1 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间和邻域 1
1.1.2 函数的概念 2
1.1.3 函数的性质 6
习题1-1 8
1.2 初等函数 9
1.2.1 反函数 9
1.2.2 基本初等函数 10
1.2.3 复合函数 14
习题1-2 14
1.3 数列极限 15
1.3.1 数列 15
1.3.2 数列极限的定义 16
1.3.3 收敛数列的性质 19
习题1-3 20
1.4 函数的极限 21
1.4.1 函数极限的概念 21
1.4.2 函数极限的性质 26
习题1-4 27
1.5 无穷小与无穷大 27
1.5.1 无穷小 27
1.5.2 无穷大 29
1.5.3 无穷大与无穷小的关系 29
习题1-5 30
1.6 极限的运算法则 30
习题1-6 35
1.7 极限存在准则与两个重要极限 35
1.7.1 夹逼准则 35
1.7.2 单调有界准则 39
习题1-7 41
1.8 无穷小的比较 41
1.8.1 无穷小的阶 41
1.8.2 等价无穷小的性质 43
习题1-8 44
1.9 函数的连续性与间断点 45
1.9.1 函数的连续性 45
1.9.2 函数的间断点 47
1.9.3 连续函数的运算性质 48
1.9.4 初等函数的连续性 50
习题1-9 51
1.10 闭区间上连续函数的性质 52
1.10.1 最大值和最小值定理 52
1.10.2 介值定理 53
习题1-10 55
总习题1 55
2 导数与微分 57
2.1 导数的概念 57
2.1.1 引例 57
2.1.2 导数的定义 58
2.1.3 导数的几何意义 63
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 64
习题2-1 64
2.2 求导法则与基本初等函数求导公式 65
2.2.1 导数的四则运算法则 65
2.2.2 反函数的求导法则 68
2.2.3 复合函数的求导法则 68
2.2.4 基本求导法则与导数公式 71
习题2-2 72
2.3 高阶导数 72
习题2-3 76
2.4 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率 76
2.4.1 隐函数的导数 76
2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 79
2.4.3 相关变化率 81
习题2-4 82
2.5 函数的微分 82
2.5.1 微分的定义 82
2.5.2 微分的几何意义 85
2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 85
2.5.4 微分在近似计算中的应用 87
习题2-5 89
总习题2 89
3 中值定理与导数的应用 91
3.1 微分中值定理 91
3.1.1 罗尔定理 91
3.1.2 拉格朗日中值定理 93
3.1.3 柯西中值定理 96
习题3-1 97
3.2 洛必达法则 97
习题3-2 101
3.3 函数单调性的判定 102
习题3-3 104
3.4 函数的极值与最大值及最小值 105
3.4.1 函数极值的判定法 105
3.4.2 函数的最大值和最小值 109
习题3-4 112
3.5 曲线的凹凸性与拐点及函数作图 113
3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 113
3.5.2 函数作图 115
习题3-5 117
总习题3 117
4 不定积分 119
4.1 不定积分的概念及性质 119
4.1.1 原函数与不定积分的概念 119
4.1.2 不定积分的性质 121
4.1.3 不定积分的基本公式 122
习题4-1 125
4.2 第一类换元积分法 125
习题4-2 131
4.3 第二类换元积分法 132
习题4-3 138
4.4 分部积分法 139
习题4-4 142
总习题4 142
5 定积分 144
5.1 定积分的概念及性质 144
5.1.1 定积分问题实例 144
5.1.2 定积分的定义 146
5.1.3 定积分的几何意义 147
5.1.4 定积分的性质 150
习题5-1 152
5.2 微积分基本公式 152
5.2.1 积分上限的函数及其导数 153
5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 155
习题5-2 157
5.3 定积分的换元法和分部积分法 157
5.3.1 定积分的换元法 158
5.3.2 定积分的分部积分法 162
习题5-3 164
5.4 反常积分 165
5.4.1 无穷区间的反常积分 165
5.4.2 无界函数的反常积分 167
5.4.3 Γ函数 169
习题5-4 170
5.5 定积分的应用 170
5.5.1 定积分的元素法 170
5.5.2 平面图形的面积 172
5.5.3 体积 177
5.5.4 平面曲线的弧长 180
5.5.5 定积分在物理学上的应用——变力沿直线所做的功 182
习题5-5 182
总习题5 183
附录Ⅰ 几种常用的曲线 185
附录Ⅱ 常用积分简表 188
附录Ⅲ 换元积分法 198
习题参考答案 199
参考文献 208