目录 1
序 1
前言 1
第1章 函数、极限与连续 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 2
1.1.2 函数的几种简单性态 3
1.1.3 反函数 4
1.1.4 初等函数 5
1.1.5 建立函数关系举例 6
习题1-1 8
1.2 极限 9
1.2.1 数列的极限 9
1.2.2 函数的极限 11
1.2.3 无穷小与无穷大 14
习题1-2 16
1.3 极限运算 17
1.3.1 极限的四则运算 17
1.3.2 两个重要极限 19
1.3.3 无穷小的比较 22
习题1-3 23
1.4 函数的连续性 25
1.4.1 函数连续性概念 25
1.4.2 函数的间断点 27
1.4.3 闭区间上连续函数的性质 29
1.4.4 二分法 31
习题1-4 32
第2章 导数与微分 34
2.1 导数的概念 34
2.1.1 导数的定义 34
2.1.2 可导与连续的关系 38
2.1.3 导数的实际意义 39
习题2-1 40
2.2 导数的运算 41
2.2.1 函数的四则运算的求导法则 42
2.2.2 复合函数的求导法则 44
2.2.3 隐函数求导法 45
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法 49
习题2-2 50
2.3 高阶导数 52
习题2-3 53
2.4 微分的概念 53
2.4.1 微分的定义 53
2.4.2 微分的运算法则 56
2.4.3 微分在近似计算中的应用 57
2.4.4 弧的微分 59
习题2-4 61
2.5 曲线的曲率 62
2.5.1 曲率的概念 62
2.5.2 曲率的计算公式 64
2.5.3 曲率圆和曲率半径 66
习题2-5 67
第3章 导数的应用 68
3.1 微分中值定理 68
3.1.1 罗尔定理 68
3.1.2 拉格朗日中值定理 69
3.1.3 泰勒公式 70
习题3-1 73
3.2 函数的单调性与极值 73
3.2.1 函数单调性的判别法 73
3.2.2 极值 75
3.2.3 函数的最大值和最小值 78
习题3-2 81
3.3 曲线的凹凸和拐点 82
3.3.1 曲线的凹凸 82
3.3.2 曲线的拐点 83
习题3-3 85
3.4 方程根的近似求法 85
习题3-4 88
第4章 定积分与不定积分 89
4.1 定积分的概念 89
4.1.1 定积分的定义 89
4.1.2 定积分的几何意义与性质 94
习题4-1 98
4.2 微积分基本定理 98
4.2.1 原函数与不定积分的概念 99
4.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 102
4.3.1 不定积分的性质 106
4.3 不定积分的性质与基本积分公式 106
习题4-2 106
4.3.2 基本积分公式 107
习题4-3 109
4.4 基本积分法 109
4.4.1 换元积分法 110
4.4.2 分部积分法 117
习题4-4 121
4.5 定积分的近似计算 122
4.5.1 矩形法 122
4.5.2 梯形法 123
4.5.3 抛物线法 124
习题4-5 125
第5章 定积分的应用 127
5.1 定积分的微元法 127
5.2.1 直角坐标系下平面图形的面积 128
5.2 平面图形的面积 128
5.2.2 极坐标系下平面图形的面积 131
习题5-2 132
5.3 体积 132
5.3.1 平行截面面积为已知的立体体积 132
5.3.2 旋转体的体积 133
习题5-3 135
5.4 平面曲线的弧长 136
习题5-4 137
5.5 定积分在物理方面的应用 137
5.5.1 变力沿直线所作的功 137
5.5.2 液体的静压力 139
5.5.3 平均值和均方根 140
习题5-5 142
6.1 常微分方程的概念 144
第6章 常微分方程 144
习题6-1 147
6.2 一阶微分方程 147
6.2.1 可分离变量的微分方程 147
6.2.2 齐次微分方程 149
6.2.3 一阶线性微分方程 150
习题6-2 153
6.3 二阶常系数线性微分方程 154
6.3.1 二阶常系数线性微分方程的解的结构 156
6.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 157
6.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 160
习题6-3 164
6.4 微分方程应用举例 165
6.4.1 一阶微分方程应用举例 165
6.4.2 二阶微分方程应用举例 168
习题6-4 170
7.1 空间直角坐标系 171
第7章 向量代数与空间解析几何 171
习题7-1 172
7.2 向量 173
7.2.1 向量的概念 173
7.2.2 向量的线性运算 173
7.2.3 向量的坐标表达式 175
习题7-2 179
