第1章 函数 1
1.1 函数 1
1.1.1 实数与区间 1
1.1.2 函数概念 3
1.1.3 函数的表示法 7
练习题1.1 11
1.2 几类特殊的函数 12
1.2.1 有界函数与无界函数 13
1.2.2 单调函数 16
1.2.3 奇函数与偶函数 19
1.2.4 周期函数 22
练习题1.2 24
1.3 函数的运算 25
1.3.1 函数的四则运算 25
1.3.2 复合函数 27
1.3.3 反函数 28
练习题1.3 33
1.4 初等函数 34
1.4.1 基本初等函数 35
1.4.2 初等函数 38
习题1 40
练习题1.4 40
第2章 极限 42
2.1 数列的极限 42
2.1.1 数列 42
2.1.2 数列？的极限 43
2.1.3 数列的极限 45
2.1.4 例题 47
练习题2.1 51
2.2 收敛数列 52
2.2.1 收敛数列的性质 52
2.2.2 收敛数列的四则运算 54
2.2.3 数列收敛的判别法 59
2.2.4 数e 64
2.2.5 例题 66
2.2.6 子数列 68
练习题2.2 70
2.3 函数极限的概念 71
2.3.1 函数在一点的极限 72
2.3.2 左、右极限 76
2.3.3 函数在无穷远处的极限 78
练习题2.3 84
2.4.1 函数极限的性质定理 85
2.4 函数极限的定理 85
练习题2.4 90
2.5 两个重要极限 90
2.5.1 介绍两个常用的不等式 90
2.5.2 ？=1 91
2.5.3 ？=e 91
2.5.4 待定型极限 93
2.5.5 例题 93
练习题2.5 94
2.6 无穷小量与无穷大量 95
2.6.1 关于无穷小量与无穷大量的定义及相互间的关系 95
2.6.2 关于无穷小量与无穷大量的性质 97
2.6.3 关于无穷小量的比较、无穷大量的比较 99
2.6.4 例题 101
练习题2.6 102
习题*2 102
第3章 连续函数 104
3.1 连续函数 104
3.1.1 连续函数的概念 104
3.1.2 不连续点及其分类 108
练习题3.1 110
3.2.1 函数在一点连续的性质 111
3.2 连续函数的性质 111
3.2.2 在闭区间上连续函数的性质 113
练习题3.2 117
3.3 初等函数的连续性 119
3.3.1 反函数的连续性 119
3.3.2 初等函数的连续性 120
练习题3.3 122
习题3 123
第4章 实数的连续性 124
4.1.1 闭区间套定理 125
4.1 实数连续性定理 125
4.1.2 确界定理 126
4.1.3 聚点定理 131
4.1.4 有限覆盖定理 134
4.1.5 柯西收敛准则 136
练习题4.1 139
4.2 闭区间上连续函数性质的证明 140
4.2.1 有界性定理 140
4.2.2 最大与最小值定理 142
4.2.3 介值定理 143
4.2.4 一致连续性定理 145
练习题4.2 146
习题4 147
第5章 导数与微分 148
5.1 导数 148
5.1.1 导数的引进 148
5.1.2 导数的定义 150
5.1.3 例题 153
练习题5.1 156
5.2 求导法则 157
5.2.1 导数的四则运算 157
5.2.2 反函数求导法则 161
5.2.3 复合函数求导法则 163
5.2.4 初等函数的导数 165
5.2.5 隐函数求导法 167
5.2.6 参数方程求导法 170
练习题5.2 172
5.3 微分 174
5.3.1 微分概念 174
5.3.2 导数与微分 175
5.3.3 微分的运算法则与公式 177
5.3.5 微分在近似计算中的应用 178
5.3.4 微分的几何意义 178
练习题5.3 180
5.4 高阶导数与高阶微分 181
5.4.1 高阶导数及其运算法则 181
5.4.2 莱布尼兹公式 183
5.4.3 高阶微分 185
练习题5.4 187
习题5 187
6.1 中值定理 189
6.1.1 费尔马引理 189
第6章 微分学中值定理和泰勒公式 189
6.1.2 中值定理 191
习题6.1 206
6.2 泰勒公式 208
6.2.1 泰勒公式 208
6.2.2 泰勒公式的余项 213
6.2.3 几个常用的初等函数的马克劳林展开式 216
练习题6.2 220
习题6 220
