第一部分 复变函数 3
第1章 复数和复变函数 3
1.1基本概念 3
1.2复数序列 4
1.3复变函数 5
1.4复变函数的极限和连续 6
1.5无穷远点 7
第2章 解析函数 8
2.1可导与可微 8
2.2解析函数 10
2.3初等函数 12
2.4多值函数 12
2.5解析函数的物理解释——复势 16
第3章 复变积分 18
3.1复变积分 18
3.2单连通区域的柯西定理 20
3.3复连通区域的柯西定理 22
3.4两个有用的引理 23
3.5柯西积分公式 24
3.6解析函数的高阶导数 27
3.7柯西型积分和含参量积分的解析性 28
第4章 无穷级数 32
4.1复数级数 32
4.2函数级数 33
4.3幂级数 34
4.4含参量的反常积分的解析性 37
第5章 解析函数的局域性展开 39
5.1解析函数的泰勒展开 39
5.2泰勒级数求法举例 40
5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 47
5.4解析函数的洛朗展开 48
5.5洛朗级数求法举例 50
5.6单值函数的孤立奇点 54
5.7解析延拓 57
第6章 二阶线性常微分方程的幂级数解法 59
6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 59
6.2方程常点邻域内的解 60
6.3方程正则奇点邻域内的解 65
6.4贝塞尔方程的解 70
第7章 留数定理及其应用 75
7.1留数定理 75
7.2有理三角函数的积分 79
7.3无穷积分 81
7.4含三角函数的无穷积分 83
7.5实轴上有奇点的情形 85
7.6多值函数的积分 89
第8章T函数 94
8.1 T函数的定义和基本性质 94
8.2 ？函数 98
8.3 B函数 100
第9章 拉普拉斯变换 102
9.1拉普拉斯变换 102
9.2拉普拉斯变换的基本性质 103
9.3拉普拉斯变换的反演 108
9.4普遍反演公式 116
第10章 δ函数 119
第二部分 数学物理方程 125
第11章 数学物理方程和定解条件 125
11.1弦的横振动方程 126
11.2杆的纵振动方程 127
11.3热传导方程 128
11.4稳定问题 133
11.5边界条件与初始条件 133
11.6内部界面上的连接条件 135
11.7定解问题的适定性 138
第12章 分离变量法 139
12.1两端固定弦的自由振动 139
12.2分离变量法的物理诠释 144
12.3矩形区域内的稳定问题 144
12.4多于两个自变量的定解问题 147
12.5两端固定弦的受迫振动 149
12.6非齐次边界条件的齐次化 159
第13章 正交曲面坐标系 166
13.1正交曲面坐标系 166
13.2圆形区域 168
13.3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 170
13.4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 171
第14章 球函数 173
14.1勒让德方程的解 173
14.2勒让德多项式 176
14.3勒让德多项式的微分表示（罗巨格公式） 178
14.4勒让德多项式的正交完备性 181
14.5勒让德多项式的生成函数 182
14.6勒让德多项式的递推关系 184
14.7勒让德多项式应用举例 186
14.8连带勒让德函数 191
14.9球面调和函数 195
第15章 柱函数 199
15.1贝塞尔函数和诺依曼函数 200
15.2贝塞尔函数的递推关系 200
15.3贝塞尔函数的渐进展开 202
15.4整数阶贝塞尔函数的生成函数和积分表示 203
15.5贝塞尔方程的本征值问题 205
15.6半奇数阶贝塞尔函数 211
15.7球贝塞尔函数 213
第16章 积分变换的应用 217
第17章 格林函数法 220
17.1格林函数的概念 220
17.2稳定问题格林函数的一般性质 222
17.3三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数 224
17.4圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 226
参考文献 232