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第一篇 微积分 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1函数 1

内容精讲 1

一、函数的概念及表示方法 1

二、函数的性态 2

三、几个与函数相关的概念 2

四、重要公式与结论 3

例题分析 4

一、求函数的定义域及表达式 4

二、函数的特性 6

2极限 8

内容精讲 8

一、极限的定义 8

二、数列极限的基本性质 9

三、函数极限的基本性质 9

四、无穷小量与无穷大量 10

五、极限的四则运算法则 10

六、两个重要极限 11

七、极限存在的两个准则 11

八、洛必达（L’Hospital）法则 11

九、重要公式与结论 12

例题分析 13

一、极限的概念与性质 13

二、求函数的极限 14

三、求数列的极限 21

四、求含参变量的极限 23

五、无穷小量阶的比较 23

六、函数极限的反问题 24

3函数的连续与间断 26

内容精讲 26

一、连续的定义 26

二、函数的间断点及其分类 26

三、连续函数性质 27

四、重要定理与结论 27

例题分析 28

一、函数的连续性及间断点的分类 28

二、连续函数性质的应用 29

自测题 30

第二章 一元函数微分学 33

考点与要求 33

1导数与微分 33

内容精讲 33

一、导数的概念 33

二、导数的计算 34

三、微分 36

四、重要公式与结论 36

例题分析 37

一、有关导数的定义及性质 37

二、含有绝对值函数的导数 40

三、导数的几何意义 41

四、变限积分的导数 42

五、利用导数公式及法则求导 44

六、可导条件下求待定的参数 46

七、求函数的高阶导数 47

2导数的应用 48

内容精讲 48

一、函数的单调性与极值 48

二、曲线的凹凸性与拐点 49

三、曲线的渐近线 49

四、函数图形的描绘 50

五、重要公式与结论 50

例题分析 50

一、求函数的单调区间与极值 50

二、判断曲线的凹凸性与拐点 52

三、求曲线的渐近线 53

四、导数的经济应用 54

3中值定理及不等式的证明 55

内容精讲 55

一、微分中值定理 55

二、积分中值定理 56

三、闭区间上连续函数有关中间值的定理 56

四、补充公式与结论 56

例题分析 57

一、证明存在ε使f（ε）=0 57

二、讨论方程根的个数及范围 58

三、证明存在ε，使f （n） （ε）=0（n=1，2，&） 60

四、证明存在ε，使G（ε，f（ε），f’（ε））=0 61

五、含有f"（ε)（或更高阶导数）的介值问题 62

六、双介值问题F（ε，η，…）=0 63

七、不等式的证明 64

自测题 68

第三章 一元函数积分学 73

考点与要求 73

1不定积分 73

内容精讲 73

一、不定积分的概念与性质 73

二、基本积分公式 74

三、三个积分方法 74

四、重要公式与结论 75

例题分析 77

一、不定积分的概念和性质 77

二、不定积分的计算 78

2定积分 87

内容精讲 87

一、定积分的概念与性质 87

二、定积分的几个定理 88

三、定积分的计算方法 89

四、重要公式与结论 89

例题分析 90

一、定积分的概念及性质 90

二、定积分的概念及性质 93

三、有关变限积分的问题 98

四、定积分的证明题 99

3反常积分 101

内容精讲 101

一、无穷区间的反常积分 101

二、无界函数的反常积分 101

三、几个重要的反常积分 102

例题分析 103

4定积分的应用 105

内容精讲 105

一、定积分应用的基本原理一微元法（元素法） 105

二、定积分的几何应用 105

例题分析 106

一、定积分的几何应用 106

二、定积分的经济应用 108

自测题 109

第四章 多元函数微积分学 112

考点与要求 112

1多元函数微分学 112

内容精讲 112

一、多元函数的极限与连续 112

二、偏导数与全微分 113

三、复合函数求导法则 114

四、隐函数的求导公式 115

五、多元函数的极值 115

六、重要公式与结论 116

例题分析 116

一、二元函数的极限与连续 116

二、偏导数与全微分的概念 118

三、求复合函数的偏导数与全微分 121

四、求隐函数的偏导数与全微分 126

五、变量替换下表达式的变形 128

六、多元函数微分学的反问题 131

七、多元函数的极值与最值 132

2二重积分 137

内容精讲 137

一、二重积分的概念与性质 137

二、二重积分的计算 138

三、重要公式与结论 139

例题分析 139

一、二重积分的的概念及性质 139

二、二重积分的基本计算 141

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 144

四、分块函数的二重积分 147

五、交换积分次序及坐标系 148

六、反常二重积分的计算 151

七、与二重积分相关的证明 152

自测题 152

第五章 无穷级数 156

考点与要求 156

1常数项级数 156

内容精讲 156

一、基本概念和基本性质 156

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 157

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 157

四、重要公式与结论 158

例题分析 159

一、正项级数敛散性的判定 159

二、交错级数的敛散性的判定 163

三、一般项级数敛散性的判定 164

四、数项级数敛散性的证明 167

五、利用收敛级数求极限 170

2幂级数 170

内容精讲 170

一、函数项级数的收敛域与和函数 170

二、幂级数 171

例题分析 172

一、一般函数项级数的收敛域 172

二、求幂级数的收敛半径及收敛域 173

三、求幂级数的和函数 176

四、求数项级数的和 179

五、函数展开为幂级数 181

六、经济中的应用 182

自测题 183

第六章 常微分方程与差分方程 186

考点与要求 186

1常微分方程 186

内容精讲 186

一、几个基本概念 186

二、常见的一阶微分方程及其解法 187

三、高阶线性微分方程 187

例题分析 189

一、一阶微分方程的求解 189

二、高阶线性微分方程 192

三、可化为微分方程求解的问题 195

四、微分方程的应用 197

2差分方程 200

内容精讲 200

一、差分的概念 200

二、一阶常系数线性差分方程 200

例题分析 200

自测题 201

第二篇 线性代数 205

第一章 行列式 205

考点与要求 205

内容精讲 205

例题分析 208

一、数字型行列式的计算 208

二、抽象型行列式的计算 213

三、行列式A是否为零的判定 215

