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第一章 复数与复变函数 1

1 复数表示法及其代数运算 1

1 复数域 1

2 虚单位 3

3 共轭复数 3

4 复平面 4

5 复数的向量表示 6

6 复数的三角表示 7

7 复数的乘幂 8

8 举例 10

2 序列极限及无穷大 15

1 复数序列的极限 15

2 复数项级数 19

3 无穷大及无穷远点 24

3 复变函数的极限与连续性 27

1 复变函数 27

2 函数的极限 29

3 函数的连续性 30

4 连续曲线 32

5 函数Argz的单值连续分支 34

4 复函数的导数与微分 37

1 导数与微分 37

2 导数与微分的法则 38

3 可导与可微的充分必要条件 40

4 光滑曲线 42

5 复函数的积分 43

1 复函数的积分 43

2 积分的性质 46

3 不定积分与原函数 47

6 复变函数项级数 50

1 复变函数项级数 50

2 幂级数 52

习题 59

习题 60

1 有理函数 69

1 多项式 69

第二章 复变初等函数 69

2 有理函数 71

3 分解有理函数为部分分式 72

4 幂函数zn的映照性质 74

5 茹科夫斯基函数与柯贝函数 75

2 指数函数 79

1 指数函数的定义 79

2 指数函数的基本性质 82

3 指数函数的映照性质 83

3 三角函数与双曲函数 84

1 三角函数的定义 84

2 三角函数的基本性质 86

3 双曲函数的定义及性质 88

4 三解函数的映照性质 90

4 根式函数 94

1 根式函数的定义 94

2 根式函数的单值连续分支 95

3 函数？R(z)的单值连续分支 97

4 根式函数的映照性质 102

5 对数函数 104

1 对数函数的定义 104

2 对数函数的运算性质 105

3 对数函数的单值连续分支及其可导性 106

4 函数LnRe(z)的单值连续分支 108

5 对数函数的映照性质 109

6 2/1的原函数 111

1 一般幂函数的定义 113

6 一般幂函数与一般指数函数 113

3 一般指数函数 114

2 一般幂函数的性质 114

1 反三角函数的定义 115

7 反三角函数与反双曲函数 115

2 反余弦函数的单值连续分支 116

3 反余弦函数的映照性质 117

4 反双曲函数 119

习题 120

1 解析函数的定义 125

1 解析函数的定义 125

第三章 解析函数及其基本特征 125

2 初等函数的解析性 126

1 柯西积分定理 127

2 柯西积分定理及柯西积分公式 127

2 多连通区域上的柯西定理 133

3 柯西积分公式 136

3 解析函数的泰勒展式 138

1 泰勒定理 138

2 初等函数的泰勒展式 141

4 解析函数的罗朗展式 148

1 幂级数的推广 148

2 罗朗定理 151

3 举例 155

5 解析函数的基本特征 157

1 解析函数的微分形式的特征条件 158

2 解析函数的积分形式的特征条件 159

3 解析函数的级数形式的特征条件 160

第四章 解析函数的重要性质 167

1 区域内解析的函数的性质 167

1 解析函数的唯一性 167

2 最大模原理 171

3 希瓦尔兹引理 175

4 维尔斯脱拉斯定理 177

2 解析函数的零点及其性质 181

1 解析函数的零点 181

2 解析函数零点的孤立性 184

3 解析函数在孤立奇点附近的性质 185

1 解析函数的孤立奇点及其类型 185

2 可去奇点 187

3 极点 189

4 本性奇点 191

5 解析函数在无穷远点附近的性质 194

1 整函数 198

4 整函数和亚纯函数的概念 198

2 亚纯函数 200

习题 202

第五章 留数理论及其应用 207

1 留数理论 207

1 留数的概念 207

2 留数定理 208

3 留数的计算 209

4 无穷远点的留数 214

5 幅角原理和儒歇定理 218

1 预备知识 225

2 应用留数理论计算实积分 225

2 积分计算(Ⅰ) 238

3 积分计算(Ⅱ) 239

习题 247

第六章 解析开拓 253

1 解析开拓的概念与方法 253

1 解析开拓的定义 253

2 对称开拓 254

3 幂级数开拓 256

4 将实变函数开拓为复变函数 261

1 完全解析函数 263

2 完全解析函数 263

2 单值性定理 266

3 黎曼曲面 271

1 支点的概念 271

2 黎曼曲面 271

3 几个初等函数的黎曼曲面 272

习题 277

第七章 保形映照 280

1 解析映照的基本特性 280

1 局部单叶性 280

2 保区域性 282

3 保连通性 283

4 保角性 284

5 伸缩率不变性 287

6 保形性 288

2 分式线性映照 289

1 一般映照性质 289

2 分式线性映照的特性 291

3 确定分式线性映照的条件及方法 300

3 保形映照基本问题 307

1 保形映照基本问题 307

2 边界对应问题 308

3 黎曼存在定理及唯一性定理 310

4 单叶解析映照基本问题举例 312

习题 323

第八章 复变函数方法在边值问题中的应用 328

1 柯西型积分与黎曼边值问题 328

1 柯西型积分 329

2 柯西型积分的主值 331

3 柯西型积分的极限值 333

4 黎曼边值问题 340

5 齐次黎曼边值问题 341

6 非齐次黎曼边值问题 344

2 调和函数与狄里克莱问题 346

1 调和函数和解析函数的联系 346

2 中值公式与普阿松公式 349

3 极值原理 351

4 狄里克莱问题 352

5 在圆上的狄里克莱问题 352

6 上半平面的狄里克莱问题 356

习题 359

索引 362

部分习题参考答案 366