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目录 1

一、基本逻辑知识 1

（一）什么是逻辑学 1

（二）逻辑思维的基本形式 2

1．概念 2

（1）什么是概念 2

（2）概念的内涵和外延 5

（3）概念间的关系 6

①同一关系 6

②交叉关系 6

③从属关系 7

④矛盾关系 8

⑤反对关系 8

（4）概念的限定和概括 9

①概念的限定 9

②概念的概括 9

（5）概念的定义 10

（6）概念的划分 10

2．判断 13

（1）什么是判断 13

（2）判断的分类 14

①性质判断 15

（3）数学中的判断 15

②关系判断 18

③假言判断 20

④选言判断 21

⑤联言判断 21

⑥负判断 22

3．命题 22

（1）什么是命题 22

（2）命题的结构 22

③联言命题 23

⑤否定命题 23

④等价命题 23

②选言命题 23

①假言命题 23

（3）简单命题与复合命题 23

（4）命题的四种形式及其关系 24

（5）命题的演算规则 25

（6）命题的条件 26

（7）公理、定理、推论 27

（8）分断式命题 28

（9）逆命题的制造 29

（2）演绎推理 32

4．推理 32

（1）什么是推理 32

（3）归纳推理 37

（4）类比推理 39

5．数学证明 39

（1）什么是证明 39

（2）证明的规则 40

（三）逻辑思维的基本规律 42

1．同一律 42

2．矛盾律 43

4．充足理由律 44

3．排中律 44

二、怎样解数学题 45

（一）解数学题的实质 45

（二）解题的要求 47

1．解答数学题要正确合理 47

2．解题过程要符合逻辑 49

3．解题方法力求简单清楚 51

4．解题理由要充分 53

5．解题的答案要详尽无遗 54

6．解题的最后结果形式要简单 56

7．注意命题条件与结论的推广 57

（1）分析条件，理解题意 60

（三）解题步骤 60

1．审题 60

（2）注意题中的常数 67

2．探求解题方法 69

（1）区分习题类型 69

（2）观察、联想、转化 71

①观察 71

②联想 78

③转化 85

4．检查答案是否合理 94

3．写出习题的解答过程 94

（1）推理要正确 95

（2）检查答案是否完备、确切 95

（3）检查解答是否合乎要求 95

（四）解题后的回忆 96

1．解题方法的回忆 96

2．错误分析 100

三、解数学题的常用方法 103

（一）观察法 103

（二）定义法 104

（三）分析法 105

（四）综合法 108

（五）反证法 110

（六）同一法 115

（七）数学归纳法 116

（八）第二数学归纳法 118

（九）整体法 120

（十）配方法 122

（十一）换元法 125

（十二）待定系数法 126

（十三）参数法 128

（十四）相消法 129

（十五）代入法 131

（十六）比较法 133

（十七）“1”的代换法 135

（十八）试探法 138

（十九）赋值法 143

（二十）构造法 145

（二十一）三角法 147

（二十二）直角坐标法 149

（二十三）极坐标法 152

（二十四）复数法 155

1．式题的解法 159

（一）算术问题的解法 159

四、各种题型的常用解法 159

（1）四则计算题的计算方法 160

（2）四则混合式题的计算方法 161

①基本法 161

②简算法 165

③约分法 170

④拆数法 172

（3）繁分数的化简方法 175

①相除法 175

②倍数法 177

③约分法 179

④逐次减层法 181

（4）速算的方法 183

①凑整法 183

②凑同法 184

③基准数法 185

④反数法 186

⑤拆数法 187

⑥公式法 188

（5）验算的方法 190

①正算法 190

②逆算法 190

③弃九法 191

2．文字题的解法 194

①直译法 194

②意译法 195

③分析法 196

④综合法 196

⑤缩句法 197

⑥分段法 199

⑦代数法 200

3．应用题的解法 203