第7章 导数的应用 222
7.1 洛比达法则 222
7.1.1 0/0型 223
7.1.2 ∞/∞型 228
7.1.3 其它待定型 229
练习题7.1 236
7.2 函数的单调性 236
练习题7.2 244
7.3 函数的极值 244
练习题7.3 258
7.4 函数作图 259
7.4.1 函数的凹凸性及拐点 260
7.4.2 曲线的渐近线 268
7.4.3 描绘函数图像 273
练习题7.4 281
习题7 282
第8章 不定积分 284
8.1 不定积分的概念和性质 285
8.1.1 原函数与不定积分的概念 285
8.1.2 不定积分的性质 288
8.1.3 基本积分表 290
练习题8.1 293
8.2 换元积分法 294
8.2.1 第一换元法(凑微分法) 295
8.2.2 第二换元法(作代换法) 305
练习题8.2 310
8.3 分部积分法 312
练习题8.3 319
8.4 有理函数的不定积分 320
8.4.1 有理真分式的分解 321
8.4.2 真分式的积分法 325
8.4.3 有理函数的不定积分 327
练习题8.4 331
8.5 三角函数有理式的积分 332
8.5.1 万能代换 332
8.5.2 特殊的变量替换 335
8.5.3 利用三角恒等式或其它简便方法 336
练习题8.5 337
习题8 337
第9章 定积分 340
9.1 定积分的概念 340
9.1.1 两个实例 340
9.1.2 定积分的定义 343
9.1.3 定积分的几何意义 346
练习题9.1 347
9.2 定积分的存在性条件 348
9.2.1 可积的必要条件 348
9.2.2 小和与大和 350
9.2.3 可积准则 354
9.2.4 三类可积函数 357
练习题9.2 359
9.3 定积分的性质 360
练习题9.3 369
9.4 定积分的计算 369
9.4.1 积分上限函数 369
9.4.2 定积分的基本公式 372
9.4.3 定积分的变量替换法 374
9.4.4 定积分的分部积分法 378
练习题9.4 380
习题9 381
第10章 定积分的应用 384
10.1 微元法 384
练习题10.1 386
10.2 定积分在几何上的应用 387
10.2.1 平面图形的面积 387
10.2.2 平面曲线的弧长 393
10.2.3 利用截面面积计算立体体积 396
10.2.4 旋转体的体积 398
10.2.5 旋转体的侧面积 400
练习题10.2 401
10.3.1 液体的压力 402
10.3 定积分在物理上的应用 402
10.3.2 变力作功 404
10.3.3 非均匀曲线的质量 405
练习题10.3 406
10.4 定积分的近似计算 407
10.4.1 梯形法 407
10.4.2 抛物线法 409
练习题10.4 412
习题10 413
11.1.1 级数的收敛与发散 414
第11章 数项级数 414
11.1 级数的收敛性及其性质 414
11.1.2 收敛级数的性质 421
练习题11.1 428
11.2 正项级数 429
11.2.1 正项级数敛散性判别的基本定理 429
11.2.2 正项级数的比较判别法 433
11.2.3 根式判别法与比式判别法 437
练习题11.2 444
11.3 变号级数 445
11.3.1 交错级数 446
11.3.2 绝对收敛级数与条件收敛级数 450
练习题11.3 452
习题11 453
第12章 函数项级数 456
12.1 函数级数的一致收敛 456
12.1.1 函数级数的概念 456
12.1.2 一致收敛概念 457
12.1.3 一致收敛的判别法 461
练习题12.1 464
12.2 一致收敛函数级数的分析性质 464
12.3 极限函数的分析性质 473
练习题12.2 473
练习题12.3 476
习题12 476
第13章 幂级数 478
13.1 幂级数的收敛域 478
13.1.1 幂级数 478
13.1.2 幂级数的收敛性 479
练习题13.1 484
13.2 幂级数的性质 485
13.2.1 一致收敛性 485
12.2.2 幂级数的运算性质 486
练习题13.2 492
13.2 函数的幂级数展开式 493
13.3.1 泰勒级数 493
13.3.2 初等函数的幂级数展开式 499
