第一章 预备知识 1
1 实数集 1
1.1 集合 1
1.2 集合的运算 2
1.3 实数集 3
1.4 区间与邻域 4
1.5 实数的完备性与确界公理 6
2 函数 7
2.1 常量与变量 7
2.2 映射与函数的概念 7
2.3 函数的几种特性 11
2.4 反函数与复合函数 15
2.5 初等函数 17
3 常用逻辑符号简介 22
3.1 蕴涵与等价 22
3.2 全称量词与存在量词 22
习题1 22
第二章 极限与连续函数 24
1 数列的极限 24
1.1 数列的概念 24
1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念 25
1.3 收敛数列的性质 29
1.4 数列极限的四则运算 31
1.5 数列收敛的判别法 34
习题2.1 38
2 函数的极限 40
2.1 函数极限的概念 40
2.2 函数极限的性质及运算法则 45
2.3 函数极限存在的判别法 48
习题2.2 52
3 无穷小与无穷大 53
3.1 无穷小及其性质 53
3.2 无穷小的比较 55
3.3 无穷大 57
习题2.3 59
4 连续函数 60
4.1 函数的增量 61
4.2 函数的连续性 61
4.3 函数的间断点及其分类 64
习题2.4 67
5 连续函数的运算与初等函数的连续性 68
5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 68
5.2 反函数的连续性 68
5.3 复合函数的连续性 69
5.4 初等函数的连续性 71
习题2.5 72
6 闭区间上连续函数的性质 72
6.1 最值定理与有界性定理 72
6.2 介值定理 74
6.3 函数的一致连续性 75
习题2.6 76
第三章 导数与微分 78
1 导数的概念 78
1.1 引例 78
1.2 导数的概念 79
1.3 函数可导与连续的关系 84
习题3.1 85
2 求导法则 86
2.1 函数四则运算的求导法则 86
2.2 反函数的求导法则 90
2.3 复合函数的求导法则 91
2.4 初等函数的导数 95
习题3.2 96
3 高阶导数 97
3.1 高阶导数的概念 97
3.2 Leibniz公式 102
习题3.3 104
4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 105
4.1 隐函数的求导法则 105
4.2 对数求导法 107
4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 109
习题3.4 112
5 微分 113
5.1 微分的概念 113
5.2 微分的几何意义 115
5.3 微分的运算法则 116
5.4 高阶微分 118
5.5 微分的应用 119
习题3.5 121
第四章 微分中值定理与导数的应用 123
1 微分中值定理 123
1.1 Rolle定理 123
1.2 Lagrange中值定理 126
1.3 Cauchy中值定理 131
习题4.1 133
2 L'Hospital法则 135
2.1 未定式的概念 135
2.2 未定式的定值法 136
习题4.2 144
3 Taylor公式 146
3.1 Taylor多项式 146
3.2 Taylor公式 147
3.3 Maclaurin公式 151
3.4 Taylor公式的应用 152
习题4.3 155
4 函数单调性的判别法 156
习题4.4 158
5 函数的极值与最值 159
5.1 函数的极值及其求法 159
5.2 最值问题 163
习题4.5 167
6 函数的凸性与曲线的拐点 168
6.1 凸函数的概念及其判别法 169
6.2 曲线的拐点及其求法 171
6.3 函数图形的描绘 173
习题4.6 178
7 弧微分与平面曲线的曲率 178
7.1 弧微分 178
7.2 平面曲线的曲率 181
7.3 曲率圆与曲率半径 184
习题4.7 186
第五章 不定积分 187
1 不定积分的概念与性质 187
1.1 原函数与不定积分 187
1.2 基本积分公式 190
1.3 不定积分的性质 191
习题5.1 193
2 不定积分的换元积分法 193
2.1 第一换元法 194
2.2 第二换元法 199
习题5.2 203
3 不定积分的分部积分法 204
习题5.3 208
4 几种典型函数的积分举例 208
4.1 有理函数的积分 209
4.2 三角函数有理式的积分 214
4.3 无理函数积分举例 215
习题5.4 217
第六章 定积分 219
1 定积分的概念与性质 219
1.1 定积分问题的引例 219
1.2 定积分的概念 221
1.3 定积分的几何意义 223
1.4 定积分的性质 223
习题6.1 227
2 微积分基本定理 227
2.1 积分上限函数及其导数 227
2.2 Newton-Leibniz公式 229
习题6.2 232
3 定积分的换元法和分部积分法 233
3.1 定积分的换元积分法 233
3.2 定积分的分部积分 236
习题6.3 238
4 定积分的应用 239
4.1 微元法 239
4.2 平面图形的面积 241
4.3 体积 245
4.4 平面曲线的弧长 247
4.5 定积分在物理上的应用 251
习题6.4 254
5 反常积分 255
5.1 无穷积分 256
5.2 无界函数积分 263
习题6.5 268
第七章 空间解析几何 271
1 空间直角坐标系 271
1.1 空间点的直角坐标 271
1.2 空间两点间的距离 272
习题7.1 274
2 向量及其运算 274
2.1 向量的概念 274
2.2 向量的加减法，向量与数的乘法 275
2.3 向量的坐标 278
2.4 向量的方向余弦 280
2.5 向量的乘积运算 281
习题7.2 288
3 平面及其方程 289
3.1 平面的方程 290
3.2 两平面的夹角 293
3.3 点到平面的距离 294
习题7.3 295
4 空间直线及其方程 296
4.1 空间直线的方程 296
4.2 点、直线、平面之间的关系 299
4.3 过直线的平面束方程 302
习题7.4 303
5 曲面及其方程 305
5.1 曲面方程 305
5.2 柱面 306
5.3 旋转曲面 307
5.4 曲面的参数方程 308
习题7.5 309
6 曲线及其方程 310
6.1 曲线方程 310
6.2 空间曲线在坐标面上的投影 311
习题7.6 313
7 常见的二次曲面 314
7.1 椭球面 315
7.2 二次锥面 316
7.3 双曲面 317
7.4 抛物面 319
习题7.7 321
部分习题参考答案 323
参考文献 358