卖出价、成本与利润的百分数的关系 156
溶液浓度 156
第二部分一、量 157
量 157
不连续的量与连续的量 157
不连续量与连续量的辨析 158
二、计量 158
（一）计量与计量方法 158
计量 158
量数 158
量与计量 159
计量方法 159
度量衡 159
（二）计量单位 159
1．基础知识 159
计量单位 159
单位名称 159
基本单位 159
导出单位 159
主单位与辅助单位 159
国际单位制 159
公制 160
市制 160
英制 160
计量器具 160
2．单位间的进制与换算 161
（1）基础知识 161
高级单位 161
低级单位 161
十进 161
百进 161
千进 161
六十进 162
互化 162
名数 162
不名数 162
单名数 162
复名数 162
同名数 162
异名数 162
（2）单位换算 162
换算 162
进率 162
名数的改写 163
化法 163
聚法 164
化法和聚法的辨析 164
3．常用的计量单位与计量方法 164
（1）时间 164
时间 164
时刻 164
时间与时刻的区别 164
时间单位 165
时辰 165
北京时 165
地方时 165
世界时 165
夏令时 166
历法 166
阳历 166
阴历 166
阴阳历 166
公元 167
世纪 167
年代 167
正月 167
元月 167
年 167
闰年 167
判断平年、闰年的方法 168
闰月 168
闰日 168
平年 168
季度 168
月 169
旬 169
上旬 169
中旬 169
下旬 169
星期 169
二十四时计时法 169
日历 169
日 169
时 169
分 170
秒 170
（2）长度 170
长度 170
长度单位 170
千米 170
米 170
分米 170
厘米 170
毫米 171
微米 171
纳米 171
尺 171
里 171
丈 171
寸 171
码 172
海里 172
光年 172
长度测量方法 172
（3）面积和体积 173
面积 173
面积单位 173
平方千米 174
公顷 174
公亩 174
平方米 174
平方分米 174
平方厘米 174
平方丈 174
平方尺 174
平方寸 174
体积 175
体积单位 175
立方米 175
立方分米 175
立方厘米 175
立方丈 175
立方尺 175
立方寸 175
土石方 176
长度、面积、体积单位进率表 176
（4）容积 176
容积 176
容积单位 176
升 176
毫升 176
石 176
斗 177
加仑 177
（5）质量 177
质量 177
质量单位 177
千克 177
克 177
吨 177
毫克 177
担 177
斤 178
两 178
钱 178
磅 178
克拉 178
（6）货币 178
货币 178
人民币 178
元、角、分 178
美元 178
英镑 179
法郎 179
日元 179
马克 179
卢布 179
欧元 179
（7）角度 179
角度 179
角度单位 179
（8）密度 179
密度 179
第三部分 比与比例一、比 180
（一）比的认识 180
比 180
比号 181
比的前项、后项 181
比值 181
比和比值的联系与区别 182
比的各部分之间的关系 182
比的基本性质 183
比和除法、分数的联系与区别 183
分数、比、小数、商不变性质的区别 184
（二）各种数的比 184
1．整数比 184
整数比 184
最简的整数比 185
2．分数比与小数比 185
分数比 185
小数比 185
3．连比 186
连比 186
连比的性质 186
连比和比的关系 186
（三）比的化简 186
比的化简 186
求比值与化简比的区别 187
求比的未知项 187
二、比例 188
（一）基础知识 188
比例 188
比例的内项和外项 188
比例中项 188
比例的基本性质 188
比例定理 189
比和比例的辨析 190
（二）比例与解比例 190
1．解比例 190
解比例 190
按比例分配 191
2．正比例 193
两种相关联的量 193
正比例的意义 193
正比例关系 193
成正比例的量的判断方法 194
正比例的性质 194
正比例应用题 195
3．反比例 195
反比例的意义 195
反比例关系 196
成反比例的量的判断方法 196
反比例的性质 196
反比例应用题 197
正比例、反比例的比较 199
反比、反比例、反比例关系的辨析 199
不成比例的量 199
（三）比例尺 199
比例尺 199
分数比例尺 200
线段比例尺 200
缩小比例尺 200
放大比例尺 201
缩小比例尺和放大比例尺的辨析 201
比例尺的应用 201
第四部分 代数初步知识一、用字母表示数 203
代数 203
用字母表示数 203
用字母表示数的意义 204
书写含有字母的式子的规则 205
二、代数式 205
代数式 205
代数式的值 206
等式 206
等式的性质 206
代数式和等式的辨析 206
整式 206
有理式 206
分式 206
单项式 207
多项式 207
升幂排列 207
降幂排列 207
同类项 207
乘方和开方 207
科学记数法 208
解析式 208
恒等式 208
恒等变形 208
条件等式 208
移项 208
不等式 208
三、方程 208
（一）方程的基本知识 208
未知数 208
