第一篇 微积分 1
第一章 函数 极限 连续 1
考点与要求 1
1函数 1
内容精讲 1
一、函数的概念及表示方法 1
二、函数的性态 2
三、几个与函数相关的概念 2
四、重要公式与结论 3
例题分析 4
一、求函数的定义域及表达式 4
二、函数的特性 6
2极限 8
内容精讲 8
一、极限的定义 8
二、数列极限的基本性质 9
三、函数极限的基本性质 9
四、无穷小量与无穷大量 10
五、极限的四则运算法则 10
六、两个重要极限 11
七、极限存在的两个准则 11
八、洛必达（L’Hospital）法则 11
九、重要公式与结论 12
例题分析 13
一、极限的概念与性质 13
二、求函数的极限 14
三、求数列的极限 21
四、求含参变量的极限 23
五、无穷小量阶的比较 23
六、函数极限的反问题 24
3函数的连续与间断 26
内容精讲 26
一、连续的定义 26
二、函数的间断点及其分类 26
三、连续函数性质 27
四、重要定理与结论 27
例题分析 28
一、函数的连续性及间断点的分类 28
二、连续函数性质的应用 29
自测题 30
第二章 一元函数微分学 33
考点与要求 33
1导数与微分 33
内容精讲 33
一、导数的概念 33
二、导数的计算 34
三、微分 36
四、重要公式与结论 36
例题分析 37
一、有关导数的定义及性质 37
二、含有绝对值函数的导数 40
三、导数的几何意义 41
四、变限积分的导数 42
五、利用导数公式及法则求导 44
六、可导条件下求待定的参数 46
七、求函数的高阶导数 47
2导数的应用 48
内容精讲 48
一、函数的单调性与极值 48
二、曲线的凹凸性与拐点 49
三、曲线的渐近线 49
四、函数图形的描绘 50
五、重要公式与结论 50
例题分析 50
一、求函数的单调区间与极值 50
二、判断曲线的凹凸性与拐点 52
三、求曲线的渐近线 53
四、导数的经济应用 54
3中值定理及不等式的证明 55
内容精讲 55
一、微分中值定理 55
二、积分中值定理 56
三、闭区间上连续函数有关中间值的定理 56
四、补充公式与结论 56
例题分析 57
一、证明存在ε使f（ε）=0 57
二、讨论方程根的个数及范围 58
三、证明存在ε，使f （n） （ε）=0（n=1，2，&） 60
四、证明存在ε，使G（ε，f（ε），f’（ε））=0 61
五、含有f"（ε)（或更高阶导数）的介值问题 62
六、双介值问题F（ε，η，…）=0 63
七、不等式的证明 64
自测题 68
第三章 一元函数积分学 73
考点与要求 73
1不定积分 73
内容精讲 73
一、不定积分的概念与性质 73
二、基本积分公式 74
三、三个积分方法 74
四、重要公式与结论 75
例题分析 77
一、不定积分的概念和性质 77
二、不定积分的计算 78
2定积分 87
内容精讲 87
一、定积分的概念与性质 87
二、定积分的几个定理 88
三、定积分的计算方法 89
四、重要公式与结论 89
例题分析 90
一、定积分的概念及性质 90
二、定积分的概念及性质 93
三、有关变限积分的问题 98
四、定积分的证明题 99
3反常积分 101
内容精讲 101
一、无穷区间的反常积分 101
二、无界函数的反常积分 101
三、几个重要的反常积分 102
例题分析 103
4定积分的应用 105
内容精讲 105
一、定积分应用的基本原理一微元法（元素法） 105
二、定积分的几何应用 105
例题分析 106
一、定积分的几何应用 106
二、定积分的经济应用 108
自测题 109
第四章 多元函数微积分学 112
考点与要求 112
1多元函数微分学 112
内容精讲 112
一、多元函数的极限与连续 112
二、偏导数与全微分 113
三、复合函数求导法则 114
四、隐函数的求导公式 115
五、多元函数的极值 115
六、重要公式与结论 116
例题分析 116
一、二元函数的极限与连续 116
二、偏导数与全微分的概念 118
三、求复合函数的偏导数与全微分 121
四、求隐函数的偏导数与全微分 126
五、变量替换下表达式的变形 128
六、多元函数微分学的反问题 131
七、多元函数的极值与最值 132
2二重积分 137
内容精讲 137
一、二重积分的概念与性质 137
二、二重积分的计算 138
三、重要公式与结论 139
例题分析 139
一、二重积分的的概念及性质 139
二、二重积分的基本计算 141
三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 144
四、分块函数的二重积分 147
五、交换积分次序及坐标系 148
六、反常二重积分的计算 151
七、与二重积分相关的证明 152
自测题 152
第五章 无穷级数 156
考点与要求 156
1常数项级数 156
内容精讲 156
一、基本概念和基本性质 156
二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 157
三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 157
四、重要公式与结论 158
例题分析 159
一、正项级数敛散性的判定 159
二、交错级数的敛散性的判定 163
三、一般项级数敛散性的判定 164
四、数项级数敛散性的证明 167
五、利用收敛级数求极限 170
2幂级数 170
内容精讲 170
一、函数项级数的收敛域与和函数 170
二、幂级数 171
例题分析 172
一、一般函数项级数的收敛域 172
二、求幂级数的收敛半径及收敛域 173
三、求幂级数的和函数 176
四、求数项级数的和 179
五、函数展开为幂级数 181
六、经济中的应用 182
自测题 183
第六章 常微分方程与差分方程 186
考点与要求 186
1常微分方程 186
内容精讲 186
一、几个基本概念 186
二、常见的一阶微分方程及其解法 187
三、高阶线性微分方程 187
例题分析 189
一、一阶微分方程的求解 189
二、高阶线性微分方程 192
三、可化为微分方程求解的问题 195
四、微分方程的应用 197
2差分方程 200
内容精讲 200
一、差分的概念 200
二、一阶常系数线性差分方程 200
例题分析 200
自测题 201
第二篇 线性代数 205
第一章 行列式 205
考点与要求 205
内容精讲 205
例题分析 208
一、数字型行列式的计算 208
二、抽象型行列式的计算 213
三、行列式A是否为零的判定 215
四、关于代数余子式求和 216
