第一章 方程的导出和定解条件 1
1 守恒律 1
1.1 动量守恒与弦振动方程 2
1.2 能量守恒与热传导方程 9
1.3 质量守恒与连续性方程 14
2 变分原理 17
2.1 极小曲面问题 19
2.2 膜的平衡问题 21
3 定解问题的适定性 25
第一章习题 28
第二章 波动方程 33
1 一阶线性方程的特征线解法 33
2 初值问题(一维情形) 37
2.1 问题的简化 38
2.2 解的表达式 41
2.3 依赖区间、决定区域和影响区域 44
2.4 能量不等式 47
2.5 半无界问题 53
3 初值问题(高维情形) 60
3.1 解的表达式 60
3.2 特征锥与惠更斯原理 65
4 混合问题 70
4.1 分离变量法 70
4.2 物理意义，驻波法与共振 87
4.3 能量不等式 90
4.4 广义解 92
5 一阶拟线性双曲方程式概述 98
第二章习题 108
第三章 热传导方程 117
1 初值问题 117
1.1 Fourier变换 117
1.2 Poisson公式 126
1.3 广义函数简介 131
1.4 基本解 142
1.5 半无界问题 146
2 混合问题 150
2.1 有界杆的热传导问题 150
2.2 圆形区域上的热传导问题 154
3 极值原理与最大模估计 161
3.1 弱极值原理 161
3.2 第一边值问题解的最大模估计 163
3.3 第二、三边值问题解的最大模估计 164
3.4 初值问题解的最大模估计 168
3.5 边值问题解的能量模估计 169
3.6 反向问题的不适定性 172
第三章习题 173
第四章 位势方程 183
1 基本解与Green函数 183
1.1 基本解与Green公式 183
1.2 Green函数 189
1.3 圆上的Poisson公式 193
2 极值原理与调和函数的性质 200
2.1 极值原理 200
2.2 边值问题解的最大模估计 205
2.3 能量模估计 208
2.4 调和函数的性质 210
3 变分方法 213
3.1 H1(Ω)空间 213
3.2 变分问题的解的存在唯一性 217
3.3 Ritz-Galerkin近似解法 223
4 Cauchy问题的不适定性 228
第四章习题 231
第五章 二阶线性偏微分方程的分类 242
1 分类 242
2 二个自变量的方程的化简 246
2.1 特征理论 246
2.2 二个自变量的方程的化简 250
第五章习题 254