目录 1
一、基本逻辑知识 1
（一）什么是逻辑学 1
（二）逻辑思维的基本形式 2
1．概念 2
（1）什么是概念 2
（2）概念的内涵和外延 5
（3）概念间的关系 6
①同一关系 6
②交叉关系 6
③从属关系 7
④矛盾关系 8
⑤反对关系 8
（4）概念的限定和概括 9
①概念的限定 9
②概念的概括 9
（5）概念的定义 10
（6）概念的划分 10
2．判断 13
（1）什么是判断 13
（2）判断的分类 14
①性质判断 15
（3）数学中的判断 15
②关系判断 18
③假言判断 20
④选言判断 21
⑤联言判断 21
⑥负判断 22
3．命题 22
（1）什么是命题 22
（2）命题的结构 22
③联言命题 23
⑤否定命题 23
④等价命题 23
②选言命题 23
①假言命题 23
（3）简单命题与复合命题 23
（4）命题的四种形式及其关系 24
（5）命题的演算规则 25
（6）命题的条件 26
（7）公理、定理、推论 27
（8）分断式命题 28
（9）逆命题的制造 29
（2）演绎推理 32
4．推理 32
（1）什么是推理 32
（3）归纳推理 37
（4）类比推理 39
5．数学证明 39
（1）什么是证明 39
（2）证明的规则 40
（三）逻辑思维的基本规律 42
1．同一律 42
2．矛盾律 43
4．充足理由律 44
3．排中律 44
二、怎样解数学题 45
（一）解数学题的实质 45
（二）解题的要求 47
1．解答数学题要正确合理 47
2．解题过程要符合逻辑 49
3．解题方法力求简单清楚 51
4．解题理由要充分 53
5．解题的答案要详尽无遗 54
6．解题的最后结果形式要简单 56
7．注意命题条件与结论的推广 57
（1）分析条件，理解题意 60
（三）解题步骤 60
1．审题 60
（2）注意题中的常数 67
2．探求解题方法 69
（1）区分习题类型 69
（2）观察、联想、转化 71
①观察 71
②联想 78
③转化 85
4．检查答案是否合理 94
3．写出习题的解答过程 94
（1）推理要正确 95
（2）检查答案是否完备、确切 95
（3）检查解答是否合乎要求 95
（四）解题后的回忆 96
1．解题方法的回忆 96
2．错误分析 100
三、解数学题的常用方法 103
（一）观察法 103
（二）定义法 104
（三）分析法 105
（四）综合法 108
（五）反证法 110
（六）同一法 115
（七）数学归纳法 116
（八）第二数学归纳法 118
（九）整体法 120
（十）配方法 122
（十一）换元法 125
（十二）待定系数法 126
（十三）参数法 128
（十四）相消法 129
（十五）代入法 131
（十六）比较法 133
（十七）“1”的代换法 135
（十八）试探法 138
（十九）赋值法 143
（二十）构造法 145
（二十一）三角法 147
（二十二）直角坐标法 149
（二十三）极坐标法 152
（二十四）复数法 155
1．式题的解法 159
（一）算术问题的解法 159
四、各种题型的常用解法 159
（1）四则计算题的计算方法 160
（2）四则混合式题的计算方法 161
①基本法 161
②简算法 165
③约分法 170
④拆数法 172
（3）繁分数的化简方法 175
①相除法 175
②倍数法 177
③约分法 179
④逐次减层法 181
（4）速算的方法 183
①凑整法 183
②凑同法 184
③基准数法 185
④反数法 186
⑤拆数法 187
⑥公式法 188
（5）验算的方法 190
①正算法 190
②逆算法 190
③弃九法 191
2．文字题的解法 194
①直译法 194
②意译法 195
③分析法 196
④综合法 196
⑤缩句法 197
⑥分段法 199
⑦代数法 200
3．应用题的解法 203
①综合法 204
②分析法 206
③图解法 208
④直接法 211
⑤列举法 213