方程 209
方程的基本性质 209
方程的解 209
检验方程的解的方法 209
方程与等式的关系 210
（二）解方程 210
1．解方程 210
解方程 210
方程的解和解方程的区别 212
简易方程 212
简易方程的解法 213
2．列方程解应用题 213
列方程解应用题 213
方程的元和次 213
设未知数 214
设未知数的方法 214
列方程 215
列方程解应用题的一般步骤 215
建立等量关系的常用方法 216
列方程解应用题的分析方法 218
用列方程解应用题与用算术方法解应用题的区别 220
第五部分 空间与图形一、几何基础知识 221
（一）几何学 221
几何学 221
几何学的产生与发展 222
平面几何学 222
立体几何学 223
（二）几何图形 223
几何图形 223
五线 223
距离 223
两点间的距离 223
点到直线的距离 223
1．点 224
点 224
2．线 224
线 224
（1）直线 224
直线 224
直线的性质 224
直线表示法 224
曲线 225
（2）射线 225
射线 225
射线表示法 225
（3）线段 226
线段 226
线段表示法 226
线段的性质 226
线段的度量 226
两点间的距离 226
直线、射线、线段的辨析 227
（4）折线 227
折线 227
封闭折线 227
（5）直线的相交 228
相交直线 228
垂直 228
垂直的表示法 228
垂线 229
垂线性质 229
垂线的画法 229
斜线 230
斜足 231
（6）直线的平行 231
平行线 231
平行线的性质 231
平行线的画法 232
平行公理 233
平行线间的距离 233
公垂线 233
公垂线长 234
垂线与平行线关系图 234
3．面 234
面 234
4．体 235
体 235
二、平面图形 235
平面图形 235
（一）角 235
角 235
角的表示法 236
角的顶点 237
角的边 237
角的大小 237
角的度量 237
角度制 237
量角器 238
平角 239
周角 239
直角 239
锐角 240
钝角 240
余角 240
补角 240
邻角 240
邻补角 241
对顶角 242
角平分线 242
（二）三角形 242
1．三角形的认识 242
三角形 242
三角形的基本元素 243
三角形的元素 243
三角形边与边的关系 243
三角形的边角关系 244
三角形的底和高 244
三角形的内角和 245
三角形的中线 245
三角形的角平分线 246
三角形的中位线 247
三角形的垂心 247
三角形的重心 247
三角形的外心 247
三角形的内心 248
勾股定理 248
三角形的稳定性 250
2．三角形的种类 251
三角形的分类 251
锐角三角形 251
直角三角形 251
钝角三角形 252
斜三角形 252
不等边三角形 252
等腰三角形 252
等边三角形 253
等腰三角形和等边三角形的辨析 253
等腰直角三角形 254
3．三角形的周长和面积 254
周长 254
三角形的周长 254
面积 255
三角形的面积 255
（三）四边形 256
1．四边形的认识 256
四边形 256
对边 256
邻边 256
对角 256
邻角 256
对角线 256
2．平行四边形 256
平行四边形 256
平行四边形的表示法 257
平行四边形的对角线 257
平行四边形的底和高 257
平行四边形的性质 258
平行四边形的面积 258
3．长方形 258
长方形 258
矩形 259
长方形的性质 259
长方形的长和宽 259
长方形的周长 260
长方形的面积 260
4．菱形 260
菱形 260
菱形的性质 261
菱形的面积 261
5．正方形 261
正方形 261
正方形的性质 262
正方形的周长 262
正方形的面积 263
6．梯形 263
梯形 263
梯形的性质 263
梯形的底角 263
梯形的高 264
梯形的中位线 264
梯形中位线的性质 264
等腰梯形 265
等腰梯形的性质 266
直角梯形 266
梯形的面积 266
各种四边形的关系 267
（四）多边形 268
多边形 268
多边形的内角和 269
正多边形 270
多边形的周长 270
多边形的面积 270
（五）圆 270
1．圆的认识 270
圆 270
圆心 271
圆的表示法 272
半径 272
直径 272
弦 272
弧 273
半圆 273
等圆 273
同心圆 273
圆心角 274
圆周角 274
圆周率 275
2．圆的周长和面积 275
圆的周长 275
圆的面积 276
3．圆环 278
圆环 278
圆环的面积 278
4．扇形 278
扇形 278
扇形的面积 279
5．圆与点、线和平面图形的关系 280
（1）圆与点的位置关系 280
点和圆的位置关系 280
（2）圆与直线的位置关系 280
圆的切线和切点 280
（3）圆与圆的位置关系 281
两圆外离 281
两圆外切 281
切点 282
两圆相交 282
两圆内切 282
两圆内含 283
（六）其他图形 284
组合图形 284
组合图形的面积 285
轴对称图形 287
中心对称图形 288
割补法 289
分割法 290
平面 290
截面 290
三、立体图形 290
（一）基础知识 290
立体图形 290
立体图形的分类 291
平面立体图形 291
曲面立体图形 291
