第一章 曲线论 1
1 向量代数复习 1
2 向量函数 10
2.1 向量函数的极限 11
2.2 向量函数的连续性 13
2.3 向量函数的微商 14
2.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式 17
2.5 向量函数的积分 18
3 曲线的概念 22
3.1 曲线的概念 23
3.2 光滑曲线曲线的正常点 26
3.3 曲线的切线和法面 28
3.4 曲线的弧长自然参数 32
4 空间曲线 38
4.1 空间曲线的密切平面 38
4.2 空间曲线的基本三棱形 42
4.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 46
4.4 空间曲线在一点邻近的结构 53
4.5 空间曲线论的基本定理 56
5 特殊曲线 62
5.1 平面曲线 62
（1）平面曲线的伏雷内标架 63
（2）平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆 64
（3）平面曲线的伏雷内公式 71
（4）平面曲线在一点邻近的结构 73
（5）平面曲线的渐缩线和渐伸线 75
5.2 一般螺线 81
5.3 贝特朗（Bertrand）曲线 84
第二章 曲面论 89
1 曲面的概念 89
1.1 简单曲面及其参数表示 89
1.2 光滑曲面曲面的切平面和法线 92
1.3 曲面上的曲线族和曲线网 98
2 曲面的第一基本形式 101
2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 101
2.2 曲面上两方向的交角 104
2.3 正交曲线族和正交轨线 105
2.4 曲面域的面积 106
2.5 等距变换 107
2.6 保角变换 111
3 曲面的第二基本形式 114
3.1 曲面的第二基本形式 114
3.2 曲面上曲线的曲率 119
3.3 杜邦（Dupin）指标线 123
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 125
3.5 曲面的主方向和曲率线 128
3.6 曲面的主曲率，高斯（Gauss）曲率和平均曲率 132
3.7 曲面在一点邻近的结构 138
3.8 高斯曲率的几何意义 141
4 直纹面和可展曲面 148
4.1 直纹面 148
4.2 可展曲面 152
5 曲面论的基本定理 162
5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳（Christoffel）符号 163
5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯－科达齐－迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式 166
5.3 曲面论的基本定理 171
6 曲面上的测地线 177
6.1 曲面上曲线的测地曲率 177
6.2 曲面上的测地线 180
6.3 曲面上的半测地坐标网 183
6.4 曲面上测地线的短程性 186
6.5 高斯－波涅（Gauss-Bonnet）公式 189
6.6 曲面上向量的平行移动 192
6.7 极小曲面 198
7 常高斯曲率的曲面 203
7.1 常高斯曲率的曲面 203
7.2 伪球面 205
7.3 罗氏几何 210
第三章 外微分形式和活动标架 215
1 外微分形式 215
1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数 215
1.2 外微分形式 220
1.3 弗罗皮尼斯（Frobenius）定理 229
2 活动标架 246
2.1 合同变换群 246
2.2 活动标架 249
2.3 活动标架法 258
3 用活动标架法研究曲面 261
3.1 曲面论的基本定理 261
3.2 曲面的第一和第二基本形式 263
3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率 264
3.4 曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率 266
3.5 曲面上向量的平行移动 268
3.6 闭曲面高斯－波涅公式 271
第四章 整体微分几何初步 276
1 平面曲线的整体性质 276
1.1 旋转数 277
1.2 凸曲线 283
1.3 等周不等式 289
1.4 四顶点定理 292
1.5 等宽曲线 294
1.6 平面上的Crofton公式 296
2.1 Fenchel定理 301
2 空间曲线的整体性质 301
2.2 球面上的Crofton公式 308
2.3 Fary-Milnor定理 310
2.4 闭曲线的全挠率 315
3 曲面的整体性质 319
3.1 曲面的整体定义 319
3.2 曲面的一般性质 323
3.3 卵形面 327
4 紧致曲面的高斯－波涅公式和欧拉示性数 347
4.1 紧致曲面的三角剖分 347
4.2 紧致曲面的欧拉示性数 349
4.3 紧致定向曲面的亏格（gerus） 349
4.4 紧致曲面的高斯－波涅公式 351
4.5 紧致曲面上的向量场 352