目录 1
第1章 方程的导出和定解问题 1
§1.1 方程的导出 1
§1.2 定解条件和定解问题 9
§1.3 反应—扩散方程 13
§1.4 二阶线性方程的分类与叠加原理 18
习题 29
第2章 行波法 31
§2.1 一维波动方程的初值问题 31
2.1.1 无界弦的自由振动 31
2.1.2 半无界弦的自由振动 33
2.1.3 无界弦的强迫振动 35
§2.2 二维与三维波动方程 39
2.2.1 球对称情况 40
2.2.2 一般情况 41
2.2.3 空间非齐次波动方程 44
2.2.4 降维法及二维波动方程 45
§2.3 解的物理意义 47
2.3.1 D Alembert公式的物理意义 47
2.3.2 依赖区域、决定区域和影响区域 48
习题二 54
第3章 分离变量法和特殊函数 57
§3.1 齐次边界条件的定解问题 57
3.1.1 齐次方程齐次边界条件 57
3.1.2 非齐次方程齐次边界条件 69
3.2.1 边界条件齐次化 72
§3.2 非齐次边界条件的定解问题 72
3.2.2 周期性条件和自然边界条件 77
§3.3 柱域中的分离变量法和Bessel函数 80
3.3.1 Bessel方程的引出 80
3.3.2 Bessel函数及其性质 83
§3.4 球域中的分离变量法及Legendre多项式 97
3.4.1 Legendre方程的引出 97
3.4.2 Legendre多项式 99
§3.5 本征值理论 110
3.5.1 Sturm—Liouville边值问题 110
3.5.2 本征函数的正交性 113
3.5.3 展开定理 117
3.5.4 奇异的本征值问题 119
习题三 121
第4章 积分变换法 128
§4.1 Fourier变换及其性质 128
§4.1.1 Fourier变换的形式导出及它的定义 128
§4.1.2 Fourier变换的基本性质 131
§4.1.3 多维Fourier变换的简单介绍 134
§4.2 Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用 134
4.2.1 一维热传导方程的初值问题 134
4.2.2 一维波动方程的初值问题 136
4.2.3 应用Fourier变换求解边值问题 138
§4.3 Laplace变换及其性质 139
4.3.1 Laplace变换的形式推导 139
4.3.3 Laplace变换的基本性质 140
4.3.2 存在定理与反演公式 140
4.3.4 Laplace逆变换与展开定理 144
§4.4 Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用 148
4.4.1 热传导方程的混合问题 148
4.4.2 弦振动方程的混合问题 150
习题四 151
第5章 Green函数法 155
§5.1 δ函数及它的基本运算 155
5.1.1 δ函数与广义函数 155
5.1.2 广义函数及它的基本运算 162
5.1.3 广义函数（δ函数）的Fourier变换 164
5.2.1 Green公式、基本解与基本积分公式 165
§5.2 调和方程第一边值问题的Green函数法 165
5.2.2 Green函数及其性质 168
5.2.3 特殊区域的Green函数 170
§5.3 热传导方程的Green函数法 176
5.3.1 混合问题 176
5.3.2 初值问题 181
习题五 184
第6章 数值解法 188
§6.1 差分解法 188
6.1.1 抛物型方程混合问题的差分方法 188
6.1.2 双曲型方程的差分格式 193
6.1.3 Poisson方程第一边值问题的差分格式 195
§6.2 变分原理 198
6.2.1 泛函和泛函的极值 199
6.2.2 与偏微分方程边值问题等价的变分问题 203
§6.3 解Laplace方程边值问题的有限元法 207
6.3.1 Galerkin方法 208
6.3.2 Sobolev空间与弱解 210
6.3.3 边值问题有限元法概述 211
习题六 222
第7章 一阶偏微分方程组 225
§7.1 例子及有关概念 225
§7.2 特征理论 230
§7.3 狭义双曲型方程组的Cauchy问题 236
§7.4 特征线法 244
习题七 253
第8章 非线性方程 255
§8.1 追赶问题和广义解 255
§8.2 交通流模型和Burgers方程 265
§8.3 KdV方程和孤立子（Soliton） 269
8.3.1 KdV方程的由来 269
8.3.2 KdV方程的孤立波解 271
8.3.3 孤立波的相互作用和孤立子 275
§8.4 不变变换和相似解 280
8.4.1 平移变换和标度变换 280
8.4.2 Lie点变换群 283
8.4.3 相似约化和相似解 291
习题八 295
附录A Fourier变换表 298
附录B Laplace变换表 299
附录C 柱函数、球函数的公式和数表 300
参考文献 305