①综合法 204

②分析法 206

③图解法 208

④直接法 211

⑤列举法 213

⑥追踪法 217

⑦逆推法 218

⑧消元法 220

⑨假设法 222

⑩对应法 226

⑾不变量法 229

⑿变换条件法 232

⒀增元法 236

⒁类比法 238

⒂比例法 240

⒃归一法 242

⒄倍比法 244

⒅归总法 247

⒆公式法 248

⒇代数法 262

（1）整式的运算方法 271

①基本运算法 271

1．代数式问题的解法 271

（二）初等代数问题的解法 271

②竖式运算法 273

③公式法 274

④分离系数法 276

⑤综合除法 278

⑥比较系数法 279

⑦数值代入法 280

（2）因式分解的方法 281

①提取公因式法 282

②公式分解法 283

③分组分解法 285

④十字相乘法 287

⑤求根法 288

⑥配方法 289

⑦余元定理法 290

⑧比较系数法 292

⑨数值代入法 293

（3）分式的运算法 295

①基本运算法 295

②比较系数法 301

③数值代入法 303

④乘因式法 304

（4）根式的运算法 305

①有理化因式法 306

②基本运算法 309

③公式法 311

2．代数方程与方程组的解法 313

（1）有理方程的解法 313

①同解变形法 313

②分解因式法 315

③求根公式法 316

④换元法 318

⑤韦达定理法 320

⑥配方法 322

⑦余元定理法 323

⑧比较系数法 324

（2）无理方程的解法 325

①乘方法 326

②观察法 328

③配方法 328

④因式分解法 329

⑤换元法 331

⑥共轭根式法 333

（3）方程组的解法 334

①代入消元法 335

②加减消元法 336

③换元法 338

④韦达定理法 342

⑤分解因式法 344

⑥行列式法 345

3．代数不等式问题的解法 347

（1）整式不等式的解法 348

①基本运算求解法 348

②配方法 349

③分解因式法 350

（2）分式不等式的解法 352

①运算求解法 353

②不等式联立法 354

③转化法 355

（3）绝对值不等式的解法 357

①公式法 357

②区间分析法 358

（4）无理不等式的解法 359

①运算求解法 359

②不等式联立法 361

（5）不等式组的解法 363

4．指数与对数问题的解法 364

①基本运算法 365

（1）幂的运算方法 365

②代数公式法 367

（2）对数的运算方法 369

①基本运算法 370

②定义法 371

③换底公式法 371

（3）指数方程的解法 373

①比较指数法 373

②取对数法 374

③换元法 375

④分解因式法 377

①定义法 378

（4）对数方程的解法 378

②换底公式法 379

③比较真数法 381

④换元法 382

5．数列问题的解法 384

（1）求数列通项公式的方法 384

①观察分析法 384

②公式法 385

③转化法 390

④归纳法 392

（2）求由递推公式给出的数列通项的方法 395

①归纳法 396

②作差求和法 398

③配项法 401

④消常数项法 404

⑤换元法 405

⑥特征方程法 406

（3）数列求和的方法 409

①公式法 409

②转化法 411

③通项公式变形法 413

④和式倒写相加法 417

⑤和式变倍相减法 419

⑥复数法 421

6．排列组合问题的解法 424

（1）排列、组合和式的求值、化简及组合恒等式的 424

证明方法 424

①基本公式法 424

②母函数法 435

③数学归纳法 438

④构造模型法 439

（2）排列组合应用题的解法 441

①模型类比法 441

②直接分步法 450

③直接分类法 456

④淘汰法 459

⑤放缩法 462

⑥集合法 467

7．函数问题的解法 473

（1）求函数定义域的方法 473

（2）求函数值域的方法 478

①直接法 478

②反函数法 479

③图象法 481

④判别式法 483