立体几何学 291
侧面积 291
底面积 291
表面积 292
体积 292
容积 292
（二）长方体和正方体 292
1．长方体 292
长方体 292
长方体的特征 293
长方体的棱长之和 293
长方体的表面积 293
长方体的体积 294
2．正方体 294
正方体 294
正方体的特征 295
正方体的棱长之和 295
正方体的表面积 295
正方体的体积 295
（三）圆柱、圆锥和圆台 296
1．圆柱 296
圆柱 296
圆柱的特征 296
圆柱的侧面积 297
圆柱的表面积 298
圆柱的体积 298
2．圆锥 299
圆锥 299
圆锥的高 300
圆锥的体积 300
（四）其他 301
方 301
土石方的计算 301
组合体的体积 301
四、观察物体 303
观察物体 303
方向和路线 303
平移和旋转 305
放大和缩小 306
七巧板 307
测量 307
目测 308
第六部分 统计图表与概率一、统计 309
（一）基础知识 309
统计学 309
统计学的研究过程 310
统计 310
总体 311
总体的特征 311
个体 311
样本 311
样本容量 311
统计量 311
参数 311
统计量与参数的区别与联系 312
（二）统计数据 312
全面调查 312
部分调查 312
数据 312
原始数据 312
数据类型 312
随机抽样 313
规律性抽样 313
分层抽样 313
阶段性随机抽样 314
数据分组 314
（三）统计表和统计图 315
1．统计表的种类与制作 315
图表 315
统计表 315
统计表的结构 315
统计表的制作步骤 315
统计表的类型 316
单式统计表 316
复式统计表 316
2．统计图的种类与制作 317
统计图 317
统计图的作用 317
统计图的种类 317
（1）条形统计图 317
条形统计图 317
条形统计图的特点 317
条形统计图的分类 317
条形统计图的制作步骤 317
单式条形统计图 318
复式条形统计图 318
（2）折线统计图 319
折线统计图 319
折线统计图的特点 319
折线统计图的分类 319
折线统计图的制作步骤 319
单式折线图 320
复式折线图 320
（3）扇形统计图 321
扇形统计图 321
扇形统计图的特点 321
扇形统计图的制作步骤 321
（4）其他统计图 322
其他统计图 322
3．常用的统计量 322
平均数 322
总体平均数 323
样本平均数 323
中位数 324
众数 324
平均数、中位数和众数辨析 324
二、概率 324
事件 324
必然事件 324
不可能事件 324
确定性事件 325
随机事件 325
概率 325
第七部分 解决问题一、应用题 326
1．基础知识 326
应用题 326
应用题的已知条件和问题 326
应用题的直接条件和间接条件 327
直接条件 327
间接条件 327
2．应用题的常用术语 328
同样多 328
多、少 328
增加、增加了、增加到 328
减少、减少了、减少到 328
增加几倍 329
扩大 329
缩小 329
3．应用题中常见的数量关系 330
部分数与总数的关系 330
大数、小数与相差数的关系 330
倍数关系 330
每份数、份数与总数的关系 330
单价、数量与总价的关系 331
单产量、总面积与总产量的关系 331
工效、工作时间与工作总量的关系 331
速度、时间与路程的关系 331
二、应用题的种类 331
（一）简单应用题 331
看图列算式 331
图画应用题 332
表格应用题 333
求和应用题 334
求剩余应用题 335
求较大数应用题 335
求较小数应用题 336
求差应用题 336
求总数应用题 337
求份数应用题 337
求每份数应用题 337
求几倍数应用题 338
求倍数应用题 338
求一倍数应用题 339
乘法应用题 339
除法应用题 339
乘法和加法应用题对比 340
除法和减法应用题对比 340
乘法和除法应用题对比 341
两步解答应用题 341
扩题 341
缩题 342
拆题 343
并题 343
（二）典型应用题 343
还原问题 343
盈亏问题 344
和差问题 345
和倍问题 345
差倍问题 347
归总问题 348
归一问题 348
平均数应用题 349
工程问题 350
相遇问题 350
追及问题 351
植树问题 351
线上植树问题 352
面上植树问题 353
流水行船问题 354
过桥问题 355
连续数问题 355
置换问题 356
时钟问题 357
（三）其他类型应用题 358
比例尺应用题 358
公倍数、公约数问题 360
求一个数是另一个数的百分之几 361
百分数乘、除法应用题 362
已知一个数，求它的百分之几的应用题 362
已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数的应用题 363
求边长、周长应用题 364
求面积、地积应用题 364
求体积、容积应用题 365
（四）应用题常用的解题思路及方法 366
1．简单应用题的解题思路 366
2．复合应用题的一般解题思路 366
综合法 366
分析法 367
综合法与分析法的关系 368
假设法 368
转化法 369
比较法 369
对应法 370
列举法 370
列表法 371
用算术方法解应用题 371
列方程解应用题 372
解答应用题的一般方法 372
附录 374