上篇 前置知识 1
第1章 初值问题和边值问题 1
1.1 初值问题 1
1.1.1 欧拉法 2
1.1.2 局部截断误差 3
1.1.3 改进的欧拉法 4
1.1.4 龙格-库塔法 6
1.1.5 ode系列函数的用法 9
1.1.6 高阶微分方程的降阶 15
1.2 边值问题 17
1.2.1 打靶法 18
1.2.2 bvp系列函数的用法 22
第2章 有限差分法和有限元法 25
2.1 有限差分法 25
2.1.1 有限差分法中的数值微分 25
2.1.2 求导的矩阵形式 26
2.2 偏微分方程的差分解法 30
2.2.1 二维泊松方程 30
2.2.2 一维热传导方程 34
2.2.3 一维波动方程 37
2.3 有限元法和Matlab偏微分工具箱 40
2.3.1 基本操作 41
2.3.2 二维泊松方程 48
2.3.3 二维热传导方程 52
2.3.4 二维波动方程 53
2.3.5 二维特征值问题 54
中篇 周期性边界条件下的谱方法 57
第3章 傅里叶谱方法 57
3.1 傅里叶谱方法的原理 57
3.1.1 快速傅里叶变换 57
3.1.2 求导、积分与傅里叶谱方法 61
3.1.3 傅里叶谱方法的步骤 63
3.1.4 滤波法 66
3.2 傅里叶谱方法求解基本偏微分方程（组） 67
3.2.1 一维波动方程 67
3.2.2 二维波动方程 69
3.2.3 一维非线性薛定谔方程 71
3.3 傅里叶谱方法求解复杂偏微分方程（组） 73
3.3.1 一维KdV方程 73
3.3.2 二维浅水方程组 74
3.3.3 二维粘性Burgers方程 76
3.3.4 二维Schnakenberg模型 78
第4章 谱求导矩阵 81
4.1 谱求导矩阵的导出和应用 81
4.1.1 谱方法插值 81
4.1.2 谱求导矩阵 82
4.1.3 用谱求导矩阵求解偏微分方程的步骤 88
4.2 利用谱求导矩阵求解基本偏微分方程（组） 92
4.2.1 一维线性谐振子的定态薛定谔方程 92
4.2.2 二维线性谐振子的定态薛定谔方程 94
4.2.3 一维波动方程 96
4.2.4 二维波动方程 98
4.3 利用谱求导矩阵求解复杂偏微分方程（组） 100
4.3.1 Ginzburg-Landau方程 100
4.3.2 耦合非线性薛定谔方程组 102
4.3.3 二维Schnakenberg模型 103
4.3.4 二维平流-扩散方程 105
下篇 第一类、第二类和第三类边界条件下的谱方法 108
第5章 切比雪夫谱方法 108
5.1 切比雪夫求导矩阵的导出 108
5.1.1 吉布斯现象和龙格现象 108
5.1.2 切比雪夫求导矩阵 112
5.2 狄利克莱边界条件（第一类边界条件） 119
5.2.1 一维泊松方程 119
5.2.2 二维泊松方程 122
5.2.3 Allen-Cahn方程 128
5.2.4 二维热传导方程 131
5.2.5 一维特征值问题 135
5.2.6 二维特征值问题 137
5.3 诺依曼边界条件（第二类边界条件） 138
5.3.1 一维泊松方程 139
5.3.2 二维泊松方程 140
5.3.3 一维热传导方程 143
5.3.4 二维波动方程 146
5.3.5 一维四阶问题 148
5.3.6 二维四阶问题 150
5.4 洛平边界条件（第三类边界条件） 152
5.4.1 一维泊松方程 152
5.4.2 二维泊松方程 154
5.4.3 一维热传导方程 156
5.4.4 二维热传导方程 158
5.5 利用切比雪夫谱方法求解复杂偏微分方程（组） 161
5.5.1 广义特征值问题 161
5.5.2 二维Barkley模型 162
5.5.3 二维平流-扩散方程 165
附录 168
附录A Matlab主要符号和函数 168
A.1 运算符、操作符和常量 168
A.2 矩阵、图形窗口相关函数 170
附录B 将计算结果制作成gif动画 177
参考文献 179
跋 180