第一章 复数与复变函数 1
1 复数表示法及其代数运算 1
1 复数域 1
2 虚单位 3
3 共轭复数 3
4 复平面 4
5 复数的向量表示 6
6 复数的三角表示 7
7 复数的乘幂 8
8 举例 10
2 序列极限及无穷大 15
1 复数序列的极限 15
2 复数项级数 19
3 无穷大及无穷远点 24
3 复变函数的极限与连续性 27
1 复变函数 27
2 函数的极限 29
3 函数的连续性 30
4 连续曲线 32
5 函数Argz的单值连续分支 34
4 复函数的导数与微分 37
1 导数与微分 37
2 导数与微分的法则 38
3 可导与可微的充分必要条件 40
4 光滑曲线 42
5 复函数的积分 43
1 复函数的积分 43
2 积分的性质 46
3 不定积分与原函数 47
6 复变函数项级数 50
1 复变函数项级数 50
2 幂级数 52
习题 59
习题 60
1 有理函数 69
1 多项式 69
第二章 复变初等函数 69
2 有理函数 71
3 分解有理函数为部分分式 72
4 幂函数zn的映照性质 74
5 茹科夫斯基函数与柯贝函数 75
2 指数函数 79
1 指数函数的定义 79
2 指数函数的基本性质 82
3 指数函数的映照性质 83
3 三角函数与双曲函数 84
1 三角函数的定义 84
2 三角函数的基本性质 86
3 双曲函数的定义及性质 88
4 三解函数的映照性质 90
4 根式函数 94
1 根式函数的定义 94
2 根式函数的单值连续分支 95
3 函数？R(z)的单值连续分支 97
4 根式函数的映照性质 102
5 对数函数 104
1 对数函数的定义 104
2 对数函数的运算性质 105
3 对数函数的单值连续分支及其可导性 106
4 函数LnRe(z)的单值连续分支 108
5 对数函数的映照性质 109
6 2/1的原函数 111
1 一般幂函数的定义 113
6 一般幂函数与一般指数函数 113
3 一般指数函数 114
2 一般幂函数的性质 114
1 反三角函数的定义 115
7 反三角函数与反双曲函数 115
2 反余弦函数的单值连续分支 116
3 反余弦函数的映照性质 117
4 反双曲函数 119
习题 120
1 解析函数的定义 125
1 解析函数的定义 125
第三章 解析函数及其基本特征 125
2 初等函数的解析性 126
1 柯西积分定理 127
2 柯西积分定理及柯西积分公式 127
2 多连通区域上的柯西定理 133
3 柯西积分公式 136
3 解析函数的泰勒展式 138
1 泰勒定理 138
2 初等函数的泰勒展式 141
4 解析函数的罗朗展式 148
1 幂级数的推广 148
2 罗朗定理 151
3 举例 155
5 解析函数的基本特征 157
1 解析函数的微分形式的特征条件 158
2 解析函数的积分形式的特征条件 159
3 解析函数的级数形式的特征条件 160
第四章 解析函数的重要性质 167
1 区域内解析的函数的性质 167
1 解析函数的唯一性 167
2 最大模原理 171
3 希瓦尔兹引理 175
4 维尔斯脱拉斯定理 177
2 解析函数的零点及其性质 181
1 解析函数的零点 181
2 解析函数零点的孤立性 184
3 解析函数在孤立奇点附近的性质 185
1 解析函数的孤立奇点及其类型 185
2 可去奇点 187
3 极点 189
4 本性奇点 191
5 解析函数在无穷远点附近的性质 194
1 整函数 198
4 整函数和亚纯函数的概念 198
2 亚纯函数 200
习题 202
第五章 留数理论及其应用 207
1 留数理论 207
1 留数的概念 207
2 留数定理 208
3 留数的计算 209
4 无穷远点的留数 214
5 幅角原理和儒歇定理 218
1 预备知识 225
2 应用留数理论计算实积分 225
2 积分计算(Ⅰ) 238
3 积分计算(Ⅱ) 239
习题 247
第六章 解析开拓 253
1 解析开拓的概念与方法 253
1 解析开拓的定义 253
2 对称开拓 254
3 幂级数开拓 256
4 将实变函数开拓为复变函数 261
1 完全解析函数 263
2 完全解析函数 263
2 单值性定理 266
3 黎曼曲面 271
1 支点的概念 271
2 黎曼曲面 271
3 几个初等函数的黎曼曲面 272
习题 277
第七章 保形映照 280
1 解析映照的基本特性 280
1 局部单叶性 280
2 保区域性 282
3 保连通性 283
4 保角性 284
5 伸缩率不变性 287
6 保形性 288
2 分式线性映照 289
1 一般映照性质 289
2 分式线性映照的特性 291
3 确定分式线性映照的条件及方法 300
3 保形映照基本问题 307
1 保形映照基本问题 307
2 边界对应问题 308
3 黎曼存在定理及唯一性定理 310
4 单叶解析映照基本问题举例 312
习题 323
第八章 复变函数方法在边值问题中的应用 328
1 柯西型积分与黎曼边值问题 328
1 柯西型积分 329
2 柯西型积分的主值 331
3 柯西型积分的极限值 333
4 黎曼边值问题 340
5 齐次黎曼边值问题 341
6 非齐次黎曼边值问题 344
2 调和函数与狄里克莱问题 346
1 调和函数和解析函数的联系 346
2 中值公式与普阿松公式 349
3 极值原理 351
4 狄里克莱问题 352
5 在圆上的狄里克莱问题 352
6 上半平面的狄里克莱问题 356
习题 359
索引 362
部分习题参考答案 366