⑥追踪法 217
⑦逆推法 218
⑧消元法 220
⑨假设法 222
⑩对应法 226
⑾不变量法 229
⑿变换条件法 232
⒀增元法 236
⒁类比法 238
⒂比例法 240
⒃归一法 242
⒄倍比法 244
⒅归总法 247
⒆公式法 248
⒇代数法 262
（1）整式的运算方法 271
①基本运算法 271
1．代数式问题的解法 271
（二）初等代数问题的解法 271
②竖式运算法 273
③公式法 274
④分离系数法 276
⑤综合除法 278
⑥比较系数法 279
⑦数值代入法 280
（2）因式分解的方法 281
①提取公因式法 282
②公式分解法 283
③分组分解法 285
④十字相乘法 287
⑤求根法 288
⑥配方法 289
⑦余元定理法 290
⑧比较系数法 292
⑨数值代入法 293
（3）分式的运算法 295
①基本运算法 295
②比较系数法 301
③数值代入法 303
④乘因式法 304
（4）根式的运算法 305
①有理化因式法 306
②基本运算法 309
③公式法 311
2．代数方程与方程组的解法 313
（1）有理方程的解法 313
①同解变形法 313
②分解因式法 315
③求根公式法 316
④换元法 318
⑤韦达定理法 320
⑥配方法 322
⑦余元定理法 323
⑧比较系数法 324
（2）无理方程的解法 325
①乘方法 326
②观察法 328
③配方法 328
④因式分解法 329
⑤换元法 331
⑥共轭根式法 333
（3）方程组的解法 334
①代入消元法 335
②加减消元法 336
③换元法 338
④韦达定理法 342
⑤分解因式法 344
⑥行列式法 345
3．代数不等式问题的解法 347
（1）整式不等式的解法 348
①基本运算求解法 348
②配方法 349
③分解因式法 350
（2）分式不等式的解法 352
①运算求解法 353
②不等式联立法 354
③转化法 355
（3）绝对值不等式的解法 357
①公式法 357
②区间分析法 358
（4）无理不等式的解法 359
①运算求解法 359
②不等式联立法 361
（5）不等式组的解法 363
4．指数与对数问题的解法 364
①基本运算法 365
（1）幂的运算方法 365
②代数公式法 367
（2）对数的运算方法 369
①基本运算法 370
②定义法 371
③换底公式法 371
（3）指数方程的解法 373
①比较指数法 373
②取对数法 374
③换元法 375
④分解因式法 377
①定义法 378
（4）对数方程的解法 378
②换底公式法 379
③比较真数法 381
④换元法 382
5．数列问题的解法 384
（1）求数列通项公式的方法 384
①观察分析法 384
②公式法 385
③转化法 390
④归纳法 392
（2）求由递推公式给出的数列通项的方法 395
①归纳法 396
②作差求和法 398
③配项法 401
④消常数项法 404
⑤换元法 405
⑥特征方程法 406
（3）数列求和的方法 409
①公式法 409
②转化法 411
③通项公式变形法 413
④和式倒写相加法 417
⑤和式变倍相减法 419
⑥复数法 421
6．排列组合问题的解法 424
（1）排列、组合和式的求值、化简及组合恒等式的 424
证明方法 424
①基本公式法 424
②母函数法 435
③数学归纳法 438
④构造模型法 439
（2）排列组合应用题的解法 441
①模型类比法 441
②直接分步法 450
③直接分类法 456
④淘汰法 459
⑤放缩法 462
⑥集合法 467
7．函数问题的解法 473
（1）求函数定义域的方法 473
（2）求函数值域的方法 478
①直接法 478
②反函数法 479
③图象法 481
④判别式法 483
⑤平均值不等式法 486
⑥配方法 488
⑦二次函数法 489
⑧换元法 491
