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目录 1

序 1

前言 1

第1章 函数、极限与连续 1

1.1　函数 1

1.1.1　函数的概念 2

1.1.2　函数的几种简单性态 3

1.1.3　反函数 4

1.1.4　初等函数 5

1.1.5　建立函数关系举例 6

习题1-1 8

1.2　极限 9

1.2.1　数列的极限 9

1.2.2　函数的极限 11

1.2.3　无穷小与无穷大 14

习题1-2 16

1.3　极限运算 17

1.3.1　极限的四则运算 17

1.3.2　两个重要极限 19

1.3.3　无穷小的比较 22

习题1-3 23

1.4　函数的连续性 25

1.4.1　函数连续性概念 25

1.4.2　函数的间断点 27

1.4.3　闭区间上连续函数的性质 29

1.4.4　二分法 31

习题1-4 32

第2章 导数与微分 34

2.1　导数的概念 34

2.1.1　导数的定义 34

2.1.2　可导与连续的关系 38

2.1.3　导数的实际意义 39

习题2-1 40

2.2　导数的运算 41

2.2.1 函数的四则运算的求导法则 42

2.2.2　复合函数的求导法则 44

2.2.3　隐函数求导法 45

2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法 49

习题2-2 50

2.3 高阶导数 52

习题2-3 53

2.4　微分的概念 53

2.4.1　微分的定义 53

2.4.2　微分的运算法则 56

2.4.3　微分在近似计算中的应用 57

2.4.4　弧的微分 59

习题2-4 61

2.5　曲线的曲率 62

2.5.1　曲率的概念 62

2.5.2　曲率的计算公式 64

2.5.3　曲率圆和曲率半径 66

习题2-5 67

第3章 导数的应用 68

3.1　微分中值定理 68

3.1.1　罗尔定理 68

3.1.2　拉格朗日中值定理 69

3.1.3　泰勒公式 70

习题3-1 73

3.2　函数的单调性与极值 73

3.2.1 函数单调性的判别法 73

3.2.2　极值 75

3.2.3　函数的最大值和最小值 78

习题3-2 81

3.3 曲线的凹凸和拐点 82

3.3.1 曲线的凹凸 82

3.3.2　曲线的拐点 83

习题3-3 85

3.4　方程根的近似求法 85

习题3-4 88

第4章 定积分与不定积分 89

4.1　定积分的概念 89

4.1.1　定积分的定义 89

4.1.2　定积分的几何意义与性质 94

习题4-1 98

4.2　微积分基本定理 98

4.2.1 原函数与不定积分的概念 99

4.2.2　牛顿—莱布尼兹公式 102

4.3.1　不定积分的性质 106

4.3　不定积分的性质与基本积分公式 106

习题4-2 106

4.3.2　基本积分公式 107

习题4-3 109

4.4　基本积分法 109

4.4.1　换元积分法 110

4.4.2　分部积分法 117

习题4-4 121

4.5　定积分的近似计算 122

4.5.1　矩形法 122

4.5.2　梯形法 123

4.5.3　抛物线法 124

习题4-5 125

第5章　定积分的应用 127

5.1　定积分的微元法 127

5.2.1 直角坐标系下平面图形的面积 128

5.2　平面图形的面积 128

5.2.2　极坐标系下平面图形的面积 131

习题5-2 132

5.3　体积 132

5.3.1　平行截面面积为已知的立体体积 132

5.3.2　旋转体的体积 133

习题5-3 135

5.4　平面曲线的弧长 136

习题5-4 137

5.5　定积分在物理方面的应用 137

5.5.1　变力沿直线所作的功 137

5.5.2　液体的静压力 139

5.5.3　平均值和均方根 140

习题5-5 142

6.1　常微分方程的概念 144

第6章 常微分方程 144

习题6-1 147

6.2　一阶微分方程 147

6.2.1　可分离变量的微分方程 147

6.2.2　齐次微分方程 149

6.2.3　一阶线性微分方程 150

习题6-2 153

6.3　二阶常系数线性微分方程 154

6.3.1　二阶常系数线性微分方程的解的结构 156

6.3.2　二阶常系数线性齐次微分方程的解法 157

6.3.3　二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 160

习题6-3 164

6.4　微分方程应用举例 165

6.4.1　一阶微分方程应用举例 165

6.4.2　二阶微分方程应用举例 168

习题6-4 170

7.1 空间直角坐标系 171

第7章 向量代数与空间解析几何 171

习题7-1 172

7.2 向量 173

7.2.1 向量的概念 173

7.2.2　向量的线性运算 173

7.2.3 向量的坐标表达式 175

习题7-2 179

7.3　两向量的数量积与向量积 179