⑤平均值不等式法 486

⑥配方法 488

⑦二次函数法 489

⑧换元法 491

⑨导数法 493

（3）求函数解析式的方法 497

①待定系数法 497

②“对应”变形法 500

③过渡变量法 501

④特殊值法 502

⑤列解方程（组）法 504

⑥数学归纳法 506

（4）作函数图象的方法 507

①描点法 507

②平移法 508

③对称法 511

④叠加法 513

⑤绝对值翻转法 514

⑥导数法 515

8．复数问题的解法 521

（1）复数的运算方法 521

①直接运算法 521

②“1”的代换法 527

③“i”的代换法 529

④“ω”的代换法 531

⑤向量法 533

（2）复数综合题的解法 542

①复数相等法 542

②共轭复数法 547

③复数模的不等式法 550

9．代数证明题的证法 552

（1）恒等式的证明方法 552

①一般方法 552

②公式法 554

③代值验证法 555

④待定系数法 557

⑤数学归纳法 558

⑥拆项法 559

⑦母函数法 561

（2）条件等式的证明方法 561

①综合法 562

②分析法 565

③代八法 567

④变换法 569

⑤（代数）消元法 571

⑥换元法 572

⑦数学归纳法 573

（3）不等式的证明方法 575

①比较法 575

②综合法 580

③分析法 586

④拆项法 591

⑤放缩法 593

⑥数学归纳法 603

⑦反证法 607

⑧换元法 611

⑨辅助式法 619

⑩配方法 621

⑾判别式法 624

⑿导数法 630

⒀构造法 634

⒁重要不等式法 652

（三）平面几何问题的解法 674

1．证明题的证法 674

（1）普通问题的证明方法 675

①综合法 675

②分析法 677

③反证法 679

④同一法 681

⑤枚举归纳法 684

⑥数学归纳法 686

⑦叠置法 689

⑧拼合法 690

⑨分解法 691

⑩扩充法 692

⑾对称变换法 695

⑿平移变换法 699

⒀旋转变换法 702

⒁面积法 705

⒂射影法 708

⒃变更问题法 711

⒄计算法 715

⒅解析法 717

⒆复数法 721

⒇三角法 725

(21)极坐标法 729

(22)四点共圆法 731

(23)构图法 735

(24)传递法 738

(25)全等三角形法 740

(26)等腰三角形法 743

(27)平行四边形法 745

(28)相似三角形法 747

(29)三角形中位线法 749

（2）定值问题的证明方法 753

①特殊位置探求法 753

②计算探求法 756

（3）极值问题的证明方法 758

①三角形法 758

②极值定理法 760

③代数法 762

④三角法 763

2．作图题的作法 765

①交轨法 765

②三角形奠基法 768

③平移法 771

④对称法 773

⑤旋转法 775

⑥放缩法 776

⑦延长线法 779

⑧角弧法 781

⑨游移切线法 783

⑩辅助圆法 785

⑾面积割补法 788

⑿比例线段法 791

⒀代数法 793

⒁变更问题法 798

⒂逆序法 800

⒃伸缩进退法 803

3．计算题的解法 806

①公式法 806

②等量替换法 807

③列解方程法 809

④比例线段法 811

⑤三角法 814

⑥解析法 817

⑦面积割补法 819

（四）平面三角问题的解法 822

1．三角函数的计算方法 822

①定义法 822

②公式法 824

③代入法 829

④综合法 831

⑤“1”的代换法 834

⑥平方公式法 835

⑦赋值法 837

⑧构造法 839

2．三角等式的证明方法 842

①定义法 842

②分析法 845

③综合法 846

④相消法 848

⑤数学归纳法 850

⑥化为两弦法 855

⑦“1”的代换法 857

⑧降幂法 859

⑨比较法 861

⑩反三角运算法 862

⑾复数法 865

⑿边角互换法 866

⒀直推法 867

⒁代入法 870

⒂消元法 873

⒃换元法 876

⒄构造法 879