⑨导数法 493
（3）求函数解析式的方法 497
①待定系数法 497
②“对应”变形法 500
③过渡变量法 501
④特殊值法 502
⑤列解方程（组）法 504
⑥数学归纳法 506
（4）作函数图象的方法 507
①描点法 507
②平移法 508
③对称法 511
④叠加法 513
⑤绝对值翻转法 514
⑥导数法 515
8．复数问题的解法 521
（1）复数的运算方法 521
①直接运算法 521
②“1”的代换法 527
③“i”的代换法 529
④“ω”的代换法 531
⑤向量法 533
（2）复数综合题的解法 542
①复数相等法 542
②共轭复数法 547
③复数模的不等式法 550
9．代数证明题的证法 552
（1）恒等式的证明方法 552
①一般方法 552
②公式法 554
③代值验证法 555
④待定系数法 557
⑤数学归纳法 558
⑥拆项法 559
⑦母函数法 561
（2）条件等式的证明方法 561
①综合法 562
②分析法 565
③代八法 567
④变换法 569
⑤（代数）消元法 571
⑥换元法 572
⑦数学归纳法 573
（3）不等式的证明方法 575
①比较法 575
②综合法 580
③分析法 586
④拆项法 591
⑤放缩法 593
⑥数学归纳法 603
⑦反证法 607
⑧换元法 611
⑨辅助式法 619
⑩配方法 621
⑾判别式法 624
⑿导数法 630
⒀构造法 634
⒁重要不等式法 652
（三）平面几何问题的解法 674
1．证明题的证法 674
（1）普通问题的证明方法 675
①综合法 675
②分析法 677
③反证法 679
④同一法 681
⑤枚举归纳法 684
⑥数学归纳法 686
⑦叠置法 689
⑧拼合法 690
⑨分解法 691
⑩扩充法 692
⑾对称变换法 695
⑿平移变换法 699
⒀旋转变换法 702
⒁面积法 705
⒂射影法 708
⒃变更问题法 711
⒄计算法 715
⒅解析法 717
⒆复数法 721
⒇三角法 725
(21)极坐标法 729
(22)四点共圆法 731
(23)构图法 735
(24)传递法 738
(25)全等三角形法 740
(26)等腰三角形法 743
(27)平行四边形法 745
(28)相似三角形法 747
(29)三角形中位线法 749
（2）定值问题的证明方法 753
①特殊位置探求法 753
②计算探求法 756
（3）极值问题的证明方法 758
①三角形法 758
②极值定理法 760
③代数法 762
④三角法 763
2．作图题的作法 765
①交轨法 765
②三角形奠基法 768
③平移法 771
④对称法 773
⑤旋转法 775
⑥放缩法 776
⑦延长线法 779
⑧角弧法 781
⑨游移切线法 783
⑩辅助圆法 785
⑾面积割补法 788
⑿比例线段法 791
⒀代数法 793
⒁变更问题法 798
⒂逆序法 800
⒃伸缩进退法 803
3．计算题的解法 806
①公式法 806
②等量替换法 807
③列解方程法 809
④比例线段法 811
⑤三角法 814
⑥解析法 817
⑦面积割补法 819
（四）平面三角问题的解法 822
1．三角函数的计算方法 822
①定义法 822
②公式法 824
③代入法 829
④综合法 831
⑤“1”的代换法 834
⑥平方公式法 835
⑦赋值法 837
⑧构造法 839
2．三角等式的证明方法 842
①定义法 842
②分析法 845
③综合法 846
④相消法 848
⑤数学归纳法 850
⑥化为两弦法 855
⑦“1”的代换法 857
⑧降幂法 859
⑨比较法 861
⑩反三角运算法 862
⑾复数法 865
⑿边角互换法 866
⒀直推法 867
⒁代入法 870
⒂消元法 873
⒃换元法 876
⒄构造法 879
3．三角不等式的证明方法 882
①比较法 883
②单位圆法 885
