数学是什么？ 1
第一章 自然数 7
引言 7
1 整数的计算 8
1．算术的规律 8
2．整数的表示 12
3．非十进位制中的计算 15
1．数学归纳法原理 19
2 数系的无限性 数学归纳法 19
2．等差级数 22
3．等比级数 24
4．前n项平方和 25
5．一个重要的不等式 27
6．二项式定理 28
7．再谈数学归纳法 31
第一章补充 数论 34
引言 34
1．基本事实 35
1 素数 35
2．素数的分布 40
2 同余 49
1．一般概念 49
2．费尔玛定理 55
3．二次剩余 57
3 毕达哥拉斯数和费尔玛“定理” 60
4 欧几里得辗转相除法 63
1．一般理论 63
2．在算术基本定理上的应用 69
3．欧拉函数？ 再谈费尔玛定理 70
4．连分数 丢番都方程 72
第二章 数学中的数系 76
引言 76
1 有理数 76
1．作为度量工具的有理数 76
2．数学内部对有理数的需要推广的原则 79
3．有理数的几何解释 82
2 不可公度线段 无理数和极限概念 84
1．引言 84
2．十进位小数 无限小数 88
3．极限 无穷等比级数 91
4．有理数和循环小数 96
5．用区间套给出无理数的一般定义 98
6．定义无理数的另一个方法 戴特金分割 101
1．基本原理 103
3 解析几何概述 103
2．直线方程和曲线方程 105
4 无限的数学分析 109
1．基本概念 109
2．有理数的可数性和连续统的不可数性 111
3．康托的“基数” 117
4．反证法 120
5．有关无限的悖论 122
6．数学的基础 123
1．复数的起源 124
5 复数 124
2．复数的几何解释 128
3．棣莫弗公式和单位根 135
4．代数基本定理 139
6 代数数和超越数 142
1．定义和存在性 142
2．柳维尔定理和超越数的构造 143
第二章补充 集合代数 149
1．一般理论 149
2．在数理逻辑中的应用 154
3．在概率论中的一个应用 157
第三章 几何作图 数域的代数 160
引言 160
Ⅰ 不可能性的证明和代数 164
1 基本几何作图 164
1．域的构作和开平方根 164
2．正多边形 167
3．阿波罗尼斯问题 170
1．一般理论 172
2 可作图的数和数域 172
2．可作图的数都是代数数 181
3 三个不可解的希腊问题 183
1．倍立方体问题 183
2．关于三次方程的一个定理 185
3．三等分任意角 187
4．正七边形 189
5．关于化圆为方的问题 191
1．一般说明 192
Ⅱ 作图的各种方法 192
4 几何变换 反演 192
2．反演的性质 194
3．反演点的几何作图 196
4．只用圆规如何二等分一线段及求圆心 198
5 用其它工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图 199
1．倍立方体的古典作图 199
2．只限于用圆规 200
3．用机械工具作图 机械曲线 旋轮线 206
4．连杆 波西里叶和哈特的反演器 209
6 再谈反演及其应用 212
1．角的不变性 圆族 212
2．在阿波罗尼斯问题上的应用 216
3．重复反射 217
第四章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何 220
1 引言 220
1．几何性质的分类变 换下的不变性 220
2．射影变换 223
1．射影变换群 224
2 基本概念 224
2．笛沙格定理 226
3 交比 229
1．定义和不变性的证明 229
2．在完全四边形上的应用 237
4 平行性和无穷远 238
1．作为“理想点”的无穷远点 238
2．理想元素和射影 242
3．含有无穷远元素的交比 244
1．初步说明 245
5 应用 245
2．平面上笛沙格定理的证明 247
3．巴斯嘉定理 249
4．布利安桑定理 250
5．对偶性简介 251
6 解析表示 253
1．初步说明 253
2．齐次坐标 对偶性的代数基础 255
7 只用直尺的作图问题 259
1．二次曲线的初等度量几何 262
8 二次曲线和二次曲面 262
2．二次曲线的射影性质 265
3．二次曲线看作线曲线 270
4．关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理 274
5．双曲面 277
9 公理体系和非欧几何 279
1．公理方法 279
2．双曲非欧几里得几何 284
3．几何与现实 289
4．庞加莱的模型 291
5．椭圆几何或黎曼几何 292
附录 高维空间中的几何学 294
1．引言 294
2．解析的方法 295
3．几何的方法或组合的方法 298
第五章 拓扑学 303
引言 303
1 多面体的欧拉公式 305
2 图形的拓扑性质 310
1．拓扑性质 310
2．连通性 312
3 拓扑定理的其它例子 314
1．若当曲线定理 314
2．四色问题 316
3．维的概念 318
4．不动点定理 323
5．纽结 327
1．曲面的亏格 328
4 曲面的拓扑分类 328
2．曲面的欧拉示性数 331
3．单侧曲面 333
附录 338
1．五色定理 338
2．多边形的若当曲线定理 341
3．代数基本定理 344