自测题 217
第二章 矩阵 219
考点与要求 219
内容精讲 219
1矩阵的概念及运算 219
一、矩阵的概念 219
二、矩阵的运算 220
三、矩阵的运算规则 220
四、特殊矩阵 221
2可逆矩阵 222
一、可逆矩阵的概念 222
二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 222
三、逆矩阵的运算性质 222
四、求逆矩阵的方法 222
3初等变换、初等矩阵 222
一、定义 223
二、初等矩阵与初等变换的性质 223
4矩阵的秩 224
一、矩阵秩的概念 224
二、矩阵秩的公式 224
5分块矩阵 224
一、分块矩阵的概念 224
二、分块矩阵的运算 225
例题分析 226
一、矩阵的概念及运算 226
二、特殊方阵的幂 230
三、伴随矩阵的相关问题 232
四、可逆矩阵的相关问题 235
五、初等变换、初等矩阵 238
六、矩阵秩的计算 239
自测题 242
第三章 向量 244
考点与要求 244
内容精讲 244
1向量、向量组的线性相关性 244
2极大线性无关组、秩 246
3内积，正交规范化方法 247
例题分析 248
一、线性相关性的判别 248
二、向量的线性表示 250
三、向量组线性无关的证明 251
四、秩、极大线性无关组 254
五、正交矩阵、施密特正交化方法 260
自测题 262
第四章 线性方程组 265
考点与要求 265
内容精讲 265
1克拉默法则 265
2齐次线性方程组 266
3非齐次线性方程组 267
例题分析 268
一、线性方程组的基本概念题 268
二、线性方程组的求解 272
三、基础解系 278
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由 AX= 0的基础解系反求A 279
五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 281
六、两个方程组的公共解 282
七、同解方程组 283
八、线性方程组的有关杂题 285
自测题 288
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 291
考点与要求 291
内容精讲 291
1特征值、特征向量 291
一、定义 291
二、特征值的性质 291
三、求特征值、特征向量的方法 292
2相似矩阵、矩阵的相似对角化 292
一、定义 292
二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 292
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 293
3实对称矩阵的相似对角化 293
一、定义 293
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 293
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 293
例题分析 294
一、特征值，特征向量的求法 294
二、两个矩阵有相同的特征值的证明 298
三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 299
四、矩阵是否相似于对角阵 300
五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 303
六、由特征值、特征向量反求A 303
七、矩阵相似及相似标准形 304
八、相似对角阵的应用 309
自测题 312
第六章 二次型 315
考点与要求 315
内容精讲 315
1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 315
一、二次型概念 315
二、二次型的矩阵表示 315
2化二次型为标准形、规范形 合同二次型 316
一、定义 316
3正定二次型、正定矩阵 317
一、定义 317
例题分析 318
一、二次型的矩阵表示 318
二、化二次型为标准形、规范形 319
三、合同矩阵、合同二次型 325
四、正定性的判别 328
五、正定二次型的证明 332
六、综合杂题 333
自测题 334
第三篇 概率论与数理统计 337
第一章 随机事件与概率 337
考点与要求 337
1事件、样本空间、事件间的关系与运算 337
内容精讲 337
例题分析 339
2概率、条件概率、独立性和五大公式 341
内容精讲 341
例题分析 343
3古典概型与伯努利概型 347
内容精讲 347
例题分析 348
自测题 350
第二章 随机变量及其概率分布 353
考点与要求 353
1随机变量及其分布函数 353
内容精讲 353
例题分析 354
2离散型随机变量和连续型随机变量 355
内容精讲 355
例题分析 356
3常用分布 357
内容精讲 357
例题分析 360
4随机变量函数的分布 363
内容精讲 363
例题分析 364
自测题 365
第三章 多维随机变量及其分布 368
考点与要求 368
1二维随机变量及其分布 368
内容精讲 368
例题分析 370
2随机变量的独立性 375
内容精讲 375
例题分析 376
3二维均匀分布和二维正态分布 381
内容精讲 381
例题分析 382
4两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布 384
内容精讲 384
例题分析 385
自测题 391
第四章 随机变量的数字特征 394
考点与要求 394
1随机变量的数学期望和方差 394
内容精讲 394
例题分析 396
2矩、协方差和相关系数 403
内容精讲 403
例题分析 404
3切比雪夫不等式 412
内容精讲 412
例题分析 412
自测题 413
第五章 大数定律和中心极限定理 416
考点与要求 416
内容精讲 416
例题分析 417
自测题 419
第六章 数理统计的基本概念 420
考点与要求 420
1总体、样本、统计量和样本数字特征 420
内容精讲 420
例题分析 421
2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 423
内容精讲 423
例题分析 425
自测题 429
第七章 参数估计 432
考点与要求 432
1点估计 432
内容精讲 432
例题分析 432
2估计量求法 437
内容精讲 437
例题分析 438
自测题 441