3．三角不等式的证明方法 882

①比较法 883

②单位圆法 885

③万能代换法 887

④极值法 889

⑤公式法 892

⑥构造方程法 894

⑦构造图形法 896

⑧反证法 898

⑨数学归纳法 900

4．三角作图题的作法 901

①描点法 901

②几何法 905

③变换法 906

5．三角方程的解法 909

①变量代换法 910

②因式分解法 912

③引用辅助角法 914

④万能置换法 919

⑤化为两弦法 923

⑥消元法 925

⑦相除法 928

⑧取三角函数法 930

①定义法 933

1．计算题的解法 933

（五）立体几何问题的解法 933

②计算法 935

③判别式法 936

④体积法 938

⑤割补法 940

⑥三角法 942

⑦穷举寻径法 945

2．证明题的证法 948

①定义法 948

②分析法 950

③综合法 953

④反证法 955

⑤体积法 956

⑥构造法 959

⑦三角法 962

⑧参数法 964

（六）平面解析几何问题的解法 966

1．求曲线方程的方法 966

①定义法 966

②直译法 969

③待定系数法 974

④平面几何法 977

⑤转移法 983

⑥交轨法 986

⑦参数法 992

⑧极坐标法 998

⑨复数法 1003

⑩韦达定理法 1008

⑾消去法 1011

2．作图题的作法 1013

①描点法 1013

②简便描点法 1018

③平方法 1021

④分段讨论法 1026

⑤移轴法 1029

3．计算题的解法 1032

①基本公式法 1033

②定义法 1041

③判别式法 1044

④解方程组法 1048

⑤配方法 1050

⑥三角法 1053

⑦韦达定理法 1058

⑧平面几何法 1062

⑨不等式法 1065

⑩复数法 1069

4．证明题的证法 1073

①基本公式法 1073

②定义法 1076

③几何法 1079

④参数法 1082

⑤极坐标法 1086

⑥三角法 1089

⑦曲线系法 1091

⑧集项法 1095

⑨列解方程组法 1096

⑩韦达定理法 1098

（七）集合问题的解法 1104

1．集合的表示法 1104

①字母表示法 1104

②列举法 1105

③特性表示法 1107

④文氏图表示法 1108

⑤函数图象表示法 1110

2．集合的运算与集合等式的证明方法 1112

①定义法 1112

②公式法 1115

③文氏图法 1119

④函数图象法 1120

（八）初等微积分问题的解法 1122

1．求极限问题的解法 1122

①四则运算法 1122

②函数值法 1123

③两个重要函数极限公式法 1124

④无穷小分离法 1128

⑤有理化法 1130

⑥约分——通分法 1131

⑦无穷小性质法 1133

⑧三角公式法 1134

⑨换元法 1135

⑩等价无穷小法 1137

⑾夹挤法 1138

⑿实数连续性公理法 1140

⒀双侧极限法 1142

⒁微分中值公式法 1144

⒂定积分法 1145

⒃积分中值公式法 1147

⒄斯笃兹定理法 1148

⒅洛比达法则法 1150

⒆泰勒公式法 1153

2．求导数问题的解法 1154

①定义法 1154

②直接求导法 1156

③逐层求导法 1157

④对数恒等式法 1158

⑤两边取对数法 1159

⑥隐函数求导法 1160

⑦参数方程法 1161

⑧莱布尼兹法 1162

①直接积分法 1163

3．求不定积分问题的解法 1163

②第一换元法（“凑微分”法） 1165

③第二换元法 1167

④分部积分法 1170

⑤递推公式法 1172

⑥分项分式法 1174

⑦配方添项凑微法 1176

⑧欧拉代换法 1179

⑨万能代换法 1181

⑩多次代换法 1185

4．求定积分问题的解法 1186

①定义法 1186

⑾积分表法 1186

②基本公式法 1188

③换元法 1188

④分部积分法 1190

⑤函数奇偶性质法 1191

5．证明题的证法 1192

①定义法 1192

②反证法 1194

