微分几何 第2版PDF电子书下载

第一章 曲线论 1

1 向量代数复习 1

2 向量函数 10

2.1 向量函数的极限 11

2.2 向量函数的连续性 13

2.3 向量函数的微商 14

2.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式 17

2.5 向量函数的积分 18

3 曲线的概念 22

3.1 曲线的概念 23

3.2 光滑曲线曲线的正常点 26

3.3 曲线的切线和法面 28

3.4 曲线的弧长自然参数 32

4 空间曲线 38

4.1 空间曲线的密切平面 38

4.2 空间曲线的基本三棱形 42

4.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 46

4.4 空间曲线在一点邻近的结构 53

4.5 空间曲线论的基本定理 56

5 特殊曲线 62

5.1 平面曲线 62

（1）平面曲线的伏雷内标架 63

（2）平面曲线的曲率、曲率半径、曲率中心及曲率圆 64

（3）平面曲线的伏雷内公式 71

（4）平面曲线在一点邻近的结构 73

（5）平面曲线的渐缩线和渐伸线 75

5.2 一般螺线 81

5.3 贝特朗（Bertrand）曲线 84

第二章 曲面论 89

1 曲面的概念 89

1.1 简单曲面及其参数表示 89

1.2 光滑曲面曲面的切平面和法线 92

1.3 曲面上的曲线族和曲线网 98

2 曲面的第一基本形式 101

2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 101

2.2 曲面上两方向的交角 104

2.3 正交曲线族和正交轨线 105

2.4 曲面域的面积 106

2.5 等距变换 107

2.6 保角变换 111

3 曲面的第二基本形式 114

3.1 曲面的第二基本形式 114

3.2 曲面上曲线的曲率 119

3.3 杜邦（Dupin）指标线 123

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 125

3.5 曲面的主方向和曲率线 128

3.6 曲面的主曲率，高斯（Gauss）曲率和平均曲率 132

3.7 曲面在一点邻近的结构 138

3.8 高斯曲率的几何意义 141

4 直纹面和可展曲面 148

4.1 直纹面 148

4.2 可展曲面 152

5 曲面论的基本定理 162

5.1 曲面的基本方程和克里斯托斐耳（Christoffel）符号 163

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯－科达齐－迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式 166

5.3 曲面论的基本定理 171

6 曲面上的测地线 177

6.1 曲面上曲线的测地曲率 177

6.2 曲面上的测地线 180

6.3 曲面上的半测地坐标网 183

6.4 曲面上测地线的短程性 186

6.5 高斯－波涅（Gauss-Bonnet）公式 189

6.6 曲面上向量的平行移动 192

6.7 极小曲面 198

7 常高斯曲率的曲面 203

7.1 常高斯曲率的曲面 203

7.2 伪球面 205

7.3 罗氏几何 210

第三章 外微分形式和活动标架 215

1 外微分形式 215

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数 215

1.2 外微分形式 220

1.3 弗罗皮尼斯（Frobenius）定理 229

2 活动标架 246

2.1 合同变换群 246

2.2 活动标架 249

2.3 活动标架法 258

3 用活动标架法研究曲面 261

3.1 曲面论的基本定理 261

3.2 曲面的第一和第二基本形式 263

3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率 264

3.4 曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率 266

3.5 曲面上向量的平行移动 268

3.6 闭曲面高斯－波涅公式 271

第四章 整体微分几何初步 276

1 平面曲线的整体性质 276

1.1 旋转数 277

1.2 凸曲线 283

1.3 等周不等式 289

1.4 四顶点定理 292

1.5 等宽曲线 294

1.6 平面上的Crofton公式 296

2.1 Fenchel定理 301

2 空间曲线的整体性质 301

2.2 球面上的Crofton公式 308

2.3 Fary-Milnor定理 310

2.4 闭曲线的全挠率 315

3 曲面的整体性质 319

3.1 曲面的整体定义 319

3.2 曲面的一般性质 323

3.3 卵形面 327

4 紧致曲面的高斯－波涅公式和欧拉示性数 347

4.1 紧致曲面的三角剖分 347

4.2 紧致曲面的欧拉示性数 349

4.3 紧致定向曲面的亏格（gerus） 349

4.4 紧致曲面的高斯－波涅公式 351

4.5 紧致曲面上的向量场 352