7.3 两向量的数量积与向量积 179
7.3.1 两向量的数量积 179
7.3.2 两向量的向量积 182
习题7-3 186
7.4 平面和空间直线 186
7.4.1 平面及其方程 186
7.4.2 空间直线及其方程 189
习题7-4 191
7.5.1 曲面及其方程 192
7.5 曲面和空间曲线 192
7.5.2 空间曲线及其方程 196
7.5.3 二次曲面 198
习题7-5 202
第8章 多元函数微分学 203
8.1 多元函数的概念 203
习题8-1 206
8.2 偏导数 206
8.2.1 偏导数的概念 206
8.2.2 高阶偏导数 210
习题8-2 212
8.3 全微分的概念 213
习题8-3 216
8.4 多元函数求导法则 216
8.4.1 多元复合函数求导法则 216
8.4.2 隐函数求导法则 220
习题8-4 221
8.5 偏导数的几何应用 222
8.5.1 空间曲线的切线与法平面 222
8.5.2 曲面的切平面与法线 224
习题8-5 226
8.6 多元函数的极值 227
8.6.1 多元函数极值的概念 227
8.6.2 多元函数极值的判别法 228
8.6.3 条件极值 229
习题8-6 231
第9章 多元函数积分学 232
9.1 二重积分 232
9.1.1 二重积分的概念和性质 232
9.1.2 二重积分的计算 236
9.1.3 二重积分的应用 247
习题9-1 255
9.2 曲线积分 258
9.2.1 对坐标的曲线积分 258
9.2.2 对坐标的曲线积分的计算 260
9.2.3 格林公式 263
9.2.4 平面上的曲线积分与路径无关的条件 267
习题9-2 270
第10章 矩阵及其应用 273
10.1 矩阵 273
10.1.1 矩阵的概念 273
10.1.2 矩阵的线性运算 276
10.1.3 矩阵的乘法运算 279
10.1.4 矩阵的转置运算 283
习题10-1 285
10.2 行列式 286
10.2.1 二阶和三阶行列式 286
10.2.2 n阶行列式 289
10.2.3 行列式的性质 292
习题10-2 298
10.3 逆矩阵及其求法 300
10.3.1 线性方程组的矩阵表示 300
10.3.2 逆矩阵的概念 302
10.3.3 逆矩阵的存在性及其求法 303
10.3.4 逆矩阵的性质 305
习题10-3 306
10.4 矩阵的秩与初等变换 306
10.4.1 矩阵的秩及其求法 306
10.4.2 利用初等变换求矩阵的秩 308
习题10-4 311
10.5 线性方程组 312
10.5.1 克莱姆法则 312
10.5.2 用逆矩阵解线性方程组 317
10.5.3 用消元法解线性方程组 319
习题10-5 329
第11章 概率与统计 331
11.1 随机事件与概率 331
11.1.1 随机事件 332
11.1.2 事件的频率和概率 336
11.1.3 概率的基本性质 340
11.1.4 加法定理 340
11.1.5 条件概率、全概率公式 341
11.1.6 独立性 344
习题11-1 346
11.2 随机变量及其数字特征 347
11.2.1 随机变量与分布函数 348
11.2.2 离散型随机变量的分布 350
11.2.3 连续型随机变量的分布 355
11.2.4 随机变量的数学期望与方差 361
习题11-2 367
11.3 常用数理统计方法 368
11.3.1 数据处理方法 369
11.3.2 一元线性回归 372
11.3.3 正交试验设计 374
习题11-3 382
第12章 级数 385
12.1 数项级数 385
12.1.1 数项级数的概念 385
12.1.2 级数收敛的必要条件 388
12.1.3 正项级数及其审敛法 390
12.1.4 交错级数及其审敛法 392
12.1.5 绝对收敛与条件收敛 394
习题12-1 397
12.2 幂级数 399
12.2.1 函数项级数的概念 399
12.2.2 幂级数及其收敛半径 401
12.2.3 幂级数的运算及和函数 404
12.2.4 泰勒级数 406
12.2.5 函数展开成幂级数 409
12.2.6 幂级数的应用举例 412
习题12-2 416
12.3 傅立叶级数 417
12.3.1 三角函数系及其正交性 418
12.3.2 周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数 420
12.3.3 定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数 425
12.3.4 周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数 428
12.3.5 傅立叶级数的指数形式 430
12.3.6 傅立叶级数的应用举例 432
习题12-3 434
附录A 泊松分布表 436
附录B 标准正态分布的分布函数表 437