四、关于代数余子式求和 216

自测题 217

第二章 矩阵 219

考点与要求 219

内容精讲 219

1矩阵的概念及运算 219

一、矩阵的概念 219

二、矩阵的运算 220

三、矩阵的运算规则 220

四、特殊矩阵 221

2可逆矩阵 222

一、可逆矩阵的概念 222

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 222

三、逆矩阵的运算性质 222

四、求逆矩阵的方法 222

3初等变换、初等矩阵 222

一、定义 223

二、初等矩阵与初等变换的性质 223

4矩阵的秩 224

一、矩阵秩的概念 224

二、矩阵秩的公式 224

5分块矩阵 224

一、分块矩阵的概念 224

二、分块矩阵的运算 225

例题分析 226

一、矩阵的概念及运算 226

二、特殊方阵的幂 230

三、伴随矩阵的相关问题 232

四、可逆矩阵的相关问题 235

五、初等变换、初等矩阵 238

六、矩阵秩的计算 239

自测题 242

第三章 向量 244

考点与要求 244

内容精讲 244

1向量、向量组的线性相关性 244

2极大线性无关组、秩 246

3内积，正交规范化方法 247

例题分析 248

一、线性相关性的判别 248

二、向量的线性表示 250

三、向量组线性无关的证明 251

四、秩、极大线性无关组 254

五、正交矩阵、施密特正交化方法 260

自测题 262

第四章 线性方程组 265

考点与要求 265

内容精讲 265

1克拉默法则 265

2齐次线性方程组 266

3非齐次线性方程组 267

例题分析 268

一、线性方程组的基本概念题 268

二、线性方程组的求解 272

三、基础解系 278

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由 AX= 0的基础解系反求A 279

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 281

六、两个方程组的公共解 282

七、同解方程组 283

八、线性方程组的有关杂题 285

自测题 288

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 291

考点与要求 291

内容精讲 291

1特征值、特征向量 291

一、定义 291

二、特征值的性质 291

三、求特征值、特征向量的方法 292

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 292

一、定义 292

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 292

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 293

3实对称矩阵的相似对角化 293

一、定义 293

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 293

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 293

例题分析 294

一、特征值，特征向量的求法 294

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 298

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 299

四、矩阵是否相似于对角阵 300

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 303

六、由特征值、特征向量反求A 303

七、矩阵相似及相似标准形 304

八、相似对角阵的应用 309

自测题 312

第六章 二次型 315

考点与要求 315

内容精讲 315

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 315

一、二次型概念 315

二、二次型的矩阵表示 315

2化二次型为标准形、规范形 合同二次型 316

一、定义 316

3正定二次型、正定矩阵 317

一、定义 317

例题分析 318

一、二次型的矩阵表示 318

二、化二次型为标准形、规范形 319

三、合同矩阵、合同二次型 325

四、正定性的判别 328

五、正定二次型的证明 332

六、综合杂题 333

自测题 334

第三篇 概率论与数理统计 337

第一章 随机事件与概率 337

考点与要求 337

1事件、样本空间、事件间的关系与运算 337

内容精讲 337

例题分析 339

2概率、条件概率、独立性和五大公式 341

内容精讲 341

例题分析 343

3古典概型与伯努利概型 347

内容精讲 347

例题分析 348

自测题 350

第二章 随机变量及其概率分布 353

考点与要求 353

1随机变量及其分布函数 353

内容精讲 353

例题分析 354

2离散型随机变量和连续型随机变量 355

内容精讲 355

例题分析 356

3常用分布 357

内容精讲 357

例题分析 360

4随机变量函数的分布 363

内容精讲 363

例题分析 364

自测题 365

第三章 多维随机变量及其分布 368

考点与要求 368

1二维随机变量及其分布 368

内容精讲 368

例题分析 370

2随机变量的独立性 375

内容精讲 375

例题分析 376

3二维均匀分布和二维正态分布 381

内容精讲 381

例题分析 382

4两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布 384

内容精讲 384

例题分析 385

自测题 391

第四章 随机变量的数字特征 394

考点与要求 394

1随机变量的数学期望和方差 394

内容精讲 394

例题分析 396

2矩、协方差和相关系数 403

内容精讲 403

例题分析 404

3切比雪夫不等式 412

内容精讲 412

例题分析 412

自测题 413

第五章 大数定律和中心极限定理 416

考点与要求 416

内容精讲 416

例题分析 417

自测题 419

第六章 数理统计的基本概念 420

考点与要求 420

1总体、样本、统计量和样本数字特征 420

内容精讲 420

例题分析 421

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 423

内容精讲 423

例题分析 425

自测题 429

第七章 参数估计 432

考点与要求 432

1点估计 432

内容精讲 432

例题分析 432

2估计量求法 437

内容精讲 437

例题分析 438

自测题 441