练习题13.3 506
13.4 幂级数在近似计算上的应用 507
13.4.1 一些数值计算 507
13.4.2 对数计算及其造表原理 511
13.4.3 三角函数的计算及其造表原理 514
练习题13.4 517
习题13 518
第14章 广义积分 520
14.1 无穷积分 520
14.1.1 无穷积分收敛与发散的概念 520
14.1.2 无穷积分的基本性质 523
14.1.3 无穷积分与数值级数的关系 526
练习题14.1 533
14.2 瑕积分 534
14.2.1 瑕积分收敛与发散的概念 534
14.2.2 瑕积分的收敛判别法 538
14.3 г函数简介 541
练习题4.2 541
习题14 543
第15章 多元函数微分学 545
15.1 平面点集 545
15.1.1 平面及其子集 545
15.1.2 邻域及有关概念 546
练习题15.1 549
15.2 二元函数概念 549
15.2.1 二元函数的定义 549
15.2.2 二元函数的定义域 550
练习题15.2 552
15.3 二元函数的极限与连续性 553
15.3.1 二重极限 553
15.3.2 累次极限 557
15.3.3 二元函数的连续性 559
15.3.4 在有界闭区域上二元连续函数的特性 561
练习题15.3 562
15.4 二元函数的偏导数与全微分 564
15.4.1 偏导数的概念 564
15.4.2 全微分的概念 566
15.4.3 复合函数的偏导数 570
15.4.4 一阶全微分的形式不变性 573
练习题15.4 574
15.5 隐函数及其求导 575
15.5.1 隐函数及其求导 575
15.5.2 隐函数存在定理 577
练习题15.5 580
15.6 n元函数微分学的有关问题简介 580
15.6.1 n维空间中的点集 580
15.6.2 n元函数及其极限与连续 581
15.6.3 n元函数的偏导数与全微分 583
15.6.4 n元复合函数及隐函数求导 584
练习题15.6 587
习题15 588
第16章 二重积分 590
16.1 二重积分的概念 590
16.1.1 两个实际问题 590
16.1.2 二重积分的定义 593
16.1.3 二元函数可积的充分条件 595
16.1.4 二重积分的性质 596
练习题16.1 599
16.2 二重积分的计算 600
16.2.1 化二重积分为累次积分 600
16.2.2 用极坐标计算二重积分 609
练习题16.2 613
16.3 二重积分的应用 615
16.3.1 空间立体图形的体积 615
16.3.2 平面图形的面积 618
练习题16.3 619
16.4 三重积分简介 619
16.4.1 三重积分的概念 619
16.4.2 三重积分计算方法举例 622
练习题16.4 631
习题16 632
17.1.1 第一型曲线积分的概念 633
第17章 曲线积分 633
17.1 第一型曲线积分 633
17.1.2 第一型曲线积分的性质 634
17.1.3 第一型曲线积分的计算 635
17.1.4 空间第一型曲线积分的定义 637
17.2 第二型曲线积分 638
17.2.1 第二型曲线积分的概念 638
17.2.2 第二型曲线积分的计算 640
17.2.3 空间第二型曲线积分 642
17.3 第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系 643
17.4 格林公式 644
17.5 曲线积分与路线无关的条件 647
17.5.1 第二型曲线积分与线路无关的条件 647
17.5.2 已知函数的全微分求原函数 650
习题17 651
第18章 微分方程简介 653
18.1 微分方程的一般概念 653
18.1.1 微分方程和方程的阶 655
18.1.2 方程的解 656
18.1.3 通解 初始条件 特解 656
18.1.4 例题 657
练习题18.1 660
18.2 一阶微分方程的初等积分法 661
18.2.1 恰当方程 661
18.2.2 变量分离的方程 666
18.2.3 一阶线性方程 668
18.2.4 初等变换法 671
练习题18.2 675
18.3 应用举例 676
练习题18.3 679
习题18 679
附录：练习题与习题部分答案或提示 680