7.3.1　两向量的数量积 179

7.3.2　两向量的向量积 182

习题7-3 186

7.4　平面和空间直线 186

7.4.1　平面及其方程 186

7.4.2　空间直线及其方程 189

习题7-4 191

7.5.1　曲面及其方程 192

7.5 曲面和空间曲线 192

7.5.2　空间曲线及其方程 196

7.5.3　二次曲面 198

习题7-5 202

第8章　多元函数微分学 203

8.1　多元函数的概念 203

习题8-1 206

8.2　偏导数 206

8.2.1　偏导数的概念 206

8.2.2　高阶偏导数 210

习题8-2 212

8.3　全微分的概念 213

习题8-3 216

8.4　多元函数求导法则 216

8.4.1　多元复合函数求导法则 216

8.4.2　隐函数求导法则 220

习题8-4 221

8.5　偏导数的几何应用 222

8.5.1　空间曲线的切线与法平面 222

8.5.2　曲面的切平面与法线 224

习题8-5 226

8.6　多元函数的极值 227

8.6.1　多元函数极值的概念 227

8.6.2　多元函数极值的判别法 228

8.6.3　条件极值 229

习题8-6 231

第9章　多元函数积分学 232

9.1 二重积分 232

9.1.1　二重积分的概念和性质 232

9.1.2　二重积分的计算 236

9.1.3　二重积分的应用 247

习题9-1 255

9.2 曲线积分 258

9.2.1 对坐标的曲线积分 258

9.2.2　对坐标的曲线积分的计算 260

9.2.3　格林公式 263

9.2.4　平面上的曲线积分与路径无关的条件 267

习题9-2 270

第10章　矩阵及其应用 273

10.1　矩阵 273

10.1.1　矩阵的概念 273

10.1.2　矩阵的线性运算 276

10.1.3　矩阵的乘法运算 279

10.1.4　矩阵的转置运算 283

习题10-1 285

10.2　行列式 286

10.2.1 二阶和三阶行列式 286

10.2.2　n阶行列式 289

10.2.3　行列式的性质 292

习题10-2 298

10.3　逆矩阵及其求法 300

10.3.1　线性方程组的矩阵表示 300

10.3.2　逆矩阵的概念 302

10.3.3　逆矩阵的存在性及其求法 303

10.3.4　逆矩阵的性质 305

习题10-3 306

10.4　矩阵的秩与初等变换 306

10.4.1　矩阵的秩及其求法 306

10.4.2　利用初等变换求矩阵的秩 308

习题10-4 311

10.5　线性方程组 312

10.5.1 克莱姆法则 312

10.5.2　用逆矩阵解线性方程组 317

10.5.3　用消元法解线性方程组 319

习题10-5 329

第11章　概率与统计 331

11.1　随机事件与概率 331

11.1.1　随机事件 332

11.1.2　事件的频率和概率 336

11.1.3　概率的基本性质 340

11.1.4　加法定理 340

11.1.5　条件概率、全概率公式 341

11.1.6　独立性 344

习题11-1 346

11.2　随机变量及其数字特征 347

11.2.1　随机变量与分布函数 348

11.2.2　离散型随机变量的分布 350

11.2.3　连续型随机变量的分布 355

11.2.4　随机变量的数学期望与方差 361

习题11-2 367

11.3　常用数理统计方法 368

11.3.1　数据处理方法 369

11.3.2　一元线性回归 372

11.3.3　正交试验设计 374

习题11-3 382

第12章 级数 385

12.1　数项级数 385

12.1.1　数项级数的概念 385

12.1.2　级数收敛的必要条件 388

12.1.3　正项级数及其审敛法 390

12.1.4　交错级数及其审敛法 392

12.1.5　绝对收敛与条件收敛 394

习题12-1 397

12.2　幂级数 399

12.2.1　函数项级数的概念 399

12.2.2　幂级数及其收敛半径 401

12.2.3　幂级数的运算及和函数 404

12.2.4　泰勒级数 406

12.2.5　函数展开成幂级数 409

12.2.6　幂级数的应用举例 412

习题12-2 416

12.3　傅立叶级数 417

12.3.1　三角函数系及其正交性 418

12.3.2　周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数 420

12.3.3　定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数 425

12.3.4　周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数 428

12.3.5　傅立叶级数的指数形式 430

12.3.6　傅立叶级数的应用举例 432

习题12-3 434

附录A　泊松分布表 436

附录B　标准正态分布的分布函数表 437