③微分中值定理法 1195

④积分中值定理法 1196

⑤换元法 1198

⑥保号性定理法 1199

（九）逻辑代数问题的解法 1201

1．二进制数的计算方法 1201

2．二进制数与十进制数的互化方法 1205

①二除取余法 1205

②二乘取整法 1207

3．逻辑式的运算方法 1209

①真值表法 1209

②公式法 1212

③对偶法 1214

④反演法 1216

①真值表法 1218

4．逻辑等式的证明方法 1218

②部分真值代入法 1220

③公式法 1223

④对偶法 1224

⑤反证法 1226

（十）概率统计问题的解法 1228

1．复杂事件的分解法 1228

①直译法 1228

②分步分解法 1230

③等价事件法 1233

④两次求逆法 1234

①古典定义法 1235

2．概率的计算方法 1235

②公式法 1246

③二项概率法 1266

④概率分布法 1274

⑤切比雪夫不等式法 1277

⑥极限定理法 1282

3．随机变量的分布问题的解法 1286

（1）分布函数、分布列及分布密度的判定方法 1287

（2）分布函数、分布列及分布密度中所含待定常数 1291

的确定方法 1291

①古典概型法 1295

（3）求离散型随机变量的概率分布的方法 1295

②直接法 1298

③辅助事件法 1300

（4）分布列或分布密度与分布函数的互求方法 1305

①累加法 1305

②邻值相减法 1308

③求积法 1309

④求导法 1312

（5）求随机变量函数的分布的方法 1313

①等价事件法 1313

②分布函数法 1315

①定义法 1321

4．求随机变量的期望与方差的方法 1321

（1）求随机变量的期望的方法 1321

②典型分布法 1329

③函数期望公式法 1330

④运算性质法 1334

⑤构造法 1335

（2）求随机变量的方差的方法 1341

①定义法 1341

②简便公式法 1343

③典型分布法 1347

④运算性质法 1349

⑤构造法 1351

5．参数估计问题的解法 1352

（1）期望与方差的点估计问题的解法 1352

①顺序统计量法 1352

②矩估计法 1354

③极大似然估计法 1361

（2）估计量优良性的判断方法 1369

（3）期望与方差的区间估计方法 1378

①u估计法 1378

②t估计法 1384

③χ2估计法 1387

6．假设检验的方法 1390

①u—检验法 1390

②t—检验法 1392

③χ2—检验法 1395

7．回归分析方法 1404

①最小二乘法 1404

②F—检验法 1411

③t—估计法 1416

④预报限反求法 1423

①数字和法 1427

（1）倍数判别问题的解法 1427

1．基础问题的解法 1427

（十一）初等数论问题的解法 1427

②末位数字法 1428

③末两位数法 1428

④隔位法 1429

⑤三位一组求和法 1429

⑥三位一组求差法 1430

⑦商数余数相加法 1430

（2）质数判别问题的解法 1431

①试除法 1431

②筛法 1432

（3）因数分解的方法 1433

（4）最大公因数的求法 1435

①因数分解法 1435

②辗转相除法 1435

（5）最小公倍数的求法 1437

①因数分解法 1437

②最大公因数法 1438

2．简单问题的解法 1438

①因数分解法 1439

②奇数偶数分类法 1442

③剩余类分类法 1444

④因式分解法 1451

⑤二项式定理法 1454

⑥数字法 1455

⑦数学归纳法 1460

⑧反证法 1461

⑨抽屉法 1462

3．综合问题的解法 1464

①因数分解法 1464

②逐个检查法 1465

③公倍数法 1468

④奇数偶数分类法 1469

⑤剩余类分类法 1472

⑥反证法 1473

⑦解不定方程法 1474

⑧抽屉法 1476

（十二）标准化试题的解法 1482

①直接法 1482

②筛选法 1488

③图象法 1493

④特殊值法 1499

⑤反推法 1502

附：本书主要参考文献 1505