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1 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间和邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的性质 6

习题1-1 8

1.2 初等函数 9

1.2.1 反函数 9

1.2.2 基本初等函数 10

1.2.3 复合函数 14

习题1-2 14

1.3 数列极限 15

1.3.1 数列 15

1.3.2 数列极限的定义 16

1.3.3 收敛数列的性质 19

习题1-3 20

1.4 函数的极限 21

1.4.1 函数极限的概念 21

1.4.2 函数极限的性质 26

习题1-4 27

1.5 无穷小与无穷大 27

1.5.1 无穷小 27

1.5.2 无穷大 29

1.5.3 无穷大与无穷小的关系 29

习题1-5 30

1.6 极限的运算法则 30

习题1-6 35

1.7 极限存在准则与两个重要极限 35

1.7.1 夹逼准则 35

1.7.2 单调有界准则 39

习题1-7 41

1.8 无穷小的比较 41

1.8.1 无穷小的阶 41

1.8.2 等价无穷小的性质 43

习题1-8 44

1.9 函数的连续性与间断点 45

1.9.1 函数的连续性 45

1.9.2 函数的间断点 47

1.9.3 连续函数的运算性质 48

1.9.4 初等函数的连续性 50

习题1-9 51

1.10 闭区间上连续函数的性质 52

1.10.1 最大值和最小值定理 52

1.10.2 介值定理 53

习题1-10 55

总习题1 55

2 导数与微分 57

2.1 导数的概念 57

2.1.1 引例 57

2.1.2 导数的定义 58

2.1.3 导数的几何意义 63

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 64

习题2-1 64

2.2 求导法则与基本初等函数求导公式 65

2.2.1 导数的四则运算法则 65

2.2.2 反函数的求导法则 68

2.2.3 复合函数的求导法则 68

2.2.4 基本求导法则与导数公式 71

习题2-2 72

2.3 高阶导数 72

习题2-3 76

2.4 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率 76

2.4.1 隐函数的导数 76

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 79

2.4.3 相关变化率 81

习题2-4 82

2.5 函数的微分 82

2.5.1 微分的定义 82

2.5.2 微分的几何意义 85

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 85

2.5.4 微分在近似计算中的应用 87

习题2-5 89

总习题2 89

3 中值定理与导数的应用 91

3.1 微分中值定理 91

3.1.1 罗尔定理 91

3.1.2 拉格朗日中值定理 93

3.1.3 柯西中值定理 96

习题3-1 97

3.2 洛必达法则 97

习题3-2 101

3.3 函数单调性的判定 102

习题3-3 104

3.4 函数的极值与最大值及最小值 105

3.4.1 函数极值的判定法 105

3.4.2 函数的最大值和最小值 109

习题3-4 112

3.5 曲线的凹凸性与拐点及函数作图 113

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 113

3.5.2 函数作图 115

习题3-5 117

总习题3 117

4 不定积分 119

4.1 不定积分的概念及性质 119

4.1.1 原函数与不定积分的概念 119

4.1.2 不定积分的性质 121

4.1.3 不定积分的基本公式 122

习题4-1 125

4.2 第一类换元积分法 125

习题4-2 131

4.3 第二类换元积分法 132

习题4-3 138

4.4 分部积分法 139

习题4-4 142

总习题4 142

5 定积分 144

5.1 定积分的概念及性质 144

5.1.1 定积分问题实例 144

5.1.2 定积分的定义 146

5.1.3 定积分的几何意义 147

5.1.4 定积分的性质 150

习题5-1 152

5.2 微积分基本公式 152

5.2.1 积分上限的函数及其导数 153

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 155

习题5-2 157

5.3 定积分的换元法和分部积分法 157

5.3.1 定积分的换元法 158

5.3.2 定积分的分部积分法 162

习题5-3 164

5.4 反常积分 165

5.4.1 无穷区间的反常积分 165

5.4.2 无界函数的反常积分 167

5.4.3 Γ函数 169

习题5-4 170

5.5 定积分的应用 170

5.5.1 定积分的元素法 170

5.5.2 平面图形的面积 172

5.5.3 体积 177

5.5.4 平面曲线的弧长 180

5.5.5 定积分在物理学上的应用——变力沿直线所做的功 182

习题5-5 182

总习题5 183

附录Ⅰ 几种常用的曲线 185

附录Ⅱ 常用积分简表 188

附录Ⅲ 换元积分法 198

习题参考答案 199

参考文献 208