引言 348
第六章 函数和极限 348
1 变量和函数 349
Ⅰ．定义和例子 349
2．角的弧度制 355
3．函数的图象 反函数 356
4．复合函数 360
5．连续性 362
6．多元函数 365
7．函数和变换 369
1．序列an的极限 371
2 极限 371
2．单调序列 378
3．欧拉数e 381
4．数π 384
5．连分数 386
3 连续趋近的极限 390
1．引言 一般定义 390
2．极限概念的评述 392
3．sinx/x的极限 395
4．当x→∞时的极限 398
4 连续性的精确定义 400
5 有关连续函数的两个基本定理 403
1．布尔查诺定理 403
2．布尔查诺定理的证明 404
3．维尔斯特拉斯极值定理 405
4．有关序列的一个定理 紧致集 408
6 布尔查诺定理的一些应用 410
1．几何上的应用 410
2．力学问题上的一个应用 413
1．一般说明 416
第六章补充 极限和连续的一些例题 416
1 极限的例题 416
2．qn的极限 417
3．？的极限 418
4．不连续函数当作连续函数的极限 421
5．极限的叠代求法 422
2 连续性的例题 425
第七章 极大与极小 427
引言 427
1．两边给定求面积极大的三角形 428
1 初等几何中的问题 428
2．赫伦定理 光线的极值性质 429
3．三角形问题上的应用 432
4．椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质 433
5．到给定曲线的距离的极值 437
2 基本极值问题的一般原则 440
1．原则 440
2．例题 442
1．极值和驻点 444
3 驻点与微分学 444
2．多元函数的极大和极小 鞍点 446
3．极小极大点和拓扑学 448
4．点到曲面的距离 449
4 施瓦茨的三角形问题 450
1．施瓦茨的证明 450
2．另一种证法 453
3．钝角三角形 456
4．由光线形成的三角形 457
5．有关反射和遍历运动的说明 459
5 施泰纳问题 460
1．问题及解答 460
2．两种不同情况的分析 462
3．一个补充问题 465
4．说明与习题 466
5．推广到道路网问题 467
6 极值与不等式 469
1．两个正量的算术平均和几何平均 470
2．推广到n个变量 472
3．最小二乘法 474
7 极值的存在性 狄里赫莱原理 476
1．一般说明 476
2．例题 479
3．初等极值问题 481
4．比较复杂情形中所存在的困难 483
8 等周问题 485
9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系 489
1．引言 493
10 变分法 493
2．变分法 费尔玛光学原理 494
3．贝努利对捷线问题的处理 497
4．球面上的测地线与极大-极小 499
11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验 500
1．引言 500
2．肥皂膜实验 501
3．普拉图问题的几种新实验 503
4．其它数学问题的实验解法 508
引言 515
第八章 微积分 515
1 积分 517
1．面积看作是一个极限 517
2．积分 519
3．积分概念的一般说明 一般定义 524
4．积分举例 x？的积分 526
5．“积分运算”的法则 533
2 导数 538
1．把导数看作是斜率 538
2．导数看作是一极限 539
3．例题 543
4．三角函数的导数 547
5．可微性和连续性 549
6．导数和速度 二阶导数和加速度 549
7．二阶导数的几何意义 553
8．极大与极小 554
3 微分法 555
4 莱布尼兹的记号和“无穷小” 564
1．基本定理 568
5 微积分基本定理 568
2．初步应用？,cosx,sinx的积分arc tgx 572
3．表示π的莱布尼兹公式 575
6 指数函数与对数函数 578
1．对数的定义和性质 欧拉数e 578
2．指数函数 582
3．ex,ax,xs的微分公式 585
4．用极限表示e,ex和lnx的表达式 586
5．对数的无穷级数展开式 数值计算 590
1．定义 594
7 微分方程 594
2．指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利 595
3．其它例题 简谐振动 600
4．牛顿动力学定律 602
第八章 补充 605
1 原理方面的内容 605
1．可微性 605
2．积分 608
3．积分概念的另一些应用 功弧长 610
1．指数函数和x的幂 614
2 数量级 614
2．1n（n！）的数量级 617
3 无穷级数和无穷乘积 619
1．函数的无穷级数 619
2．欧拉公式cosx+isinx=eix 626
3．调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积 629
4 用统计方法得到素数定理 634
算术和代数 639
附录 补充说明 问题和习题 639
解析几何 642
几何作图 649
射影几何和非欧几何 651
拓扑学 652
函数、极限和连续性 657
极大与极小 658
微积分 661
积分法 664