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第一部分 复变函数 3

第1章 复数和复变函数 3

1.1基本概念 3

1.2复数序列 4

1.3复变函数 5

1.4复变函数的极限和连续 6

1.5无穷远点 7

第2章 解析函数 8

2.1可导与可微 8

2.2解析函数 10

2.3初等函数 12

2.4多值函数 12

2.5解析函数的物理解释——复势 16

第3章 复变积分 18

3.1复变积分 18

3.2单连通区域的柯西定理 20

3.3复连通区域的柯西定理 22

3.4两个有用的引理 23

3.5柯西积分公式 24

3.6解析函数的高阶导数 27

3.7柯西型积分和含参量积分的解析性 28

第4章 无穷级数 32

4.1复数级数 32

4.2函数级数 33

4.3幂级数 34

4.4含参量的反常积分的解析性 37

第5章 解析函数的局域性展开 39

5.1解析函数的泰勒展开 39

5.2泰勒级数求法举例 40

5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 47

5.4解析函数的洛朗展开 48

5.5洛朗级数求法举例 50

5.6单值函数的孤立奇点 54

5.7解析延拓 57

第6章 二阶线性常微分方程的幂级数解法 59

6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 59

6.2方程常点邻域内的解 60

6.3方程正则奇点邻域内的解 65

6.4贝塞尔方程的解 70

第7章 留数定理及其应用 75

7.1留数定理 75

7.2有理三角函数的积分 79

7.3无穷积分 81

7.4含三角函数的无穷积分 83

7.5实轴上有奇点的情形 85

7.6多值函数的积分 89

第8章T函数 94

8.1 T函数的定义和基本性质 94

8.2 ？函数 98

8.3 B函数 100

第9章 拉普拉斯变换 102

9.1拉普拉斯变换 102

9.2拉普拉斯变换的基本性质 103

9.3拉普拉斯变换的反演 108

9.4普遍反演公式 116

第10章 δ函数 119

第二部分 数学物理方程 125

第11章 数学物理方程和定解条件 125

11.1弦的横振动方程 126

11.2杆的纵振动方程 127

11.3热传导方程 128

11.4稳定问题 133

11.5边界条件与初始条件 133

11.6内部界面上的连接条件 135

11.7定解问题的适定性 138

第12章 分离变量法 139

12.1两端固定弦的自由振动 139

12.2分离变量法的物理诠释 144

12.3矩形区域内的稳定问题 144

12.4多于两个自变量的定解问题 147

12.5两端固定弦的受迫振动 149

12.6非齐次边界条件的齐次化 159

第13章 正交曲面坐标系 166

13.1正交曲面坐标系 166

13.2圆形区域 168

13.3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 170

13.4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 171

第14章 球函数 173

14.1勒让德方程的解 173

14.2勒让德多项式 176

14.3勒让德多项式的微分表示（罗巨格公式） 178

14.4勒让德多项式的正交完备性 181

14.5勒让德多项式的生成函数 182

14.6勒让德多项式的递推关系 184

14.7勒让德多项式应用举例 186

14.8连带勒让德函数 191

14.9球面调和函数 195

第15章 柱函数 199

15.1贝塞尔函数和诺依曼函数 200

15.2贝塞尔函数的递推关系 200

15.3贝塞尔函数的渐进展开 202

15.4整数阶贝塞尔函数的生成函数和积分表示 203

15.5贝塞尔方程的本征值问题 205

15.6半奇数阶贝塞尔函数 211

15.7球贝塞尔函数 213

第16章 积分变换的应用 217

第17章 格林函数法 220

17.1格林函数的概念 220

17.2稳定问题格林函数的一般性质 222

17.3三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数 224

17.4圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 226

参考文献 232