③万能代换法 887
④极值法 889
⑤公式法 892
⑥构造方程法 894
⑦构造图形法 896
⑧反证法 898
⑨数学归纳法 900
4．三角作图题的作法 901
①描点法 901
②几何法 905
③变换法 906
5．三角方程的解法 909
①变量代换法 910
②因式分解法 912
③引用辅助角法 914
④万能置换法 919
⑤化为两弦法 923
⑥消元法 925
⑦相除法 928
⑧取三角函数法 930
①定义法 933
1．计算题的解法 933
（五）立体几何问题的解法 933
②计算法 935
③判别式法 936
④体积法 938
⑤割补法 940
⑥三角法 942
⑦穷举寻径法 945
2．证明题的证法 948
①定义法 948
②分析法 950
③综合法 953
④反证法 955
⑤体积法 956
⑥构造法 959
⑦三角法 962
⑧参数法 964
（六）平面解析几何问题的解法 966
1．求曲线方程的方法 966
①定义法 966
②直译法 969
③待定系数法 974
④平面几何法 977
⑤转移法 983
⑥交轨法 986
⑦参数法 992
⑧极坐标法 998
⑨复数法 1003
⑩韦达定理法 1008
⑾消去法 1011
2．作图题的作法 1013
①描点法 1013
②简便描点法 1018
③平方法 1021
④分段讨论法 1026
⑤移轴法 1029
3．计算题的解法 1032
①基本公式法 1033
②定义法 1041
③判别式法 1044
④解方程组法 1048
⑤配方法 1050
⑥三角法 1053
⑦韦达定理法 1058
⑧平面几何法 1062
⑨不等式法 1065
⑩复数法 1069
4．证明题的证法 1073
①基本公式法 1073
②定义法 1076
③几何法 1079
④参数法 1082
⑤极坐标法 1086
⑥三角法 1089
⑦曲线系法 1091
⑧集项法 1095
⑨列解方程组法 1096
⑩韦达定理法 1098
（七）集合问题的解法 1104
1．集合的表示法 1104
①字母表示法 1104
②列举法 1105
③特性表示法 1107
④文氏图表示法 1108
⑤函数图象表示法 1110
2．集合的运算与集合等式的证明方法 1112
①定义法 1112
②公式法 1115
③文氏图法 1119
④函数图象法 1120
（八）初等微积分问题的解法 1122
1．求极限问题的解法 1122
①四则运算法 1122
②函数值法 1123
③两个重要函数极限公式法 1124
④无穷小分离法 1128
⑤有理化法 1130
⑥约分——通分法 1131
⑦无穷小性质法 1133
⑧三角公式法 1134
⑨换元法 1135
⑩等价无穷小法 1137
⑾夹挤法 1138
⑿实数连续性公理法 1140
⒀双侧极限法 1142
⒁微分中值公式法 1144
⒂定积分法 1145
⒃积分中值公式法 1147
⒄斯笃兹定理法 1148
⒅洛比达法则法 1150
⒆泰勒公式法 1153
2．求导数问题的解法 1154
①定义法 1154
②直接求导法 1156
③逐层求导法 1157
④对数恒等式法 1158
⑤两边取对数法 1159
⑥隐函数求导法 1160
⑦参数方程法 1161
⑧莱布尼兹法 1162
①直接积分法 1163
3．求不定积分问题的解法 1163
②第一换元法（“凑微分”法） 1165
③第二换元法 1167
④分部积分法 1170
⑤递推公式法 1172
⑥分项分式法 1174
⑦配方添项凑微法 1176
⑧欧拉代换法 1179
⑨万能代换法 1181
⑩多次代换法 1185
4．求定积分问题的解法 1186
①定义法 1186
⑾积分表法 1186
②基本公式法 1188
③换元法 1188
④分部积分法 1190
⑤函数奇偶性质法 1191
5．证明题的证法 1192
①定义法 1192
②反证法 1194
③微分中值定理法 1195
④积分中值定理法 1196
