目 录 1
第二版说明 1
第一章数学物理方程的来源 1
1．引言 1
2．弦振动方程 1
序言 3
3．热传导方程 3
4．拉普拉斯方程和泊松方程 4
5．定解条件 5
6．定解问题的适定性 7
习题 8
第二章广义函数 9
§1．历史的概述 9
习题 14
§2．基本空间 15
1．基本定义和例子 15
2．函数的磨光化 16
3．单位分解 19
4．博雷尔定理 20
习题 22
§3． 广义函数及其基本运算 23
1． 基本定义 23
2． 微分运算与乘子运算 25
3． 线性变换 29
4． 极限运算 30
习题 34
§4． 一些常用的广义函数 36
1． 广义函数xλ＋与xλ－ 36
2． 柯西积分主部 37
3． 广义函数1/x+iO和1/x-iO 40
习题 41
§5． 紧支集广义函数 41
1． 基本定义 41
2． 广义函数的局部构造 43
习题 45
第三章卷积 46
§1． 函数与广义函数的卷积 46
1． 函数与广义函数的卷积 46
2． 广义函数的正则化 48
习题 49
§2． 广义函数的卷积 50
1． 两个广义函数卷积的定义 50
2． 广义函数卷积的性质，卷积代数 51
3． 例 54
习题 55
§3． 物理学中的卷积 56
第四章傅里叶变换 59
§1． 急减函数空间ψ与缓增广义函数ψ′ 59
1． 广义函数与傅里叶变换 59
2． 急减函数空间ψ及其上的傅里叶变换 60
3． 缓增广义函数及其傅里叶变换 65
习题 70
§2． 勒贝格空间的傅里叶变换 71
1． L1函数的傅里叶变换 71
2． L2函数的傅里叶变换 74
习题 76
1． 定理的简化 77
第五章偏微分方程一般理论 77
§1． 柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理 77
2． 定理的证明 79
§2． 局部可解性 81
习题 82
§3． 常系数偏微分方程的基本解 83
§4． 勒维反例 85
习题 87
§5． 二阶线性偏微分方程的分类 87
习题 89
第六章椭圆型方程 90
§1． 调和函数的性质 90
1． 拉普拉斯方程的基本解 90
2． 格林公式 91
3． 平均值公式与极值原理 93
习题 95
§2． 简单区域中的狄利克雷问题 97
1． 边值问题概述 97
2． 半平面的格林函数 100
3． 圆的格林函数 102
4． 调和函数的另一些性质 104
习题 106
§3． 关于一般椭圆型偏微分方程解的正则性分析 108
§4． 一般区域内拉普拉斯方程边值问题简介 110
1． 应用积分方程方法 110
2． 变分方法 112
§1．柯西问题 115
1． 热传导方程的基本解 115
第七章抛物型方程 115
2． 柯西问题的解 116
习题 118
§2． 初边值问题 119
1． 极值原理 119
2． 傅里叶方法 121
3． 比较一般的情况 124
4． 例 126
5． 非齐次问题 131
习题 132
第八章双曲型方程 134
§1． 柯西问题 134
1． 波动方程的基本解 134
2． 柯西问题的解 136
3． 降维法 138
4． 波的传播，惠更斯（Huygens）原理 139
习题 142
§2． 混合问题，能量积分法 143
1． 弦振动方程的混合问题 143
2． 柯西问题解的唯一性和稳定性 145
3． 混合问题的唯一性与稳定性 148
习题 150
§3． 特征的概念 152
1． 弱间断与特征 152
2． 广义柯西问题 154
3． 化为标准形 155
习题 157
参考文献 159
名词索引 160