⑤换元法 1198
⑥保号性定理法 1199
（九）逻辑代数问题的解法 1201
1．二进制数的计算方法 1201
2．二进制数与十进制数的互化方法 1205
①二除取余法 1205
②二乘取整法 1207
3．逻辑式的运算方法 1209
①真值表法 1209
②公式法 1212
③对偶法 1214
④反演法 1216
①真值表法 1218
4．逻辑等式的证明方法 1218
②部分真值代入法 1220
③公式法 1223
④对偶法 1224
⑤反证法 1226
（十）概率统计问题的解法 1228
1．复杂事件的分解法 1228
①直译法 1228
②分步分解法 1230
③等价事件法 1233
④两次求逆法 1234
①古典定义法 1235
2．概率的计算方法 1235
②公式法 1246
③二项概率法 1266
④概率分布法 1274
⑤切比雪夫不等式法 1277
⑥极限定理法 1282
3．随机变量的分布问题的解法 1286
（1）分布函数、分布列及分布密度的判定方法 1287
（2）分布函数、分布列及分布密度中所含待定常数 1291
的确定方法 1291
①古典概型法 1295
（3）求离散型随机变量的概率分布的方法 1295
②直接法 1298
③辅助事件法 1300
（4）分布列或分布密度与分布函数的互求方法 1305
①累加法 1305
②邻值相减法 1308
③求积法 1309
④求导法 1312
（5）求随机变量函数的分布的方法 1313
①等价事件法 1313
②分布函数法 1315
①定义法 1321
4．求随机变量的期望与方差的方法 1321
（1）求随机变量的期望的方法 1321
②典型分布法 1329
③函数期望公式法 1330
④运算性质法 1334
⑤构造法 1335
（2）求随机变量的方差的方法 1341
①定义法 1341
②简便公式法 1343
③典型分布法 1347
④运算性质法 1349
⑤构造法 1351
5．参数估计问题的解法 1352
（1）期望与方差的点估计问题的解法 1352
①顺序统计量法 1352
②矩估计法 1354
③极大似然估计法 1361
（2）估计量优良性的判断方法 1369
（3）期望与方差的区间估计方法 1378
①u估计法 1378
②t估计法 1384
③χ2估计法 1387
6．假设检验的方法 1390
①u—检验法 1390
②t—检验法 1392
③χ2—检验法 1395
7．回归分析方法 1404
①最小二乘法 1404
②F—检验法 1411
③t—估计法 1416
④预报限反求法 1423
①数字和法 1427
（1）倍数判别问题的解法 1427
1．基础问题的解法 1427
（十一）初等数论问题的解法 1427
②末位数字法 1428
③末两位数法 1428
④隔位法 1429
⑤三位一组求和法 1429
⑥三位一组求差法 1430
⑦商数余数相加法 1430
（2）质数判别问题的解法 1431
①试除法 1431
②筛法 1432
（3）因数分解的方法 1433
（4）最大公因数的求法 1435
①因数分解法 1435
②辗转相除法 1435
（5）最小公倍数的求法 1437
①因数分解法 1437
②最大公因数法 1438
2．简单问题的解法 1438
①因数分解法 1439
②奇数偶数分类法 1442
③剩余类分类法 1444
④因式分解法 1451
⑤二项式定理法 1454
⑥数字法 1455
⑦数学归纳法 1460
⑧反证法 1461
⑨抽屉法 1462
3．综合问题的解法 1464
①因数分解法 1464
②逐个检查法 1465
③公倍数法 1468
④奇数偶数分类法 1469
⑤剩余类分类法 1472
⑥反证法 1473
⑦解不定方程法 1474
⑧抽屉法 1476
（十二）标准化试题的解法 1482
①直接法 1482
②筛选法 1488
③图象法 1493
④特殊值法 1499
⑤反推法 1502
附：本书主要参考文献 1505